knowledgr.de

Summierung

Neues Wissen!

Summierung ist die Operation, eine Folge von Zahlen hinzuzufügen; das Ergebnis ist ihre Summe oder Summe. Wenn Zahlen folgend vom linken bis Recht hinzugefügt werden, ist jedes Zwischenergebnis eine teilweise Summe, Präfix-Summe oder das der Summierung ganze Laufen. Die Zahlen, die (genannt Summanden, oder manchmal summands) zu summieren sind, können ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sein. Außer Zahlen können andere Typen von Werten ebenso hinzugefügt werden: Vektoren, matrices, Polynome und, im Allgemeinen, Elemente jeder zusätzlichen Gruppe (oder sogar monoid). Für begrenzte Folgen solcher Elemente erzeugt Summierung immer eine bestimmte Summe (vielleicht auf Grund von der Tagung für leere Summen).

Die Summierung einer unendlichen Folge von Werten ist nicht immer möglich, und wenn ein Wert für eine unendliche Summierung gegeben werden kann, schließt das mehr ein als gerade die Hinzufügungsoperation, nämlich auch der Begriff einer Grenze. Solche unendlichen Summierungen sind als Reihe bekannt. Ein anderer Begriff, Grenzen von begrenzten Summen einzuschließen, ist Integration. Der Begriff Summierung hat eine spezielle Bedeutung, die mit der Extrapolation im Zusammenhang der auseinander gehenden Reihe verbunden ist.

Die Summierung der Folge 1, 2, 4, 2 ist ein Ausdruck, dessen Wert die Summe von jedem der Mitglieder der Folge ist. Im Beispiel, = 9. Da Hinzufügung assoziativ ist, hängt der Wert nicht ab, wie die Hinzufügungen zum Beispiel gruppiert werden und beide den Wert 9 haben; deshalb werden Parenthesen gewöhnlich in wiederholten Hinzufügungen weggelassen. Hinzufügung ist auch auswechselbar, so permutierend die Begriffe einer begrenzten Folge ändern seine Summe nicht (für unendliche Summierungen, denen dieses Eigentum fehlen kann; sieh absolute Konvergenz für Bedingungen, unter denen sie noch hält).

Es gibt keine spezielle Notation für die Summierung solcher ausführlichen Folgen, wie der entsprechende wiederholte Hinzufügungsausdruck tun wird. Es gibt nur eine geringe Schwierigkeit, wenn die Folge weniger als zwei Elemente hat: Die Summierung einer Folge eines Begriffes ist mit keinem Pluszeichen verbunden (es ist vom Begriff selbst nicht zu unterscheidend), und die Summierung der leeren Folge kann nicht sogar niedergeschrieben werden (aber man kann seinen Wert "0" in seinem Platz schreiben). Wenn, jedoch, die Begriffe der Folge durch ein regelmäßiges Muster vielleicht der variablen Länge gegeben werden, dann kann ein Summierungsmaschinenbediener nützlich oder sogar notwendig sein. Für die Summierung der Folge von aufeinander folgenden ganzen Zahlen von 1 bis 100 konnte man einen Hinzufügungsausdruck verwenden, der eine Ellipse einschließt, um die fehlenden Begriffe anzuzeigen:. In diesem Fall errät der Leser leicht das Muster; jedoch, für mehr komplizierte Muster, muss man über die Regel genau sein, die verwendet ist, um aufeinander folgende Begriffe zu finden, die durch das Verwenden des Summierungsmaschinenbedieners "Σ" erreicht werden können. Mit dieser Notation wird die obengenannte Summierung als geschrieben:

Der Wert dieser Summierung ist 5050. Es kann gefunden werden, ohne 99 Hinzufügungen durchzuführen, da es (zum Beispiel durch die mathematische Induktion) das gezeigt werden kann

für alle natürlichen Zahlen n. Mehr allgemein bestehen Formeln für viele Summierungen von Begriffen im Anschluss an ein regelmäßiges Muster.

Der Begriff "unbestimmte Summierung" bezieht sich auf die Suche nach einem umgekehrten Image einer gegebenen unendlichen Folge s von Werten für den Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener, mit anderen Worten für eine Folge, genannt Antiunterschied von s, dessen begrenzte Unterschiede durch s gegeben werden. Im Vergleich wird Summierung, wie besprochen, in diesem Artikel "bestimmte Summierung" genannt.

Notation

Kapitalsigma-Notation

Mathematische Notation verwendet ein Symbol, das kompakt Summierung von vielen ähnlichen Begriffen vertritt: das Summierungssymbol, , eine vergrößerte Form des aufrechten griechischen Kapitalbriefs Sigma. Das wird als definiert:

Wo ich den Index der Summierung vertrete; x ist eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Variable, die jeden aufeinander folgenden Begriff in der Reihe vertritt; M ist tiefer bestimmt der Summierung, und n ist das der Summierung gebundene obere. "Ich = bedeutet M" unter dem Summierungssymbol, dass der Index ich gleich der M aufbreche. Der Index, ich, wird durch 1 für jeden aufeinander folgenden Begriff erhöht, wenn ich = n anhaltend.

Hier ist ein Beispiel, die Summierung von Exponentialbegriffen (alle Begriffe zur Macht 2) zeigend:

Das informelle Schreiben lässt manchmal die Definition des Index und Grenzen der Summierung weg, wenn diese vom Zusammenhang, als klar sind in:

Man sieht häufig Generalisationen dieser Notation, in der eine willkürliche logische Bedingung geliefert wird, und die Summe beabsichtigt ist, um alle Werte übernommen zu werden, die die Bedingung befriedigen. Zum Beispiel:

ist die Summe von f (k) über ganzen (ganze Zahl) k in der angegebenen Reihe,

ist die Summe von f (x) über alle Elemente x im Satz S und

ist die Summe von μ (d) über alle positiven ganzen Zahlen d, sich n teilend.

Es gibt auch Weisen, den Gebrauch von vielen Sigma-Zeichen zu verallgemeinern. Zum Beispiel,

ist dasselbe als

Eine ähnliche Notation wird angewandt, wenn sie zur Bezeichnung des Produktes einer Folge kommt, die seiner Summierung ähnlich ist, aber die die Multiplikationsoperation statt der Hinzufügung verwendet (und 1 für eine leere Folge statt 0 gibt). Dieselbe grundlegende Struktur, wird mit , einer vergrößerten Form des griechischen Großbuchstaben Pi verwendet, den ersetzend.

Spezielle Fälle

Es ist möglich, weniger als 2 Zahlen zu summieren:

Wenn die Summierung einen summand x hat, dann ist die bewertete Summe x.
Wenn die Summierung keinen summands hat, dann ist die bewertete Summe Null, weil Null die Identität für die Hinzufügung ist. Das ist als die leere Summe bekannt.

Diese degenerierten Fälle werden gewöhnlich nur verwendet, wenn die Summierungsnotation einen degenerierten gibt, laufen auf einen speziellen Fall hinaus.

Zum Beispiel, wenn M = n in der Definition oben, dann gibt es nur einen Begriff in der Summe; wenn m> n, dann gibt es niemanden.

Formelle Definition

Wenn die wiederholte Funktionsnotation z.B definiert wird und als eine primitivere Notation dann betrachtet wird, kann Summierung in Bezug auf wiederholte Funktionen als definiert werden:

\left\{b+1, \sum_ {i=a} ^b g (i) \right\} \equiv \left (\{ich, x\} \rightarrow \{i+1, x+g (i) \}\\Recht) ^ {b-a+1} \{a, 0\}\

</Mathematik>

Wo die lockigen geschweiften Klammern einen 2-Tupel-definieren und der richtige Pfeil eine Funktionsdefinition ist, die einen 2-Tupel-zum 2-Tupel-nimmt. Die Funktion wird b-a+1 Zeiten auf dem Tupel {a, 0} angewandt.

Maß-Theorie-Notation

In der Notation des Maßes und Integrationstheorie kann eine Summe als ein bestimmtes Integral, ausgedrückt werden

wo die Teilmenge der ganzen Zahlen von zu ist, und wo das Zählen-Maß ist.

Hauptsatz der getrennten Rechnung

Unbestimmte Summen können verwendet werden, um bestimmte Summen mit der Formel zu berechnen:

Annäherung durch bestimmte Integrale

Viele solche Annäherungen können durch die folgende Verbindung zwischen Summen und Integralen erhalten werden, der für irgendwelchen hält:

Erhöhung der Funktion f:

das Verringern der Funktion f:

Für allgemeinere Annäherungen, sieh die Euler-Maclaurin Formel.

Für Summierungen, in denen der summand gegeben wird (oder kann interpoliert werden), durch eine integrable Funktion des Index kann die Summierung als eine Summe von Riemann interpretiert werden, die in der Definition des entsprechenden bestimmten Integrals vorkommt. Man kann deshalb das zum Beispiel erwarten

da die rechte Seite definitionsgemäß die Grenze für von der linken Seite ist. Jedoch für eine gegebene Summierung wird n befestigt, und wenig kann über den Fehler in der obengenannten Annäherung ohne zusätzliche Annahmen über f gesagt werden: Es ist klar, dass für wild schwingende Funktionen die Summe von Riemann vom integrierten Riemann willkürlich weit sein kann.

Identität

Die Formeln schließen unten begrenzte Summen ein; weil unendliche Summierungen Liste der mathematischen Reihe sehen

Allgemeine Manipulationen

:, wo C ein unveränderlicher ist

::::::::::

Einige Summierungen von polynomischen Ausdrücken

: (Sieh Harmonische Zahl)

: (sieh arithmetische Reihe)

: (Spezieller Fall der arithmetischen Reihe)

:::

: wo eine Zahl von Bernoulli anzeigt

Die folgenden Formeln sind Manipulationen von verallgemeinerten, um eine Reihe an jedem Wert der natürlichen Zahl (d. h.,) zu beginnen:

Einige Summierungen, die mit Exponentialbegriffen verbunden sind

In den Summierungen unter x ist eine 1 nicht gleiche Konstante

: (sieh geometrische Reihe)

: (geometrische Reihe, die an 1 anfängt)

: (spezieller Fall wenn x = 2)

: (spezieller Fall wenn x = 1/2)

Einige Summierungen, die mit binomischen Koeffizienten verbunden sind

Dort bestehen Sie enorm viele Summierungsidentität, die binomische Koeffizienten einschließt (ein ganzes Kapitel der Konkreten Mathematik wird gerade den grundlegenden Techniken gewidmet). Einige der grundlegendsten sind das folgende.

::::

: der binomische Lehrsatz