Exponentiation ist eine mathematische Operation, schriftlich als b', zwei Zahlen, die Basis b und die Hochzahl (oder Macht) n einschließend. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, entspricht exponentiation wiederholter Multiplikation; mit anderen Worten, ein Produkt von n Faktoren von b (kann das Produkt selbst auch Macht genannt werden):

:

gerade als die Multiplikation durch eine positive ganze Zahl wiederholter Hinzufügung entspricht:

:

Die Hochzahl wird gewöhnlich als ein Exponent rechts von der Basis gezeigt. Der exponentiation b kann als gelesen werden: b erhoben zur n-ten Macht, b erhoben zur Macht von n, oder vielleicht b erhoben zur Hochzahl von n, am kürzesten als b zum n. Einige Hochzahlen haben ihre eigene Artikulation: Zum Beispiel wird b gewöhnlich als b quadratisch gemacht und b als b kubiert gelesen.

Die Macht b kann auch definiert werden, wenn n eine negative ganze Zahl für die Nichtnull b ist.

Keine natürliche Erweiterung auf den ganzen echten b und n, besteht

aber wenn die Basis b eine positive reelle Zahl ist, kann b für alle echten und sogar komplizierten Hochzahlen n über die Exponentialfunktion e definiert werden. Trigonometrische Funktionen können in Bezug auf den Komplex exponentiation ausgedrückt werden.

Exponentiation, wo die Hochzahl eine Matrix ist, wird verwendet, um Systeme von linearen Differenzialgleichungen zu lösen.

Exponentiation wird durchdringend in vielen anderen Feldern, einschließlich Volkswirtschaft, Biologie, Chemie, Physik und Informatik, mit Anwendungen wie Zinseszinsen, Bevölkerungswachstum, chemische Reaktionskinetik, Welle-Verhalten und öffentliche Schlüsselgeheimschrift verwendet.

Hintergrund und Fachsprache

Der Ausdruck b = b · b wird das Quadrat von b genannt, weil das Gebiet eines Quadrats mit der Seitenlänge b b ist.

Der Ausdruck

b = b · b · b wird den Würfel genannt, weil das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge b b ist.

So 3 wird "drei quadratisch gemachte" ausgesprochen, und 2 ist "zwei kubierte".

Die Hochzahl sagt, wie viele Kopien der Basis zusammen multipliziert werden. Zum Beispiel, 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. Die Basis 3 erscheint 5mal mit der wiederholten Multiplikation, weil die Hochzahl 5 ist.

Hier, 3 ist die Basis, 5 ist die Hochzahl, und 243 ist die Macht oder, mehr spezifisch, die fünfte Macht 3, 3 erhobene zur fünften Macht, oder 3 zur Macht 5.

Das "erhobene" Wort wird gewöhnlich, und sehr häufig "Macht" ebenso weggelassen, so 3 wird normalerweise "drei zum fünften" oder "drei zu den fünf" ausgesprochen.

Exponentiation kann von Hochzahlen der ganzen Zahl bis allgemeinere Typen von Zahlen verallgemeinert werden.

Wenn sich dieser Artikel auf 'eine sonderbare Macht bezieht', einer Zahl bedeutet es, dass die Hochzahl eine ungerade Zahl, nicht ist, dass das Ergebnis seltsam ist. Zum Beispiel 2, der 8 ist, ist eine sonderbare Macht 2, weil die Hochzahl 3 ist. Das ist der übliche Gebrauch und gilt für jede ähnliche Form wie eine gleiche Macht, negative Macht oder positive Macht.

Hochzahlen der ganzen Zahl

Die exponentiation Operation mit Hochzahlen der ganzen Zahl verlangt nur elementare Algebra.

Positive Hochzahlen der ganzen Zahl

Formell können Mächte mit positiven Hochzahlen der ganzen Zahl durch die anfängliche Bedingung definiert werden

:

und die Wiederauftreten-Beziehung

:

Vom associativity der Multiplikation, hieraus folgt dass für irgendwelche positiven ganzen Zahlen M und n,

:

Willkürliche Hochzahlen der ganzen Zahl

Für die Nichtnull b und positiven n kann die Wiederauftreten-Beziehung vom vorherigen Paragraph als umgeschrieben werden

:

Durch das Definieren dieser Beziehung als gültig für die ganze ganze Zahl n und Nichtnull b, hieraus folgt dass

::

und mehr allgemein,

:

für jede Nichtnull b und jede natürliche Zahl n (und tatsächlich jede ganze Zahl n).

Die folgenden Beobachtungen können gemacht werden:

• Jede Anzahl, die zur Hochzahl 1 gesteigert ist, ist die Zahl selbst.
• Jede Nichtnullanzahl, die zur Hochzahl 0 gesteigert ist, ist 1; eine Interpretation dieser Mächte ist als leere Produkte.
• Diese Gleichungen entscheiden den Wert von 0 nicht. Das wird unten besprochen.
• Die Aufhebung 0 zu einer negativen Hochzahl würde Abteilung durch 0 einbeziehen, so wird es unbestimmt verlassen.

Die Identität

:

am Anfang definiert nur für positive ganze Zahlen M und n, hält für willkürliche ganze Zahlen M und n mit der Einschränkung, dass M und n beide positiv sein müssen, wenn b Null ist.

Kombinatorische Interpretation

Für natürliche Zahlen n und M kommt die Macht n dem cardinality des Satzes der M Tupel von einem N-Element-Satz oder die Zahl der M stellige Wörter von einem n-letter Alphabet gleich.

:

Siehe auch exponentiation über Sätze.

Identität und Eigenschaften

Die folgende Identität hält, vorausgesetzt, dass die Basis Nichtnull ist, wann auch immer die Hochzahl der ganzen Zahl nicht positiv ist:

:::

Exponentiation ist nicht auswechselbar. Das hebt sich von der Hinzufügung und Multiplikation ab, die sind. Zum Beispiel, und, aber, wohingegen.

Exponentiation ist auch nicht assoziativ. Hinzufügung und Multiplikation sind. Zum Beispiel,

und, aber 2 zu den 4 ist 8 oder 4096, wohingegen 2 zu den 3 2 oder 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ist. Ohne Parenthesen, um die Ordnung der Berechnung durch die Tagung zu modifizieren, ist die Ordnung nicht von unten nach oben verfeinernd:

:

Besondere Basen

Mächte zehn

:See Wissenschaftliche Notation

In der Basis zehn (dezimales) Zahl-System werden Mächte der ganzen Zahl 10 als die Ziffer 1 geschrieben, die gefolgt oder durch mehrere zeroes vorangegangen ist, die durch das Zeichen und den Umfang der Hochzahl bestimmt sind. Zum Beispiel, = 1000 und = 0.0001.

Exponentiation mit der Basis 10 wird in der wissenschaftlichen Notation verwendet, um große Anzahl oder kleine Zahlen anzuzeigen. Zum Beispiel können 299,792,458 m/s (die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum, im Meter pro Sekunde) als geschrieben und dann als näher gekommen werden.

SI-Präfixe, die auf Mächten 10 gestützt sind, werden auch verwendet, um kleine oder große Mengen zu beschreiben. Zum Beispiel, die Präfix-Kilo-Mittel, so ist ein Kilometer 1000 Meter.

Mächte zwei

Die positiven Mächte 2 sind in der Informatik wichtig, weil es 2 mögliche Werte für eine zweiwertige N-Bit-Variable gibt.

Mächte 2 sind in der Mengenlehre wichtig, seitdem ein Satz mit n Mitgliedern eine Macht oder Satz aller Teilmengen des ursprünglichen Satzes mit 2 Mitgliedern setzen lassen hat.

Die negativen Mächte 2 werden allgemein verwendet, und die ersten zwei haben spezielle Namen: Hälfte und Viertel.

In der Basis 2 (binäres) Zahl-System werden Mächte der ganzen Zahl 2 als 1 gefolgter oder vorangegangenes durch mehrere zeroes geschrieben, die durch das Zeichen und den Umfang der Hochzahl bestimmt sind. Zum Beispiel, zwei zur Macht drei wird als 1000 in der Dualzahl geschrieben.

Mächte von einer

Die Mächte der ganzen Zahl von ist man alle ein:.

Mächte der Null

Wenn die Hochzahl positiv ist, ist die Macht der Null Null: wo.

Wenn die Hochzahl, die Macht der Null negativ ist (0, wo n =1, wohingegen andere es unbestimmt, wie besprochen, unten verlassen.

Mächte minus eine

Wenn n eine gleiche ganze Zahl, dann (1) = 1 ist.

Wenn n eine sonderbare ganze Zahl, dann (1) = 1 ist.

Wegen dessen sind Mächte 1 nützlich, um Wechselfolgen auszudrücken. Für eine ähnliche Diskussion von Mächten der komplexen Zahl i, sieh die Abteilung auf Mächten von komplexen Zahlen.

Große Hochzahlen

Die Grenze einer Folge von Mächten einer Zahl, die größer ist als, weicht man ab, mit anderen Worten wachsen sie ohne bestimmten:

:b → ∞ als n → ∞ wenn b> 1.

Das kann gelesen werden, weil "b zur Macht von n zu +  neigt, wie n zur Unendlichkeit neigt, wenn b größer ist als ein".

Mächte einer Zahl mit dem absoluten Wert neigen weniger als ein zur Null:

:b → 0 als n → ∞ wenn |b = 1 für den ganzen n wenn b = 1.

Wenn die Nummer b das Neigen zu 1 ändert, weil die Hochzahl zur Unendlichkeit dann neigt, ist die Grenze nicht notwendigerweise einer von denjenigen oben. Ein besonders wichtiger Fall ist

: (1+1/n) → e als

n→∞

sieh die Abteilung unter Mächten von e.

Andere Grenzen, in der Einzelheit von denjenigen, die zu unbestimmten Formen neigen, werden in Grenzen von Mächten unten beschrieben.

Vernünftige Mächte

Eine n-te Wurzel einer Nummer b ist eine solche Nummer x dass x = b.

Wenn b eine positive reelle Zahl ist und n eine positive ganze Zahl ist, dann gibt es genau eine positive echte Lösung von x = b.

Diese Lösung wird die n-te Hauptwurzel von b genannt.

Es wird , angezeigt

wo  das radikale Symbol ist; wechselweise kann es b geschrieben werden.

Zum Beispiel: 4 = 2, 8 = 2,

Wenn man von der n-ten Wurzel einer positiven reellen Zahl b spricht, hat man gewöhnlich die n-te Hauptwurzel vor.

Wenn n sogar ist, dann hat x = b zwei echte Lösungen, wenn b positiv ist, die die positiven und negativen n-ten Wurzeln sind. Die Gleichung hat keine Lösung in reellen Zahlen, wenn b negativ ist.

Wenn n seltsam ist, dann hat x = b eine echte Lösung. Die Lösung ist positiv, wenn b positiv und negativ ist, wenn b negativ ist.

Vernünftige Mächte m/n, wo m/n in niedrigsten Begriffen ist, sind positiv, wenn M gleich, für negativen b negativ ist, wenn M und n seltsam sind, und irgendein Zeichen sein können, wenn b positiv ist und n gleich ist. (27) = 3, (27) = 9, und 4 hat zwei Wurzeln 8 und 8. Da es keine reelle Zahl x solch gibt, dass x = 1, die Definition von b, wenn b negativ ist und n, ist, sogar muss die imaginäre Einheit i, wie beschrieben, mehr völlig in den Abteilungsmächten von komplexen Zahlen verwenden.

Eine Macht einer positiven reellen Zahl b mit einer vernünftigen Hochzahl m/n in niedrigsten Begriffen befriedigt

:

wo M eine ganze Zahl ist und n eine positive ganze Zahl ist.

Sorge muss genommen werden, wenn man die Macht-Gesetzidentität mit den negativen n-ten Wurzeln anwendet. Zum Beispiel,

27 = (27) = ((27)) = 9 = 27 ist klar falsch. Das Problem hier kommt in der Einnahme der positiven Quadratwurzel aber nicht der negativen am letzten Schritt vor, aber im Allgemeinen kommen dieselben Sorten von Problemen, wie beschrieben, für komplexe Zahlen im Abteilungsmisserfolg der Macht und Logarithmus-Identität vor.

Wirkleistungen

Die Identität und Eigenschaften, die oben für Hochzahlen der ganzen Zahl gezeigt sind, sind für positive reelle Zahlen mit Hochzahlen der nichtganzen Zahl ebenso wahr. Jedoch die Identität

:

kann durchweg dazu nicht erweitert werden, wo b eine negative reelle Zahl ist, sieh Wirkleistungen von negativen Zahlen. Der Misserfolg dieser Identität ist die Basis für die Probleme mit Mächten der komplexen Zahl, die unter dem Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität ausführlich berichtet sind.

Die Erweiterung von exponentiation zu Wirkleistungen von positiven reellen Zahlen kann entweder durch das Verlängern der vernünftigen Mächte zu reals durch die Kontinuität, oder mehr gewöhnlich durch das Verwenden der Exponentialfunktion und seines Gegenteils der natürliche Logarithmus getan werden.

Grenzen von vernünftigen Mächten

Da jeder irrationalen Zahl durch eine rationale Zahl näher gekommen werden kann, exponentiation einer positiven reellen Zahl b zu einer willkürlichen echten Hochzahl kann x durch die Kontinuität mit der Regel definiert werden

:

wo die Grenze als r in der Nähe von x kommt, wird nur vernünftige Werte von r übernommen. Diese Grenze besteht nur für positiven b. (ε, δ)-Definition der Grenze wird verwendet, schließt das Vertretung ein, dass für jede gewünschte Genauigkeit des Ergebnisses man wählen kann, ein genug kleiner Zwischenraum um so alle vernünftigen Mächte im Zwischenraum sind innerhalb der gewünschten Genauigkeit.

Zum Beispiel, wenn, die nichtendende Dezimaldarstellung (gestützt auf dem strengen Monomuskeltonus der vernünftigen Macht) verwendet werden kann, um die Zwischenräume zu erhalten, die durch vernünftige Mächte begrenzt sind

:...

Die begrenzten Zwischenräume laufen zu einer einzigartigen reellen Zahl zusammen, die dadurch angezeigt ist. Diese Technik kann verwendet werden, um jede vernunftwidrige Macht dessen zu erhalten. Die Funktion wird so für jede reelle Zahl definiert.

Die Exponentialfunktion

Die wichtige mathematische Konstante, manchmal genannt die Zahl von Euler, ist 2.718 ungefähr gleich und ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Obwohl exponentiation von e im Prinzip dasselbe als exponentiation jeder anderen reellen Zahl behandelt werden konnte, erweisen sich solche exponentials, besonders elegante und nützliche Eigenschaften zu haben. Unter anderem erlauben diese Eigenschaften exponentials von e, auf eine natürliche Weise zu anderen Typen von Hochzahlen, wie komplexe Zahlen oder sogar matrices verallgemeinert zu werden, während sie mit der vertrauten Bedeutung von exponentiation mit vernünftigen Hochzahlen zusammenfallen.

Demzufolge zeigt die Notation e gewöhnlich an, dass eine verallgemeinerte exponentiation Definition die Exponentialfunktion, exp (x) genannt hat, der auf viele gleichwertige Weisen zum Beispiel definiert werden kann durch:

:

Unter anderen Eigenschaften befriedigt exp die Exponentialidentität:

:

Die Exponentialfunktion wird für die ganze ganze Zahl, unbedeutende, echte und komplizierte Werte dessen definiert. Es kann sogar verwendet werden, um exponentiation zu einigen nichtnumerischen Entitäten wie Quadrat matrices zu erweitern (in welchem Fall die Exponentialidentität nur hält, wenn und pendeln).

Seitdem ist dem gleich und befriedigt die Exponentialidentität, sie folgt sofort dem exp (x) fällt mit der Definition der wiederholten Multiplikation von e für die ganze Zahl x zusammen, und sie folgt auch dem vernünftige Mächte zeigen (positive) Wurzeln wie gewöhnlich an, so fällt exp (x) mit den e Definitionen in der vorherigen Abteilung für den ganzen echten x durch die Kontinuität zusammen.

Mächte über Logarithmen

Der natürliche Logarithmus ln (x) ist das Gegenteil der Exponentialfunktion e. Es wird für b> 0 definiert, und befriedigt

:

Wenn b den Logarithmus und die Hochzahl-Regeln, bewahren

soll

dann muss man haben

:

für jede reelle Zahl x.

Das kann als eine alternative Definition der Macht der reellen Zahl b verwendet werden und stimmt mit der Definition überein, die über dem Verwenden vernünftiger Hochzahlen und Kontinuität gegeben ist. Die Definition von exponentiation das Verwenden von Logarithmen ist im Zusammenhang von komplexen Zahlen, wie besprochen, unten üblicher.

Wirkleistungen von negativen Zahlen

Mächte einer positiven reellen Zahl sind immer positive reelle Zahlen. Die Lösung von x = 4 kann jedoch entweder 2 oder 2 sein. Der Hauptwert von 4 ist 2, aber 2 ist auch eine gültige Quadratwurzel. Wenn die Definition von exponentiation von reellen Zahlen erweitert wird, um negative Ergebnisse dann zu erlauben, wird das Ergebnis nicht mehr gut benommen.

Weder die Logarithmus-Methode noch die vernünftige Hochzahl-Methode können verwendet werden, um b als eine reelle Zahl für eine negative reelle Zahl b und eine willkürliche reelle Zahl r zu definieren. Tatsächlich ist e für jede reelle Zahl r positiv, so wird ln (b) als eine reelle Zahl für b  0 nicht definiert.

Die vernünftige Hochzahl-Methode kann für negative Werte von b nicht verwendet werden, weil es sich auf die Kontinuität verlässt. Die Funktion f (r) = b hat eine einzigartige dauernde Erweiterung von den rationalen Zahlen bis die reellen Zahlen für jeden b> 0. Aber wenn b = 1, wenn M, und (1) = 1 seltsam ist, wenn M gleich ist. So der Satz von rationalen Zahlen q, für den (1) = 1 in den rationalen Zahlen dicht ist, wie der Satz von q für der (1) = 1 ist. Das bedeutet, dass die Funktion (1) an jeder rationalen Zahl q nicht dauernd ist, wo es definiert wird.

Andererseits können willkürliche komplizierte Mächte von negativen Zahlen b durch die Auswahl eines komplizierten Logarithmus von b definiert werden.

Komplizierte Mächte von positiven reellen Zahlen

Imaginäre Mächte von e

Die geometrische Interpretation der Operationen auf komplexen Zahlen und der Definition von Mächten von e ist der Hinweis zum Verstehen e für echten x. Denken Sie das rechtwinklige Dreieck Für große Werte von n das Dreieck ist fast ein kreisförmige Sektor mit einem kleinen Hauptwinkel, der x/n radians gleich ist. Die Dreiecke sind für alle Werte von k gegenseitig ähnlich. So für große Werte von n ist der Begrenzungspunkt dessen der Punkt auf dem Einheitskreis, dessen Winkel von der positiven echten Achse x radians ist. Die Polarkoordinaten dieses Punkts sind, und die kartesianischen Koordinaten sind (weil x, x sündigen Sie). So und ist das die Formel von Euler, Algebra mit der Trigonometrie mittels komplexer Zahlen verbindend.

Die Lösungen der Gleichung e = 1 sind die Vielfachen der ganzen Zahl 2πi:

:

Mehr allgemein, wenn e = w, dann kann jede Lösung von e = w durch das Hinzufügen einer ganzen Zahl erhalten werden, die 2πi zu v vielfach ist:

:

So ist die komplizierte Exponentialfunktion eine periodische Funktion mit der Periode 2πi.

Einfacher: e = 1; e = e (weil y + ich y sündige).

Trigonometrische Funktionen

Es folgt aus der angegebenen Formel von Euler, dass der trigonometrische Funktionskosinus und Sinus sind

:

Historisch wurden Kosinus und Sinus geometrisch vor der Erfindung von komplexen Zahlen definiert. Die obengenannte Formel reduziert die komplizierten Formeln für trigonometrische Funktionen einer Summe in die einfache exponentiation Formel

:

Das Verwenden exponentiation mit komplizierten Hochzahlen kann Probleme in der Trigonometrie zur Algebra reduzieren.

Komplizierte Mächte von e

Die Macht kann als e geschätzt werden · e. Der echte Faktor e ist der absolute Wert von z, und der komplizierte Faktor identifiziert e die Richtung von z.

Komplizierte Mächte von positiven reellen Zahlen

Wenn b eine positive reelle Zahl ist, und z jede komplexe Zahl ist, wird die Macht b als e definiert, wo x = ln (b) die einzigartige echte Lösung der Gleichung e = b ist. So arbeitet dieselbe Methode, die für echte Hochzahlen auch arbeitet, für komplizierte Hochzahlen.

Zum Beispiel:

:2 = e = weil (ln (2)) + ich · Sünde (ln (2))  0.76924 + 0.63896i

:e  0.54030 + 0.84147i

:10  0.66820 + 0.74398i

: (e)  535.49  1

Die Identität ist für komplizierte Mächte nicht allgemein gültig. Durch ein einfaches Gegenbeispiel wird gegeben:

:

Die Identität ist jedoch, gültig, wenn eine reelle Zahl, und auch ist, wenn eine ganze Zahl ist.

Mächte von komplexen Zahlen

Mächte der ganzen Zahl von komplexen Nichtnullzahlen werden durch die wiederholte Multiplikation oder Abteilung als oben definiert. Wenn ich die imaginäre Einheit bin und n eine ganze Zahl, ist

dann bin ich 1, ich, 1, oder i, gemäß gleich, ob die ganze Zahl n zu 0, 1, 2, oder 3 modulo 4 kongruent ist. Wegen dessen, der Mächte von bin mir nützlich, um Folgen der Periode 4 auszudrücken.

Komplizierte Mächte von positivem reals werden über e als in Abteilungskomplex-Mächten von positiven reellen Zahlen definiert

oben. Das sind dauernde Funktionen.

Wenn er

versucht, diese Funktionen zum allgemeinen Fall von Mächten der nichtganzen Zahl von komplexen Zahlen zu erweitern, die nicht sind, führt positiver reals zu Schwierigkeiten. Entweder wir definieren diskontinuierliche Funktionen oder mehrgeschätzte Funktionen. Keine dieser Optionen ist völlig befriedigend.

Die vernünftige Macht einer komplexen Zahl muss die Lösung einer algebraischen Gleichung sein. Deshalb hat es immer eine begrenzte Zahl von möglichen Werten. Zum Beispiel w = muss z eine Lösung der Gleichung w = z sein. Aber wenn w eine Lösung ist, dann auch ist w, weil (1) = 1. Eine einzigartige, aber etwas willkürliche Lösung hat gerufen der Hauptwert kann mit einer allgemeinen Regel gewählt werden, die sich auch um nichtvernünftige Mächte bewirbt.

Komplizierte Mächte und Logarithmen werden als einzelne geschätzte Funktionen auf einer Oberfläche von Riemann natürlicher behandelt. Einzelne geschätzte Versionen werden durch die Auswahl einer Platte definiert. Der Wert hat eine Diskontinuität entlang einer Zweigkürzung. Wenn er ein aus vielen Lösungen weil wählt, verlässt der Hauptwert uns mit Funktionen, die nicht dauernd sind, und die üblichen Regeln, um Mächte zu manipulieren, uns irreführen können.

Jede nichtvernünftige Macht einer komplexen Zahl hat eine unendliche Zahl von möglichen Werten wegen der mehrgeschätzten Natur des komplizierten Logarithmus (sieh unten). Der Hauptwert ist ein einzelner Wert, der aus diesen durch eine Regel gewählt ist, die, unter seinen anderen Eigenschaften, sicherstellt, dass Mächte von komplexen Zahlen mit einem positiven echten Teil und imaginärem Nullteil denselben Wert bezüglich der entsprechenden reellen Zahlen geben.

Exponentiating eine reelle Zahl zu einer komplizierten Macht ist formell eine verschiedene Operation davon für die entsprechende komplexe Zahl. Jedoch im allgemeinen Fall einer positiven reellen Zahl ist der Hauptwert dasselbe.

Die Mächte von negativen reellen Zahlen werden nicht immer definiert und sind sogar dort, wo definiert diskontinuierlich. Wenn, sich mit komplexen Zahlen befassend, die Operation der komplexen Zahl normalerweise stattdessen verwendet wird.

Komplizierte Macht einer komplexen Zahl

Für komplexe Zahlen w und z mit w  0 ist die Notation w in demselben Sinn zweideutig, dass Klotz-w ist.

Um einen Wert von w zu erhalten, wählen Sie zuerst einen Logarithmus von w; nennen Sie es loggen w. Solch eine Wahl kann der Hauptwertklotz w sein (der Verzug, wenn keine andere Spezifizierung gegeben wird), oder vielleicht ein Wert, der durch einen anderen Zweig des Klotzes w gegeben ist, befestigt im Voraus. Dann mit der komplizierten Exponentialfunktion definiert man

:

weil das mit der früheren Definition im Fall übereinstimmt, wo w eine positive reelle Zahl ist und der (echte) Hauptwert des Klotzes w verwendet wird.

Wenn z eine ganze Zahl ist, dann ist der Wert von w der Wahl des Klotzes w unabhängig, und es stimmt mit der früheren Definition von exponentation mit einer Hochzahl der ganzen Zahl überein.

Wenn z eine rationale Zahl m/n in niedrigsten Begriffen mit z> 0 ist, dann geben die ungeheuer vielen Wahlen des Klotzes w nur n verschiedene Werte für w nach; diese Werte sind die n komplizierten Lösungen s zur Gleichung s = w.

Wenn z eine irrationale Zahl ist, dann führen die ungeheuer vielen Wahlen des Klotzes w ungeheuer zu vielen verschiedenen Werten für w.

Die Berechnung von komplizierten Mächten wird durch das Umwandeln der Basis w zur polaren Form, wie beschrieben, im Detail unten erleichtert.

Ein ähnlicher Aufbau wird in quaternions verwendet.

Komplizierte Wurzeln der Einheit

Eine komplexe Zahl w solch, dass w = 1 für eine positive ganze Zahl n eine n-te Wurzel der Einheit ist. Geometrisch liegen die n-ten Wurzeln der Einheit auf dem Einheitskreis des komplizierten Flugzeugs an den Scheitelpunkten eines regelmäßigen n-gon mit einem Scheitelpunkt auf der reellen Zahl 1.

Wenn w = 1, aber w  1 für alle natürlichen Zahlen k solch, dass 0 die primitive n-te Wurzel der Einheit mit dem kleinsten positiven komplizierten Argument ist. (Es wird manchmal die n-te Hauptwurzel der Einheit genannt, obwohl diese Fachsprache nicht universal ist und mit dem Hauptwert von  nicht verwirrt sein sollte, der 1 ist.)

Die anderen n-ten Wurzeln der Einheit werden durch gegeben

:

für 2  k  n.

Wurzeln von willkürlichen komplexen Zahlen

Obwohl es ungeheuer viele mögliche Werte für einen allgemeinen komplizierten Logarithmus gibt, gibt es nur eine begrenzte Zahl von Werten für die Macht w im wichtigen speziellen Fall, wo q = 1/n und n eine positive ganze Zahl ist. Das sind die n-ten Wurzeln von w; sie sind Lösungen der Gleichung z = w. Als mit echten Wurzeln wird eine zweite Wurzel auch eine Quadratwurzel genannt, und eine dritte Wurzel wird auch eine Würfel-Wurzel genannt.

Es ist in der Mathematik herkömmlich, um w als der Hauptwert der Wurzel zu definieren. Wenn w eine positive reelle Zahl ist, ist es auch herkömmlich, um eine positive reelle Zahl als der Hauptwert der Wurzel w auszuwählen. Für allgemeine komplexe Zahlen wird die n-te Wurzel mit dem kleinsten Argument häufig als der Hauptwert der n-ten Wurzeloperation, als mit Hauptwerten von Wurzeln der Einheit ausgewählt.

Der Satz der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl w wird durch das Multiplizieren des Hauptwerts w durch jede der n-ten Wurzeln der Einheit erhalten. Zum Beispiel sind die vierten Wurzeln 16 2, 2, 2i, und 2i, weil der Hauptwert der vierten Wurzel 16 2 und die vierten Wurzeln der Einheit ist, sind 1, 1, ich und i.

Komplizierte Rechenmächte

Es ist häufig leichter, komplizierte Mächte durch das Schreiben der Zahl zu schätzen, um exponentiated in der polaren Form zu sein. Jede komplexe Zahl z kann in der polaren Form geschrieben werden

:

wo r eine nichtnegative reelle Zahl ist und θ das (echte) Argument von z ist. Die polare Form hat eine einfache geometrische Interpretation: Wenn von einer komplexen Zahl u + iv als das Darstellen eines Punkts (u, v) im komplizierten Flugzeug mit Kartesianischen Koordinaten gedacht wird, dann (r, θ) ist derselbe Punkt in Polarkoordinaten. D. h. r ist der "Radius" r = u + v, und θ ist der "Winkel" θ = atan2 (v, u). Der polare Winkel θ ist zweideutig, seitdem jedes Vielfache 2π zu θ hinzugefügt werden konnte, ohne die Position des Punkts zu ändern. Jede Wahl von θ gibt im Allgemeinen einen verschiedenen möglichen Wert der Macht. Eine Zweigkürzung kann verwendet werden, um einen spezifischen Wert zu wählen. Der Hauptwert (die allgemeinste Zweigkürzung), entspricht im Zwischenraum gewähltem θ ( π, π]. Für komplexe Zahlen mit einem positiven echten Teil und imaginärem Nullteil mit dem Hauptwert gibt dasselbe Ergebnis wie das Verwenden der entsprechenden reellen Zahl.

Um die komplizierte Macht w zu schätzen, schreiben Sie w in der polaren Form:

:.

Dann

:

und so

:

Wenn z als c + di zersetzt wird, dann kann die Formel für w ausführlicher als geschrieben werden

:

Diese Endformel erlaubt komplizierten Mächten, leicht von Zergliederungen der Basis in die polare Form und der Hochzahl in die Kartesianische Form geschätzt zu werden. Es wird hier sowohl in der polaren Form als auch in der Kartesianischen Form (über die Identität von Euler) gezeigt.

Die folgenden Beispiele verwenden den Hauptwert, die Zweigkürzung, die θ veranlasst, im Zwischenraum zu sein ( π, π]. Um mich zu schätzen, schreiben Sie mich in polaren und Kartesianischen Formen:

::

Dann die Formel oben, mit r = 1, θ = π/2, c = 0, und d = 1, Erträge:

:

Ähnlich (um 2) zu finden, schätzen Sie die polare Form 2,

:

und verwenden Sie die Formel oben, um zu schätzen

:

Der Wert einer komplizierten Macht hängt vom verwendeten Zweig ab. Zum Beispiel, wenn die polare Form i = 1e verwendet wird, um mich zu schätzen, wie man findet, ist die Macht e; der Hauptwert von bin mir, geschätzt oben, e. Der Satz aller möglichen Werte, weil durch mich gegeben wird:

::

::

Also gibt es eine Unendlichkeit von Werten, die mögliche Kandidaten für den Wert von mir, ein für jede ganze Zahl k sind. Sie alle haben einen imaginären Nullteil, so kann man sagen, dass ich eine Unendlichkeit von gültigen echten Werten habe.

Misserfolg der Macht und Logarithmus-Identität

Etwas Identität für Mächte und Logarithmen für positive reelle Zahlen werden für komplexe Zahlen scheitern, egal wie komplizierte Mächte und komplizierte Logarithmen als einzeln geschätzte Funktionen definiert werden. Zum Beispiel:

• Der Identitätsklotz (b) = x · log b hält, wann auch immer b eine positive reelle Zahl ist und x eine reelle Zahl ist. Aber für den Hauptzweig des komplizierten Logarithmus hat man
• ::
• : Unabhängig von dem der Zweig des Logarithmus verwendet wird, wird ein ähnlicher Misserfolg der Identität bestehen. Das beste, das gesagt werden kann (wenn es nur dieses Ergebnis verwendet), ist dass:

::

• : Diese Identität hält selbst wenn das Betrachten des Klotzes als eine mehrgeschätzte Funktion nicht. Die möglichen Werte des Klotzes (w) enthalten diejenigen von z · log w als eine Teilmenge. Mit dem Klotz (w) für den Hauptwert des Klotzes (w) und M n als irgendwelche ganzen Zahlen sind die möglichen Werte beider Seiten:

::::

• Die Identität (bc) = bc und (b/c) = b/c ist gültig, wenn b und c positive reelle Zahlen sind und x eine reelle Zahl ist. Aber eine Berechnung mit Hauptzweigen zeigt dem

::

• : und

::

• : Andererseits, wenn x eine ganze Zahl ist, ist die Identität für alle komplexen Nichtnullzahlen gültig.
• : Wenn exponentiation als eine mehrgeschätzte Funktion dann betrachtet wird, sind die möglichen Werte von (1×1) {1, 1}. Die Identität hält, aber Ausspruch {1} = {(1×1)} ist falsch.
• Die Identität (e) = e hält für reelle Zahlen x und y, aber das Annehmen seiner Wahrheit für komplexe Zahlen führt zum folgenden Paradox, entdeckt 1827 von Clausen:
• : Für jede ganze Zahl n haben wir:
• :#

:#:#:#:#

• : aber das ist falsch, wenn die ganze Zahl n Nichtnull ist.
• : Es gibt mehrere Probleme im Denken:
• : Der Hauptfehler besteht darin, dass das Ändern der Ordnung von exponentiation im Gehen von der Linie zwei bis drei Änderungen, wie der gewählte Hauptwert sein wird.
• : Aus dem mehrgeschätzten Gesichtspunkt kommt der erste Fehler noch eher vor. Implizit in der ersten Linie ist, dass e eine reelle Zahl ist, wohingegen das Ergebnis von e eine komplexe Zahl besser vertreten als e+0i ist. Das Auswechseln gegen die komplexe Zahl für das echte auf der zweiten Linie lässt die Macht vielfache mögliche Werte haben. Das Ändern der Ordnung von exponentiation von Linien zwei bis drei betrifft auch, wie viele mögliche Werte das Ergebnis haben kann.

Null zur Nullmacht

Für getrennte Hochzahlen

In den meisten Einstellungen, die nicht mit Kontinuität in die Hochzahl verbunden sind, 0 als 1 dolmetschend, vereinfacht Formeln und beseitigt das Bedürfnis nach speziellen Fällen in Lehrsätzen. (Sieh den folgenden Paragrafen für einige Einstellungen, die wirklich mit Kontinuität verbunden sind.)

Zum Beispiel:

• Bezüglich b weil teilt ein leeres Produkt es der Wert 1, selbst wenn b = 0 zu.
• Die kombinatorische Interpretation 0 ist die Zahl von leeren Tupeln von Elementen vom leeren Satz. Es gibt genau ein leeres Tupel.
• Gleichwertig ist die mit dem Satz theoretische Interpretation 0 die Zahl von Funktionen vom leeren Satz bis den leeren Satz. Es gibt genau eine solche Funktion, die leere Funktion.
• Die Notation für Polynome und Macht-Reihe verlässt sich auf das Definieren 0 = 1. Identität wie und und der binomische Lehrsatz ist für x = 0 wenn 0 = 1 nicht gültig.
• In der Differenzialrechnung ist die Macht-Regel für n = 1 an x = 0 wenn 0 = 1 nicht gültig.

In der Analyse

Andererseits, wenn 0 entsteht, wenn man versucht, eine Grenze der Form zu bestimmen, muss es als eine unbestimmte Form behandelt werden.

• Grenzen, die algebraische Operationen einschließen, können häufig durch das Ersetzen von Subausdrücken durch ihre Grenzen bewertet werden; wenn der resultierende Ausdruck die ursprüngliche Grenze nicht bestimmt, ist der Ausdruck als eine unbestimmte Form bekannt. Tatsächlich, wenn f (t) und g (t) reellwertige Funktionen das beides Nähern 0 sind (weil sich t einer reellen Zahl oder ±  nähert), mit f (t)> 0, braucht sich die Funktion f (t) nicht 1 zu nähern; je nachdem f und g, die Grenze von f (t) kann jede nichtnegative reelle Zahl oder +  sein, oder es kann unbestimmt sein. Zum Beispiel sind die Funktionen unten der Form f (t) mit f (t), g (t)  0 als t  0, aber die Grenzen sind verschieden:

::.

:So 0 ist eine unbestimmte Form. Dieses Verhalten zeigt dass die Zwei-Variablen-Funktion x, obwohl dauernd, auf dem Satz {(x, y): x> 0\, kann zu einer dauernden Funktion auf keinem Satz erweitert werden, der (0,0) enthält, egal wie 0 definiert wird. Jedoch, unter bestimmten Bedingungen, solcher weil, wenn f und g sowohl analytische Funktionen als auch f sind, ist nichtnegativ, die Grenze, die sich vom Recht nähert, ist immer 1.

• Im komplizierten Gebiet wird die Funktion z für die Nichtnull z durch die Auswahl eines Zweigs des Klotzes z und das Setzen z definiert: = e, aber gibt es keinen Zweig des Klotzes z definiert an z = 0, ganz zu schweigen von in einer Nachbarschaft 0.

Geschichte von sich unterscheidenden Gesichtspunkten

Verschiedene Autoren interpretieren die Situation oben unterschiedlich:

• Einige behaupten, dass der beste Wert für 0 von Zusammenhang, und folglich abhängt, dass das Definieren davon ein für allemal problematisch ist. Gemäß Benson (1999), "Basiert die Wahl, ob man 0 definiert, auf der Bequemlichkeit, nicht auf der Genauigkeit."
• Andere behaupten, dass 0 1 ist. Gemäß p. 408 von Knuth (1992), es "muss 1 sein", obwohl er fortsetzt zu sagen, dass "Cauchy guten Grund hatte, 0 als eine unbestimmte Begrenzungsform zu betrachten", und dass "in diesem viel stärkeren Sinn der Wert von 0 weniger definiert wird als, sagen wir, der Wert von 0 + 0" (Betonungen im Original).

Die Debatte ist mindestens seit dem Anfang des 19. Jahrhunderts weitergegangen.

Damals haben die meisten Mathematiker zugegeben, dass 0 = 1 bis 1821 Cauchy 0 zusammen mit Ausdrücken wie in einem Tisch von unbestimmten Formen Schlagseite gehabt hat.

In den 1830er Jahren hat Libri ein nicht überzeugendes Argument für 0 = 1 veröffentlicht, und Möbius hat für ihn Partei ergriffen, falsch das behauptend

wann auch immer

Ein Kommentator, der seinen Namen einfach als "S" unterzeichnet hat, hat das Gegenbeispiel von (e) zur Verfügung gestellt, und das hat die Debatte für einige Zeit beruhigt, mit dem offenbaren Beschluss dieser Episode, die dieser 0 ist, sollte unbestimmt sein.

Mehr Details können in Knuth (1992) gefunden werden.

Behandlung auf Computern

IEEE, der Punkt-Standard schwimmen lässt

Der IEEE 754-2008 Schwimmpunkt-Standard wird im Design von den meisten Schwimmpunkt-Bibliotheken verwendet. Es empfiehlt mehrere verschiedene Funktionen, für eine Macht zu schätzen:

• Vergnügen 0 als 1. Das ist die älteste definierte Version. Wenn die Macht eine genaue ganze Zahl ist, ist das Ergebnis dasselbe bezüglich, sonst ist das Ergebnis bezüglich (abgesehen von einigen Ausnahmefällen).
• Vergnügen 0 als 1. Die Macht muss eine genaue ganze Zahl sein. Der Wert wird für negative Basen definiert, z.B ist 243.
• Vergnügen 0 als NaN (Nicht-Zahl - unbestimmt). Der Wert ist auch NaN für Fälle wie, wo die Basis weniger ist als Null. Der Wert wird durch e definiert.

Programmiersprachen

Der grösste Teil der Programmiersprache mit einer Potenzfunktion wird mit dem IEEE durchgeführt fungieren und bewerten deshalb 0 als 1. Später C und C ++ beschreiben Standards das als das normative Verhalten. Der javanische Standard beauftragt dieses Verhalten. Die.NET Fachwerk-Methode behandelt auch 0 als 1.

Mathematik-Software

• Weiser vereinfacht b zu 1, selbst wenn keine Einschränkungen auf b gelegt werden. Es vereinfacht 0 nicht, und es nimmt 0, um 1 zu sein.
• Ahorn vereinfacht b zu 1 und 0 bis 0, selbst wenn keine Einschränkungen auf b gelegt werden (die letzte Vereinfachung ist nur für x> 0) gültig, und bewertet 0 bis 1.
• Macsyma vereinfacht auch b zu 1 und 0 bis 0, selbst wenn keine Einschränkungen auf b und x gelegt werden, aber gibt einen Fehler für 0 aus.
• Mathematica und Wolfram Alpha vereinfachen b in 1, selbst wenn keine Einschränkungen auf b gelegt werden. Während Mathematica 0 nicht vereinfacht, gibt Wolfram Alpha zwei Ergebnisse, 0 und unbestimmt zurück. Sowohl Mathematica als auch Wolfram Alpha nehmen 0, um eine unbestimmte Form zu sein.

Grenzen von Mächten

Die Abteilungsnull zur Nullmacht führt mehrere Beispiele von Grenzen an, die von der unbestimmten Form 0 sind. Die Grenzen in diesen Beispielen bestehen, aber haben verschiedene Werte, zeigend, dass die Zwei-Variablen-Funktion x keine Grenze am Punkt (0,0) hat. Man kann fragen, an welchen Punkten diese Funktion wirklich eine Grenze hat.

Betrachten Sie genauer die Funktion f (x, y) = x als definiert auf D = {(x, y)  R: x> 0\. Dann kann D als eine Teilmenge dessen angesehen werden (d. h. der Satz aller Paare (x, y) mit x, y, der verlängerten Linie der reellen Zahl = [, + ], ausgestattet mit der Produkttopologie gehörend), der die Punkte enthalten wird, an denen die Funktion f eine Grenze hat.

Tatsächlich hat f eine Grenze an allen Anhäufungspunkten von D, abgesehen von (0,0), (+ , 0), (1, + ) und (1, ). Entsprechend erlaubt das, die Mächte x durch die Kontinuität zu definieren, wann auch immer 0  x  + ,   y  + , abgesehen von 0, (+ ), 1 und 1, die unbestimmte Formen bleiben.

Laut dieser Definition durch die Kontinuität herrschen wir vor:

• x = +  und x = 0, wenn 1 = 0 und x = + , wenn 0  x = 0 und (+ ) = + , wenn 0 = +  und (+ ) = 0, wenn   y für positive Werte von x. Diese Methode erlaubt keine Definition von x, wenn x bereits für alle Werte von x einschließlich negativer bedeutungsvoll ist. Das kann die Definition 0 = +  erhalten oben für die Verneinung n problematisch machen, wenn n seltsam ist, seitdem in diesem Fall x  +  weil neigt x zu 0 durch positive Werte, aber nicht negative.

Effiziente Berechnung von Mächten der ganzen Zahl

Die einfachste Methode, b zu schätzen, verlangt n1 Multiplikationsoperationen, aber es kann effizienter geschätzt werden als der, wie illustriert, durch das folgende Beispiel. Um 2 zu rechnen, bemerken Sie dass 100 = 64 + 32 + 4. Schätzen Sie den folgenden in der Ordnung:

1. 2 = 4
2. (2) = 2 = 16
3. (2) = 2 = 256
4. (2) = 2 = 65,536
5. (2) = 2 = 4,294,967,296
6. (2) = 2 = 18,446,744,073,709,551,616
7. 2 2 2 = 2 =

1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

Diese Reihe von Schritten verlangt nur 8 Multiplikationsoperationen statt 99 (da das letzte Produkt oben 2 Multiplikationen nimmt).

Im Allgemeinen, die Zahl von Multiplikationsoperationen, die erforderlich sind, zu schätzen

b kann auf &Theta reduziert werden; (loggen Sie n) durch das Verwenden exponentiation durch das Quadrieren oder (mehr allgemein) Hinzufügungskette exponentiation. Die Entdeckung der minimalen Folge von Multiplikationen (die Hinzufügungskette der minimalen Länge für die Hochzahl) für b ist ein schwieriges Problem, für das keine effizienten Algorithmen zurzeit bekannt sind (sieh Teilmenge-Summe-Problem), aber viele vernünftig effiziente heuristische Algorithmen sind verfügbar.

Exponentialnotation für Funktionsnamen

Das Stellen eines Exponenten der ganzen Zahl nach dem Namen oder Symbol einer Funktion, als ob die Funktion zu einer Macht allgemein erhoben wurde, bezieht sich auf die wiederholte Funktionszusammensetzung aber nicht wiederholte Multiplikation. So f (x) kann f (f (f (x))) bedeuten;

insbesondere f (x) zeigt gewöhnlich die umgekehrte Funktion von f an. Wiederholte Funktionen sind von Interesse in der Studie von fractals und dynamischen Systemen. Babbage war erst, um das Problem zu studieren, eine funktionelle Quadratwurzel f (x) zu finden.

Jedoch, aus historischen Gründen, gilt eine spezielle Syntax für die trigonometrischen Funktionen: Eine positive auf die Abkürzung der Funktion angewandte Hochzahl bedeutet, dass das Ergebnis zu dieser Macht erhoben wird, während eine Hochzahl 1 die umgekehrte Funktion anzeigt. D. h. sinx ist gerade eine Schnellschrift Weise (Sünde x) zu schreiben, ohne Parenthesen zu verwenden, wohingegen sich sinx auf die umgekehrte Funktion des Sinus, auch genannt arcsin x bezieht. Es gibt kein Bedürfnis nach einer Schnellschrift für die Gegenstücke von trigonometrischen Funktionen, da jeder seinen eigenen Namen und Abkürzung hat; zum Beispiel,

1/(sündigen Sie x) = (Sünde x) = csc x. Eine ähnliche Tagung gilt für Logarithmen, wo logx gewöhnlich bedeutet (loggen Sie x), nicht loggen Klotz x.

Generalisationen

In der abstrakten Algebra

Exponentiation für Hochzahlen der ganzen Zahl kann für ziemlich allgemeine Strukturen in der abstrakten Algebra definiert werden.

Lassen Sie X ein Satz mit einer mit der Macht assoziativen binären Operation sein, die multiplicatively geschrieben wird. Dann wird x für jedes Element x X und jede natürliche Nichtnullzahl n als das Produkt von n Kopien von x definiert, der durch rekursiv definiert wird

::

Man hat die folgenden Eigenschaften

• (mit der Macht assoziatives Eigentum),

Wenn die Operation ein zweiseitiges Identitätselement 1 hat (häufig angezeigt durch e), dann wird x definiert, um 1 für jeden x gleich zu sein.

• Zwei hat Identität Partei ergriffen

Wenn die Operation auch zweiseitige Gegenteile hat, und Multiplikation dann assoziativ ist, ist das Magma eine Gruppe. Das Gegenteil von x kann durch x angezeigt werden und folgt allen üblichen Regeln für Hochzahlen.

• Zwei hat Gegenteil Partei ergriffen

• Assoziativer

Wenn die Multiplikationsoperation auswechselbar ist (bezüglich des Beispiels in abelian Gruppen), dann hält der folgende:

Wenn die binäre Operation zusätzlich geschrieben wird, wie es häufig für abelian Gruppen ist, dann "exponentiation ist wiederholte Multiplikation" kann wiederinterpretiert werden, weil "Multiplikation wiederholte Hinzufügung ist". So hat jedes der Gesetze von exponentiation oben eine Entsprechung unter Gesetzen der Multiplikation.

Wenn man mehrere Operationen ringsherum hat, von denen einige mit exponentiation wiederholt werden könnte, ist es üblich anzuzeigen, welche Operation durch das Stellen seines Symbols im Exponenten wiederholt wird. So ist x x  ···  x, während x x # ist ··· # x was auch immer könnten die Operationen  und # sein.

Hochgestellte Notation wird auch besonders in der Gruppentheorie verwendet, um Konjugation anzuzeigen. D. h. g = hgh, wo g und h Elemente von einer Gruppe sind. Obwohl Konjugation einigen derselben Gesetze wie exponentiation folgt, ist es nicht ein Beispiel der wiederholten Multiplikation in jedem Sinn. Ein quandle ist eine algebraische Struktur, in der diese Gesetze der Konjugation eine Hauptrolle spielen.

Über Sätze

Wenn n eine natürliche Zahl ist und A ein willkürlicher Satz ist, wird der Ausdruck A häufig verwendet, um den Satz von bestellten N-Tupeln von Elementen von A anzuzeigen. Das ist zum Lassen A gleichwertig zeigen den Satz von Funktionen vom Satz {0, 1, 2..., n1} zum Satz A an; das N-Tupel (a, a, a..., a) vertritt die Funktion, die mich an a sendet.

Für eine unendliche Grundzahl κ und ein Satz A wird die Notation A auch verwendet, um den Satz aller Funktionen von einer Reihe der Größe κ zu A anzuzeigen. Das wird manchmal geschrieben, um es von grundsätzlichem exponentiation zu unterscheiden, der unten definiert ist.

Das hat Exponential-verallgemeinert kann auch für Operationen auf Sätzen oder für Sätze mit der Extrastruktur definiert werden. Zum Beispiel, in der geradlinigen Algebra, hat es Sinn, direkte Summen von Vektorräumen über willkürliche Index-Sätze mit einem Inhaltsverzeichnis zu versehen.

D. h. wir können von sprechen

:

wo jeder V ein Vektorraum ist.

Dann, wenn V = V für jeden ich die resultierende direkte Summe in der Exponentialnotation als V, oder einfach V mit dem Verstehen geschrieben werden kann, dass die direkte Summe der Verzug ist.

Wir können wieder den Satz N durch eine Grundzahl n ersetzen, um V zu kommen, obwohl, ohne einen spezifischen Standardsatz mit cardinality n zu wählen, das nur bis zum Isomorphismus definiert wird.

Wenn wir

V nehmen, um Feld R von reellen Zahlen (Gedanke als ein Vektorraum über sich) und n zu sein, um eine natürliche Zahl zu sein, bekommen wir den Vektorraum, der meistens in der geradlinigen Algebra, der Euklidische Raum R studiert wird.

Wenn die Basis der exponentiation Operation ein Satz ist, ist die exponentiation Operation das Kartesianische Produkt, wenn sonst nicht festgesetzt. Da vielfache Kartesianische Produkte ein N-Tupel erzeugen, das durch eine Funktion auf einer Reihe passender cardinality vertreten werden kann, wird S einfach der Satz aller Funktionen von N bis S in diesem Fall:

:

Das fügt mit dem exponentiation von Grundzahlen im Sinn ein, dass |S = |S, wo |X der cardinality X ist.

Wenn "2" als {0,1} definiert wird, haben wir |2 = 2, wo 2, gewöhnlich angezeigt durch P (X), der Macht-Satz X ist; jede Teilmenge Y X entspricht einzigartig zu einer Funktion auf X Einnahme des Werts 1 für x  Y und 0 für x  Y.

In der Kategorie-Theorie

In einer Kartesianischen geschlossenen Kategorie kann die Exponentialoperation verwendet werden, um einen willkürlichen Gegenstand zur Macht eines anderen Gegenstands zu erheben. Das verallgemeinert das Kartesianische Produkt in der Kategorie von Sätzen.

Wenn ein anfänglicher Gegenstand in einer Kartesianischen geschlossenen Kategorie ist, dann ist der Exponentialgegenstand zu jedem Endgegenstand isomorph.

Des Kardinals und der Ordinalzahlen

In der Mengenlehre gibt es Exponentialoperationen wegen des Kardinals und der Ordinalzahlen.

Wenn κ und λ Grundzahlen sind, vertritt der Ausdruck κ den cardinality des Satzes von Funktionen von jedem Satz von cardinality λ zu jedem Satz von cardinality κ. Wenn κ und λ begrenzt sind, dann stimmt das mit der gewöhnlichen arithmetischen Exponentialoperation überein. Zum Beispiel hat der Satz von 3 Tupeln von Elementen von einem 2-Elemente-Satz cardinality 8 = 2.

Exponentiation von Grundzahlen ist von exponentiation von Ordinalzahlen verschieden, der durch einen Grenze-Prozess definiert wird, der mit transfiniter Induktion verbunden ist.

Wiederholter exponentiation

Ebenso exponentiation natürlicher Zahlen wird durch die wiederholte Multiplikation motiviert, es ist möglich, eine auf wiederholtem exponentiation gestützte Operation zu definieren; diese Operation wird manchmal tetration genannt. Das Wiederholen tetration führt zu einer anderen Operation und so weiter. Diese Folge von Operationen wird durch die Funktion von Ackermann und die-Pfeil-Notation von Knuth ausgedrückt. Da exponentiation schneller wächst als Multiplikation, die schneller wächst, als Hinzufügung, tetration schneller wächst als exponentiation. Bewertet an (3,3), die Funktionshinzufügung, trägt Multiplikation, exponentiation, tetration 6, 9, 27, und 7,625,597,484,987 beziehungsweise.

Auf Programmiersprachen

Die hochgestellte Notation x ist in der Handschrift günstig, aber für Schreibmaschinen und Computerterminals ungünstig, die die Grundlinien aller Charaktere auf jeder Linie ausrichten. Viele Programmiersprachen haben abwechselnde Weisen, exponentiation auszudrücken, die Exponenten nicht verwenden:

• : ALGOL, Kommodore GRUNDLEGENDER
• : GRUNDLEGEND, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (und seine Ableitungen), TI-BASIC, bc (für Hochzahlen der ganzen Zahl), Haskell (für Hochzahlen der natürlichen Zahl), Lua, NATTER und die meisten Computeralgebra-Systeme
• : Haskell (für die Bruchbasis, Hochzahlen der ganzen Zahl), D
• : Ada, Heftiger Schlag, COBOL, Fortran, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, Pythonschlange, Rexx, Rubin, SAS, Tcl, ABAP, Haskell (für Schwimmpunkt-Hochzahlen), Turing, VHDL
• : APL

Viele Programmiersprachen haben an syntaktischer Unterstützung für exponentiation Mangel, aber stellen Bibliotheksfunktionen zur Verfügung.

Im Heftigen Schlag, C, C ++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Pythonschlange und Ruby, vertritt das Symbol ^ bitwise XOR. In Pascal vertritt es Umweg. In OCaml und Normalem ML vertritt es Schnur-Verkettung.

Geschichte der Notation

Der Begriff Macht wurde vom griechischen Mathematiker Euklid für das Quadrat einer Linie gebraucht. Archimedes hat entdeckt und hat das Gesetz von Hochzahlen, notwendig bewiesen, um Mächte 10 zu manipulieren. Im 9. Jahrhundert hat der persische Mathematiker Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī die Begriffe mal für ein Quadrat und kab für einen Würfel gebraucht, den später islamische Mathematiker in der mathematischen Notation als M und k, beziehungsweise, vor dem 15. Jahrhundert, wie gesehen, in der Arbeit von Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī vertreten haben.

Nicolas Chuquet hat eine Form der Exponentialnotation im 15. Jahrhundert verwendet, die später von Henricus Grammateus und Michael Stifel im 16. Jahrhundert verwendet wurde. Samuel Jeake hat den Begriff Indizes 1696 eingeführt. Im 16. Jahrhundert hat Robert Recorde die Begriffe Quadrat, Würfel, zenzizenzic (die vierte Macht), surfolide (fünft), zenzicube (der sechste), zweite surfolide (siebent) und (achter) Zenzizenzizenzic gebraucht. Biquadrate ist verwendet worden, um sich auf die vierte Macht ebenso zu beziehen.

Einige Mathematiker (z.B, Isaac Newton) haben Hochzahlen nur für Mächte verwendet, die größer sind als zwei, es vorziehend, Quadrate als wiederholte Multiplikation zu vertreten. So würden sie Polynome, zum Beispiel, als Axt + bxx + cx + d schreiben.

Ein anderes historisches Synonym, Involution, ist jetzt selten und sollte mit seiner allgemeineren Bedeutung nicht verwirrt sein.

Siehe auch

• Exponentialzerfall
• Exponentialwachstum
• Liste von Exponentialthemen
• Modularer exponentiation
• Subschriften von Unicode und Exponenten

Links

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