Das Quant harmonischer Oszillator ist das mit dem Quant mechanische Analogon des klassischen harmonischen Oszillators. Weil einem willkürlichen Potenzial als ein harmonisches Potenzial an der Umgebung eines stabilen Gleichgewicht-Punkts näher gekommen werden kann, ist es eines der wichtigsten Mustersysteme in der Quant-Mechanik. Außerdem ist es eines der wenigen mit dem Quant mechanischen Systeme, für die eine genaue, analytische Lösung bekannt ist.

Eindimensionaler harmonischer Oszillator

Hamiltonian und Energie eigenstates

Der Hamiltonian der Partikel ist:

:

Die Funktionen H sind die Polynome von Hermite:

:

Die entsprechenden Energieniveaus sind

:.

Dieses Energiespektrum ist aus drei Gründen beachtenswert. Erstens werden die Energien gequantelt, bedeutend, dass nur getrennte Energiewerte (Vielfachen der halbganzen Zahl) möglich sind; das ist eine allgemeine Eigenschaft von mit dem Quant mechanischen Systemen, wenn eine Partikel beschränkt wird. Zweitens sind diese getrennten Energieniveaus, unterschiedlich im Modell von Bohr des Atoms oder der Partikel in einem Kasten ebenso unter Drogeneinfluss. Drittens ist die niedrigste erreichbare Energie (die Energie des Staates, genannt den Boden-Staat) dem Minimum des Potenzials so, aber darüber nicht gleich; das wird Nullpunktsenergie genannt. Wegen der Nullpunktsenergie werden die Position und der Schwung des Oszillators im Boden-Staat nicht befestigt (wie sie in einem klassischen Oszillator sein würden), aber haben Sie eine kleine Reihe der Abweichung in Übereinstimmung mit dem Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg. Die Nullpunktsenergie hat auch wichtige Implikationen in der Quant-Feldtheorie und dem Quant-Ernst.

Bemerken Sie, dass die Boden-Zustandwahrscheinlichkeitsdichte am Ursprung konzentriert wird. Das bedeutet, dass die Partikel den grössten Teil seiner Zeit an der Unterseite vom Potenzial verbringt so, wie wir für einen Staat mit wenig Energie erwarten würden. Als die Energie zunimmt, wird die Wahrscheinlichkeitsdichte konzentriert an den klassischen "Wendepunkten", wo die Energie des Staates mit der potenziellen Energie zusammenfällt. Das ist mit dem klassischen harmonischen Oszillator im Einklang stehend, in dem die Partikel den grössten Teil seiner Zeit verbringt (und deshalb höchstwahrscheinlich gefunden wird) an den Wendepunkten, wo es am langsamsten ist. Der Ähnlichkeitsgrundsatz ist so zufrieden.

Leiter-Maschinenbediener-Methode

Die geisterhafte Methode-Lösung, obwohl aufrichtig, ist ziemlich langweilig. Die "Leiter Maschinenbediener" Methode, wegen Paul Diracs, erlaubt uns, die Energie eigenvalues herauszuziehen, ohne die Differenzialgleichung direkt zu lösen. Außerdem ist es sogleich generalizable zu mehr komplizierten Problemen namentlich in der Quant-Feldtheorie. Im Anschluss an diese Annäherung definieren wir die Maschinenbediener a und sein adjoint ein

:

&= \sqrt {m\omega \over 2\hbar} \left (x + {ich \over M \omega} p \right) \\

a^ {\\Dolch} &= \sqrt {M \omega \over 2\hbar} \left (x - {ich \over M \omega} p \right)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der zur nützlichen Darstellung und, führt

::

Der Maschinenbediener nicht Hermitian seit ihm und seinem adjoint zu sein, nicht gleich zu sein.

Wir können auch einen Zahl-Maschinenbediener N definieren, der das folgende Eigentum hat:

::

Die folgenden Umschalter können durch das Ersetzen der kanonischen Umwandlungsbeziehung, leicht erhalten werden

:

Und der Maschinenbediener von Hamilton kann als ausgedrückt werden

:

so ist der eigenstate von N auch der eigenstate der Energie.

Die Umwandlungseigenschaften geben nach

:

Na^ {\\Dolch} |n\rangle&=\left (a^ {\\Dolch} N + [N, a^ {\\Dolch}] \right) |n\rangle \\&= \left (a^ {\\Dolch} N+a^ {\\Dolch }\\Recht) |n\rangle \\&= (n+1) a^ {\\Dolch} |n\rangle,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und ähnlich

:

Das bedeutet dass Taten auf, bis zu einer multiplicative Konstante, und Taten zu erzeugen, auf zu erzeugen. Deshalb zu sein, hat einen "sinkenden Maschinenbediener", und ein "erhebender Maschinenbediener" genannt. Die zwei Maschinenbediener werden zusammen Leiter-Maschinenbediener genannt. In der Quant-Feldtheorie, a und von wechselweise genannten "Vernichtungs-" und "Entwicklungs"-Maschinenbedienern zu sein, weil sie zerstören und Partikeln schaffen, die unseren Quanten der Energie entsprechen.

In Anbetracht jeder Energie eigenstate können wir ihm mit dem sinkenden Maschinenbediener, a folgen, um einen anderen eigenstate mit - weniger Energie zu erzeugen. Durch die wiederholte Anwendung des sinkenden Maschinenbedieners scheint es, dass wir Energie eigenstates unten zu E = &minus; erzeugen können. Jedoch, seitdem

:

die kleinste eigen Zahl ist 0, und

:.

In diesem Fall werden nachfolgende Anwendungen des sinkenden Maschinenbedieners gerade Null kets, statt der zusätzlichen Energie eigenstates erzeugen. Außerdem haben wir darüber gezeigt

:

Schließlich, indem wir mit dem erhebenden Maschinenbediener folgen und durch passende Normalisierungsfaktoren multiplizieren, können wir einen unendlichen Satz der Energie eigenstates, solch dass erzeugen

:

der das Energiespektrum vergleicht, das wir in der vorhergehenden Abteilung gegeben haben.

Willkürlicher eigenstate kann in Bezug auf ausgedrückt werden

:

:Proof:

::

\langle n|aa^ {\\Dolch} |n\rangle&=\langle n |\left ([a, a^ {\\Dolch}] +a^ {\\Dolch} a\right) |n\rangle =\langle n |\left (N+1\right) |n\rangle=n+1 \\\Rightarrow a^{\dagger}|n\rangle&=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\\\Rightarrow|n\rangle&=\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n}}|n-1\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{2}}{\sqrt{n(n-1)}}|n-2\rangle=\cdots=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n!}} |0\rangle.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Natürliche Länge und Energieskalen

Harmonischer Oszillator des Quants besitzt natürliche Skalen für die Länge und Energie, die verwendet werden kann, um das Problem zu vereinfachen. Diese können durch nondimensionalization gefunden werden. Das Ergebnis besteht darin, dass, wenn wir Energie in Einheiten und Entfernung in Einheiten dann messen, die Gleichung von Schrödinger wird:

:

und die Energie eigenfunctions und eigenvalues werden

::

wo die Polynome von Hermite sind.

Um Verwirrung zu vermeiden, werden wir diese natürlichen Einheiten in diesem Artikel nicht annehmen. Jedoch gehen sie oft handlich ein, wenn sie Berechnungen durchführen.

Moleküle von Diatomic

Die Vibrationen eines diatomic Moleküls sind ein Beispiel einer Zwei-Körper-Version des Quants harmonischer Oszillator. In diesem Fall wird die winkelige Frequenz durch gegeben

:

wo die reduzierte Masse ist und durch die Masse der zwei Atome bestimmt wird.

N-dimensional harmonischer Oszillator

Der eindimensionale harmonische Oszillator ist sogleich generalizable zu N Dimensionen, wo N = 1, 2, 3.... In einer Dimension wurde die Position der Partikel durch eine einzelne Koordinate, x angegeben. In N Dimensionen wird das durch N Positionskoordinaten ersetzt, die wir x..., x etikettieren. Entsprechend jeder Position ist Koordinate ein Schwung; wir etikettieren diese p..., p. Die kanonischen Umwandlungsbeziehungen zwischen diesen Maschinenbedienern sind

:

\left [x_i, p_j \right] &=& i\hbar\delta_ {ich, j} \\

\left [x_i, x_j \right] &=& 0 \\

\left [p_i, p_j \right] &=& 0

\end {Matrix} </Mathematik>.

Der Hamiltonian für dieses System ist

:.

Da die Form dieses Hamiltonian verständlich macht, ist der N-dimensional harmonische Oszillator N unabhängigen eindimensionalen harmonischen Oszillatoren mit derselben Massen- und Frühlingskonstante genau analog. In diesem Fall würden sich die Mengen x..., x auf die Positionen von jeder der N Partikeln beziehen. Das ist ein günstiges Eigentum des Potenzials, das der potenziellen Energie erlaubt, in Begriffe abhängig von einer Koordinate jeder getrennt zu werden.

Diese Beobachtung macht die Lösung aufrichtig. Für einen besonderen Satz von Quantenzahlen {n} die Energie eigenfunctions für den N-dimensional Oszillator werden in Bezug auf den 1-dimensionalen eigenfunctions als ausgedrückt:

:

\langle \mathbf {x} | \psi_ {\\{n\} }\\rangle

\prod_ {ich

1\^N\langle x_i |\psi_ {n_i }\\rangle

</Mathematik>

In der Leiter-Maschinenbediener-Methode definieren wir N Sätze von Leiter-Maschinenbedienern,

:

a_i &=& \sqrt {m\omega \over 2\hbar} \left (x_i + {ich \over M \omega} p_i \right) \\

a^ {\\Dolch} _i &=& \sqrt {M \omega \over 2\hbar} \left (x_i - {ich \over M \omega} p_i \right)

\end {Matrix} </Mathematik>.

Durch ein dem eindimensionalen Fall analoges Verfahren können wir dann zeigen, dass jeder der a und Maschinenbediener senkt und die Energie durch  ω beziehungsweise erhebt. Der Hamiltonian ist

:

H = \hbar \omega \, \sum_ {i=1} ^N \left (a_i^\\Dolch \, a_i + \frac {1} {2 }\\Recht).

</Mathematik>

Dieser Hamiltonian ist invariant unter der dynamischen Symmetrie-Gruppe U (N) (die einheitliche Gruppe in N Dimensionen), definiert durch

:

U \, a_i^\\Dolch \, U^\\Dolch = \sum_ {j=1} ^N a_j^\\Dolch \, U_ {ji }\\quad\hbox {für den ganzen }\\Viererkabel

U \in U (N),

</Mathematik>

wo ein Element in der definierenden Matrixdarstellung von U (N) ist.

Die Energieniveaus des Systems sind

:.:

n_i = 0, 1, 2, \dots \quad (\hbox {die Zahl von bosons in der Weise} i).

</Mathematik>

Als im eindimensionalen Fall wird die Energie gequantelt. Die Boden-Zustandenergie ist N Zeiten die eindimensionale Energie, weil wir annehmen würden, die Analogie zu N unabhängigen eindimensionalen Oszillatoren zu verwenden. Es gibt einen weiteren Unterschied: Im eindimensionalen Fall entspricht jedes Energieniveau einem einzigartigen Quant-Staat. In N-Dimensionen, abgesehen vom Boden-Staat, sind die Energieniveaus degeneriert, bedeutend, dass es mehrere Staaten mit derselben Energie gibt.

Die Entartung kann relativ leicht berechnet werden. Als ein Beispiel, ziehen Sie den 3-dimensionalen Fall in Betracht: Definieren Sie n = n + n + n. Alle Staaten mit demselben n werden dieselbe Energie haben. Für einen gegebenen n wählen wir einen besonderen n. Dann n + n = n &minus; n. Es gibt n &minus; n + 1 mögliche Gruppen {n, n}. n kann die Werte 0 zu n &minus übernehmen; n, und für jeden n wird der Wert von n befestigt. Der Grad der Entartung ist deshalb:

:

g_n = \sum_ {n_1=0} ^n n - n_1 + 1 = \frac {(n+1) (n+2)} {2 }\

</Mathematik>

Formel für General N und n [g die Dimension der symmetrischen nicht zu vereinfachenden n Macht-Darstellung der einheitlichen Gruppe U (N)] zu sein:

:

g_n = \binom {N+n-1} {n }\

</Mathematik>

Der spezielle Fall N = 3, gegeben oben, folgt direkt von dieser allgemeinen Gleichung. Das ist jedoch, nur wahr für die unterscheidbare Partikel oder eine Partikel in N Dimensionen (weil Dimensionen unterscheidbar sind). Für den Fall von N bosons in einer Dimension harmonische Falle klettert die Entartung als die Zahl von Weisen, eine ganze Zahl mit ganzen Zahlen weniger zu verteilen, als oder gleich N.

:

g_n = p (N_ {-}, E)

</Mathematik>

Das entsteht wegen der Einschränkung, N Quanten in einen Staat ket zu stellen, wo und, die dieselben Einschränkungen wie in der Teilung der ganzen Zahl sind.

Beispiel: Harmonischer isotropischer 3D-Oszillator

Die Gleichung von Schrödinger eines kugelförmig symmetrischen dreidimensionalen harmonischen Oszillators kann ausführlich durch die Trennung von Variablen gelöst werden, diesen Artikel für den vorliegenden Fall zu sehen. Dieses Verfahren ist der Trennung analog, die im wasserstoffähnlichen Atom-Problem, aber mit dem kugelförmig symmetrischen Potenzial durchgeführt ist

:

wo die Masse des Problems ist. (Weil M unten für die magnetische Quantenzahl verwendet wird, wird Masse durch statt der M als früher in diesem Artikel angezeigt.)

Die Lösung liest

:wo:

(2k+2l+1)!!} ist }\\, </Mathematik> eine unveränderliche Normalisierung.

:

: sind verallgemeinerte Polynome von Laguerre. Der Auftrag k des Polynoms ist eine natürliche Zahl.

: ist eine kugelförmige harmonische Funktion.

: ist der reduzierte unveränderliche Planck:.

Die Energie eigenvalue ist

:

Die Energie wird gewöhnlich durch die einzelne Quantenzahl beschrieben

:

Weil k eine natürliche Zahl ist, für jeden sogar n haben wir, und für jeden sonderbaren n haben wir. Die magnetische Quantenzahl-M ist eine Zufriedenheit der ganzen Zahl, so für jeden n und l dort sind 2l+1 verschiedene Quant-Staaten, die durch die M etikettiert sind. So ist die Entartung am Niveau n

:

wo die Summe von 0 oder 1, gemäß anfängt, ob n sogar oder seltsam ist.

Dieses Ergebnis ist in Übereinstimmung mit der Dimensionsformel oben.

Verbundene harmonische Oszillatoren

In diesem Problem denken wir N gleiche Massen, die mit ihren Nachbarn vor den Frühlingen in der Grenze von großem N verbunden werden. Die Massen bilden eine geradlinige Kette in einer Dimension oder ein regelmäßiges Gitter in zwei oder drei Dimensionen.

Als in der vorherigen Abteilung zeigen wir die Positionen der Massen durch x, x..., wie gemessen, von ihren Gleichgewicht-Positionen an (d. h. x = 0, wenn Partikel k an seiner Gleichgewicht-Position ist.) In zwei oder mehr Dimensionen sind die xs Vektor-Mengen. Der Hamiltonian des Gesamtsystems ist

:

Die potenzielle Energie wird über "Nah-Nachbar"-Paare summiert, also gibt es einen Begriff für jeden Frühling.

Bemerkenswert, dort besteht eine Koordinatentransformation, um dieses Problem in eine Reihe unabhängiger harmonischer Oszillatoren zu verwandeln, von denen jeder einer besonderen gesammelten Verzerrung des Gitters entspricht. Diese Verzerrungen zeigen einige einer Partikel ähnliche Eigenschaften, und werden phonons genannt. Phonons kommen insgesamt (sogar amorph) Festkörper vor und sind äußerst wichtig, um viele der in der Physik des festen Zustands studierten Phänomene zu verstehen.

Siehe auch

• Quant-Maschine
• Benzin in einer harmonischen Falle
• Entwicklung und Vernichtungsmaschinenbediener
• Zusammenhängender Staat
• Morsezeichen-Potenzial
• Das Atom von Hooke
• Der Lehrsatz von Bertrand
• Molekülschwingung

Links

• Quant harmonischer Oszillator
• Berechnung mit einem nichtauswechselbaren freien monoid: (mathematische Version) / (abgekürzte Version)
• Grundprinzip, für die Leiter-Maschinenbediener zu wählen
• Lebende 3D-Intensitätsanschläge des Quants harmonischer Oszillator
• Harmonischer Oszillator des gesteuerten und befeuchteten Quants (halten Zeichen natürlich "Quant-Optik in elektrischen Stromkreisen" Vorlesungen)