In der Mathematik ist ein Polynom ein Ausdruck der begrenzten Länge, die von Variablen (auch bekannt als indeterminates) und Konstanten, mit nur die Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Hochzahlen der natürlichen Zahl gebaut ist. Zum Beispiel, ist ein Polynom, aber ist nicht, weil sein zweiter Begriff Abteilung durch die Variable x (4/x) einschließt, und weil sein dritter Begriff eine Hochzahl enthält, die nicht eine ganze Zahl (3/2) ist. Der Begriff "Polynom" kann auch als ein Adjektiv für Mengen gebraucht werden, die als ein Polynom von einem Parameter, als in der polynomischen Zeit ausgedrückt werden können, die in der rechenbetonten Kompliziertheitstheorie verwendet wird.

Polynom kommt aus dem griechischen poly, "vielen" und mittelalterlichem lateinischem binomium, "Binom". Das Wort wurde in Latein von Franciscus Vieta eingeführt.

Polynome erscheinen in einem großen Angebot an Gebieten der Mathematik und Wissenschaft. Zum Beispiel werden sie verwendet, um polynomische Gleichungen zu bilden, die eine breite Reihe von Problemen von elementaren Wortproblemen bis komplizierte Probleme in den Wissenschaften verschlüsseln; sie werden verwendet, um polynomische Funktionen zu definieren, die in Einstellungen im Intervall von der grundlegenden Chemie und Physik zur Volkswirtschaft und Sozialwissenschaft erscheinen; sie werden in der Rechnung und numerischen Analyse verwendet, um anderen Funktionen näher zu kommen. In der fortgeschrittenen Mathematik werden Polynome verwendet, um polynomische Ringe, ein Hauptkonzept in der abstrakten Algebra und algebraischen Geometrie zu bauen.

Übersicht

Ein Polynom ist entweder Null, oder kann als die Summe von einem oder mehr Nichtnullbegriffen geschrieben werden. Die Zahl von Begriffen ist begrenzt. Diese Begriffe bestehen aus einer Konstante (hat den Koeffizienten des Begriffes genannt), der mit einer begrenzten Zahl von Variablen (gewöhnlich vertreten durch Briefe), auch genannt indeterminates multipliziert werden kann. Jede Variable kann eine Hochzahl haben, die eine natürliche Zahl, d. h., eine natürliche Zahl ist. Die Hochzahl auf einer Variable in einem Begriff wird den Grad dieser Variable in diesem Begriff genannt, der Grad des Begriffes ist die Summe der Grade der Variablen in diesem Begriff, und der Grad eines Polynoms ist der größte Grad irgendwelchen Begriffes. Seitdem ist der Grad einer Variable ohne eine schriftliche Hochzahl derjenige. Ein Begriff ohne Variablen wird einen unveränderlichen Begriff, oder gerade eine Konstante genannt. Der Grad eines unveränderlichen (nichtnull)-Begriffes ist 0. Der Koeffizient eines Begriffes kann jede Zahl von einem angegebenen Satz sein. Wenn dieser Satz der Satz von reellen Zahlen ist, sprechen wir von "Polynomen über den reals". Andere allgemeine Arten von Polynomen sind Polynome mit Koeffizienten der ganzen Zahl, Polynome mit komplizierten Koeffizienten und Polynome mit Koeffizienten, die ganze Zahlen modulo einer Primzahl p sind. In den meisten Beispielen in dieser Abteilung sind die Koeffizienten ganze Zahlen.

Zum Beispiel:

:

ist ein Begriff. Der Koeffizient ist-5, die Variablen sind x und y, der Grad von x ist im Begriff zwei, während der Grad von y derjenige ist.

Der Grad des kompletten Begriffes ist die Summe der Grade jeder Variable darin, so in diesem Beispiel ist der Grad 2 + 1 = 3.

Das Formen einer Summe von mehreren Begriffen erzeugt ein Polynom. Zum Beispiel ist der folgende ein Polynom:

:

Es besteht aus drei Begriffen: Das erste ist Grad zwei, das zweite ist Grad ein, und das dritte ist Grad-Null.

Das Ersatzgesetz der Hinzufügung kann verwendet werden, um Begriffe in jede bevorzugte Ordnung frei zu permutieren.

In Polynomen mit einer Variable werden die Begriffe gewöhnlich gemäß dem Grad, entweder in "hinuntersteigenden Mächten von x", mit dem Begriff des größten Grads zuerst, oder in "steigenden Mächten von x" bestellt. Das Polynom im Beispiel wird oben in hinuntersteigenden Mächten von x geschrieben. Der erste Begriff hat Koeffizienten 3, Variable x und Hochzahl 2. Im zweiten Begriff, dem Koeffizienten. Der dritte Begriff ist eine Konstante. Da der Grad eines Nichtnullpolynoms der größte Grad irgendwelchen Begriffes ist, hat dieses Polynom Grad zwei.

Zwei Begriffe mit denselben zu denselben Mächten erhobenen Variablen werden "wie Begriffe" genannt, und sie können verbunden werden (nachdem sie angrenzend gemacht worden sind) das Verwenden des verteilenden Gesetzes in einen einzelnen Begriff, dessen Koeffizient die Summe der Koeffizienten der Begriffe ist, die verbunden wurden. Es kann geschehen, dass das den Koeffizienten 0 macht, in welchem Fall ihre Kombination gerade die Begriffe annulliert. Polynome können mit dem assoziativen Gesetz der Hinzufügung (der einfach Gruppen alle ihre Begriffe zusammen in eine einzelne Summe), vielleicht gefolgt von der Umstellung und dem Kombinieren von ähnlichen Begriffen hinzugefügt werden. Zum Beispiel, wenn

::

dann

:

der zu vereinfacht werden kann

:

Um das Produkt von zwei Polynomen in eine Summe von Begriffen auszuarbeiten, wird das verteilende Gesetz wiederholt angewandt, der auf jeden Begriff eines Polynoms hinausläuft, das mit jedem Begriff vom anderen wird multipliziert. Zum Beispiel, wenn

::dann:

{\\Farbe {BrickRed} P\{\\Farbe {RoyalBlue} Q\&&& ({\\Farbe {BrickRed} 2x }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 2x})

&+& ({\\Farbe {BrickRed} 2x }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 5y}) &+& ({\\Farbe {BrickRed} 2x }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} xy}) &+& ({\\Farbe {BrickRed} 2x }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 1})

\\&&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} xy})

&+&

({\\Farbe {BrickRed} 3y }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 1})

\\&&+& ({\\Farbe {BrickRed} 5 }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 2x}) &+& ({\\Farbe {BrickRed} 5 }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 5y})

&+&

({\\Farbe {BrickRed} 5 }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} xy}) &+& ({\\Farbe {BrickRed} 5 }\\cdot {\\Farbe {RoyalBlue} 1})

\end {Reihe} </Mathematik>

der zu vereinfacht werden kann:

Die Summe oder das Produkt von zwei Polynomen sind immer ein Polynom.

Alternative Formen

Im Allgemeinen kann jeder Ausdruck als ein Polynom betrachtet werden, wenn er von Variablen und Konstanten mit nur die Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation gebaut wird, und Ausdrücke zu unveränderlichen positiven Mächten der ganzen Zahl erhebend. Solch ein Ausdruck kann immer als eine Summe von Begriffen umgeschrieben werden. Zum Beispiel, (x + 1) ist ein Polynom; seine Standardform ist x + 3x + 3x + 1.

Die Abteilung eines Polynoms durch einen anderen erzeugt im Allgemeinen kein Polynom, aber erzeugt eher einen Quotienten und einen Rest. Ein formeller Quotient von Polynomen, d. h. ein algebraischer Bruchteil, wo der Zähler und Nenner Polynome sind, wird einen "vernünftigen Ausdruck" oder "vernünftigen Bruchteil" genannt und ist nicht, im Allgemeinen, ein Polynom. Die Abteilung eines Polynoms durch eine Zahl gibt wirklich jedoch ein anderes Polynom nach. Zum Beispiel,

:

wird als ein gültiger Begriff in einem Polynom betrachtet (und ein Polynom allein), weil es dazu gleichwertig ist und gerade eine Konstante ist. Wenn dieser Ausdruck als ein Begriff verwendet wird, ist sein Koeffizient deshalb. Aus ähnlichen Gründen, wenn komplizierten Koeffizienten erlaubt wird, kann man einen einzelnen Begriff wie haben; wenn auch es aussieht, dass es zu zwei Begriffen ausgebreitet werden sollte, ist die komplexe Zahl 2 + 3i eine komplexe Zahl, und ist der Koeffizient dieses Begriffes.

:

ist nicht ein Polynom, weil es Abteilung durch ein nichtunveränderliches Polynom einschließt.

:

ist nicht ein Polynom, weil es eine als Hochzahl verwendete Variable enthält.

Da Subtraktion durch die Hinzufügung der entgegengesetzten Menge ersetzt werden kann, und da positive Hochzahlen der ganzen Zahl durch die wiederholte Multiplikation ersetzt werden können, können alle Polynome von Konstanten und Variablen mit nur die Hinzufügung und Multiplikation gebaut werden.

Polynomische Funktionen

Eine polynomische Funktion ist eine Funktion, die durch das Auswerten eines Polynoms definiert werden kann. Ein Funktions-ƒ eines Arguments wird eine polynomische Funktion genannt, wenn es befriedigt

:

für alle Argumente x, wo n eine natürliche Zahl und a, a, a ist... unveränderlicher Koeffizienten zu sein.

Zum Beispiel, der Funktions-ƒ, reelle Zahlen in reelle Zahlen bringend, die durch definiert sind

:

ist eine polynomische Funktion eines Arguments. Polynomische Funktionen von vielfachen Argumenten können auch, mit Polynomen in vielfachen Variablen, als in definiert werden

:

Ein Beispiel ist auch die Funktion, die, obwohl es wie kein Polynom aussieht, eine polynomische Funktion seitdem für jeden x ist, ist es dass wahr (sieh Polynome von Tschebyscheff).

Polynomische Funktionen sind eine Klasse von Funktionen, die viele wichtige Eigenschaften haben. Sie sind alle dauernd, glatt, komplett, usw. berechenbar.

Polynomische Gleichungen

Eine polynomische Gleichung, auch genannt algebraische Gleichung, ist eine Gleichung, in der ein Polynom gleich einem anderen Polynom gesetzt wird.

:

ist eine polynomische Gleichung. Im Falle einer univariate polynomischen Gleichung wird die Variable als ein unbekannter betrachtet, und man bemüht sich, die möglichen Werte zu finden, für die beide Mitglieder der Gleichung zu demselben Wert bewerten (im Allgemeinen, kann mehr als eine Lösung bestehen). Eine polynomische Gleichung steht im Gegensatz zu einer polynomischen Identität wie, wo beide Mitglieder dasselbe Polynom in verschiedenen Formen vertreten, und demzufolge jede Einschätzung von beiden Mitgliedern eine gültige Gleichheit gibt. Das bedeutet, dass eine polynomische Identität eine polynomische Gleichung ist, für die alle möglichen Werte des unknowns Lösungen sind.

Elementare Eigenschaften von Polynomen

• Eine Summe von Polynomen ist ein Polynom.
• Ein Produkt von Polynomen ist ein Polynom.
• Eine Zusammensetzung von zwei Polynomen ist ein Polynom, das durch das Ersetzen einer Variable des ersten Polynoms durch das zweite Polynom erhalten wird.
• Die Ableitung der polynomischen Axt + Axt +... + Axt + Axt + des Polynoms nax + (n-1) Axt +... + 2ax + a zu sein. Wenn der Satz der Koeffizienten die ganzen Zahlen nicht enthält (zum Beispiel, wenn die Koeffizienten ganze Zahlen modulo eine Primzahl p sind), dann sollte ka als die Summe mit sich, k Zeiten interpretiert werden. Zum Beispiel, über die ganzen Zahlen modulo p, ist die Ableitung des Polynoms x+1 das Polynom 0.
• Wenn der Abteilung durch ganze Zahlen im Satz von Koeffizienten, einem Primitiven oder Antiableitung der polynomischen Axt + Axt +... + Axt + erlaubt wird, ist Axt + Axt / (n+1) + ax/n +... + Axt/3 + Axt/2 + Axt +c, wo c eine willkürliche Konstante ist. So ist x+1 ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl, deren Primitive nicht Polynome über die ganzen Zahlen sind. Wenn dieses Polynom als ein Polynom über die ganzen Zahlen modulo 3 angesehen wird, hat es keinen Primitiven überhaupt.

Polynome dienen, um anderen Funktionen, wie Sinus, Kosinus, und Exponential-näher zu kommen.

Alle Polynome haben eine ausgebreitete Form, in der die verteilenden und assoziativen Gesetze verwendet worden sind, um alle Klammern zu entfernen, und Ersatzgesetz verwendet worden ist, um die ähnlichen Begriffe angrenzend zu machen und sie zu verbinden. Alle Polynome mit Koeffizienten in einem einzigartigen factorization Gebiet (zum Beispiel haben die ganzen Zahlen oder ein Feld auch eine Factored-Form, in der das Polynom als ein Produkt von nicht zu vereinfachenden Polynomen und einer Konstante geschrieben wird. Im Fall vom Feld von komplexen Zahlen sind die nicht zu vereinfachenden Polynome geradlinig.

Zum Beispiel, die Factored-Form von

:

ist

:

über die ganzen Zahlen und

den:

über die komplexen Zahlen.

Jedes Polynom in einer Variable ist zu einem Polynom mit der Form gleichwertig

:

Diese Form wird manchmal als die Definition eines Polynoms in einer Variable angenommen.

Die Einschätzung eines Polynoms besteht daraus, eine Zahl jeder Variable zuzuteilen und die angezeigten Multiplikationen und Hinzufügungen auszuführen. Wirkliche Einschätzung ist das gewöhnlich effizientere Verwenden des Schemas von Horner:

:

In der elementaren Algebra wird um Methoden gegeben, den ganzen ersten Grad und die zweiten Grad-Polynom-Gleichungen in einer Variable zu lösen. Im Fall von polynomischen Gleichungen wird die Variable häufig einen unbekannten genannt. Die Zahl von Lösungen kann den Grad nicht überschreiten, und kommt dem Grad gleich, wenn die Vielfältigkeit von Lösungen und Lösungen der komplexen Zahl aufgezählt wird. Diese Tatsache wird den Hauptsatz der Algebra genannt.

Ein System von polynomischen Gleichungen ist eine Reihe von Gleichungen, in denen jede Variable denselben Wert überall übernehmen muss, erscheint es in einigen der Gleichungen. Gleichungssysteme werden gewöhnlich mit einer einzelnen offenen geschweiften Klammer links gruppiert. In der elementaren Algebra, insbesondere in der geradlinigen Algebra, wird für Methoden gegeben, ein System von geradlinigen Gleichungen in mehreren unknowns zu lösen. Wenn es mehr unknowns gibt als Gleichungen, wird das System underdetermined genannt. Wenn es mehr Gleichungen gibt als unknowns, wird das System überentschlossen genannt. Überentschlossene Systeme sind in praktischen Anwendungen üblich. Zum Beispiel hat ein amerikanischer kartografisch darstellender Überblick Computer verwendet, um 2.5 Millionen Gleichungen in 400,000 unknowns zu lösen.

Die Formeln von Viète verbinden die Koeffizienten eines Polynoms zu symmetrischen polynomischen Funktionen seiner Wurzeln.

Geschichte

Die Bestimmung der Wurzeln von Polynomen, oder "das Lösen algebraischer Gleichungen", sind unter den ältesten Problemen in der Mathematik. Jedoch die elegante und praktische Notation verwenden wir heute nur entwickelten Anfang im 15. Jahrhundert. Davor wurden Gleichungen in Wörtern ausgeschrieben. Zum Beispiel beginnt ein Algebra-Problem von der chinesischen Arithmetik in Neun Abteilungen, um 200 BCE, "Drei Bündel des guten Getreides, zwei Bündel des mittelmäßigen Getreides, und ein Bündel des schlechten Getreides wird für 29 dou verkauft." Wir würden 3x + 2y + z = 29 schreiben.

Notation

Der frühste bekannte Gebrauch des gleichen Zeichens ist in Robert Recorde Der Schleifstein von Witte, 1557. Die Zeichen + für die Hinzufügung, &minus; für die Subtraktion und den Gebrauch eines Briefs für einen unbekannten erscheinen in Arithemetica integra von Michael Stifel, 1544. René Descartes, in La géometrie, 1637, hat das Konzept des Graphen einer polynomischen Gleichung eingeführt. Er hat den Gebrauch von Briefen vom Anfang des Alphabetes verbreitet, Konstanten und Briefe vom Ende des Alphabetes anzuzeigen, um Variablen anzuzeigen, wie oben in der allgemeinen Formel für ein Polynom in einer Variable gesehen werden kann, wo 's Konstanten anzeigen und x eine Variable anzeigt. Descartes hat den Gebrauch von Exponenten eingeführt, um Hochzahlen ebenso anzuzeigen.

Das Lösen polynomischer Gleichungen

Jedes Polynom P in x entspricht einer Funktion, (x) ƒ = P (wo die Ereignisse von x in P als das Argument von ƒ interpretiert werden), genannt die polynomische Funktion von P; die Gleichung in x, der f (x) = 0 untergeht, ist die polynomische Gleichung entsprechend P. Die Lösungen dieser Gleichung werden die Wurzeln des Polynoms genannt; sie sind der zeroes des Funktions-ƒ (entsprechend den Punkten, wo der Graph von ƒ die X-Achse entspricht). Eine Zahl a ist eine Wurzel von P, wenn, und nur wenn das Polynom x  (des Grads ein in x) P teilt. Es kann das x &minus zufällig; ein Teilen P mehr als einmal: Wenn (x  a) P dann teilt, zu sein, hat eine vielfache Wurzel von P genannt, und sonst zu sein, hat eine einfache Wurzel von P genannt. Wenn P ein Nichtnullpolynom ist, gibt es eine höchste Macht solche M, der (x  a) P teilt, der die Vielfältigkeit der Wurzel in P genannt wird. Wenn P das Nullpolynom ist, ist die entsprechende polynomische Gleichung trivial, und dieser Fall wird gewöhnlich ausgeschlossen, wenn man Wurzeln denkt: Mit den obengenannten Definitionen würde jede Zahl eine Wurzel des Nullpolynoms, mit dem unbestimmten (oder unendlich) Vielfältigkeit sein. Mit dieser gemachten Ausnahme kann die Zahl von Wurzeln von P, der sogar mit ihrer jeweiligen Vielfältigkeit aufgezählt ist, nicht den Grad von P überschreiten.

Einige Polynome, wie x + 1, haben keine Wurzeln unter den reellen Zahlen. Wenn, jedoch, der Satz von erlaubten Kandidaten zu den komplexen Zahlen ausgebreitet wird, hat jedes nichtunveränderliche Polynom mindestens eine Wurzel; das ist der Hauptsatz der Algebra. Indem man Faktoren x  a nacheinander austeilt, sieht man, dass jedes Polynom mit komplizierten Koeffizienten als eine Konstante (sein Hauptkoeffizient) Zeiten ein Produkt solcher polynomischen Faktoren des Grads 1 geschrieben werden kann; demzufolge ist die Zahl von (komplizierten) mit ihrer Vielfältigkeit aufgezählten Wurzeln dem Grad des Polynoms genau gleich.

Es gibt einen Unterschied zwischen Approximieren Wurzeln und Entdeckung genauer Ausdrücke für Wurzeln. Formeln, für die Wurzeln von Polynomen des Grads 2 in Bezug auf Quadratwurzeln auszudrücken, sind seit alten Zeiten bekannt gewesen (sieh quadratische Gleichung), und für Polynome des Grads wurden 3 oder 4 ähnliche Formeln (Würfel-Wurzeln zusätzlich zu Quadratwurzeln verwendend), im 16. Jahrhundert gefunden (sieh Kubikfunktion und quartic für die Formeln und Niccolo Fontana Tartaglia, Lodovico Ferrari, Gerolamo Cardano und Vieta für historische Details zu um fungieren). Aber Formeln für den Grad 5 entzogene Forscher. 1824 hat Niels Henrik Abel das bemerkenswerte Ergebnis bewiesen, dass es keine allgemeine (begrenzte) Formel geben kann, nur arithmetische Operationen und Radikale einschließend, der die Wurzeln eines Polynoms des Grads 5 oder größer in Bezug auf seine Koeffizienten ausdrückt (sieh Lehrsatz von Abel-Ruffini). 1830 hat Évariste Galois, die Versetzungen der Wurzeln eines Polynoms studierend, Lehrsatz von Abel-Ruffini erweitert, indem er gezeigt hat, dass, in Anbetracht einer polynomischen Gleichung, man entscheiden kann, ob es durch Radikale lösbar ist, und, wenn es ist, lösen Sie es. Dieses Ergebnis hat den Anfang der Theorie von Galois und Gruppentheorie, zwei wichtigen Zweige der modernen Mathematik gekennzeichnet. Galois selbst hat bemerkt, dass die durch seine Methode einbezogene Berechnung undurchführbar war. Dennoch sind Formeln für lösbare Gleichungen von Graden 5 und 6 veröffentlicht worden (sieh quintic fungieren und sextic Gleichung).

Numerische Annäherungen von Wurzeln von polynomischen Gleichungen in einem unbekanntem werden auf einem Computer durch die Methode von Jenkins-Traub, die Methode von Laguerre, Methode von Durand-Kerner oder durch einen anderen wurzelfindenden Algorithmus leicht getan.

Für Polynome in mehr als einer Variable besteht der Begriff der Wurzel nicht, und es gibt gewöhnlich ungeheuer viele Kombinationen von Werten für die Variablen, für die die polynomische Funktion die Wertnull nimmt. Jedoch für bestimmte Sätze solcher Polynome kann es geschehen, dass für nur begrenzt viele Kombinationen alle polynomischen Funktionen die Wertnull nehmen.

Für eine Reihe polynomischer Gleichungen in mehreren unknowns gibt es Algorithmen, um zu entscheiden, ob sie eine begrenzte Zahl von komplizierten Lösungen haben. Wenn die Zahl von Lösungen begrenzt ist, gibt es Algorithmen, um die Lösungen zu schätzen. Die Methoden, die diesen Algorithmen unterliegen, werden in den Artikel-Systemen von polynomischen Gleichungen beschrieben.

Der spezielle Fall, wo alle Polynome vom Grad sind, wird einer ein System von geradlinigen Gleichungen genannt, für die eine andere Reihe von verschiedenen Lösungsmethoden einschließlich der klassischen Beseitigung von Gaussian bestehen.

Es ist von Richard Birkeland und Karl Meyr gezeigt worden, dass die Wurzeln jedes Polynoms in Bezug auf multivariate hypergeometrische Funktionen ausgedrückt werden können. Ferdinand von Lindemann und Hiroshi Umemura haben gezeigt, dass die Wurzeln auch in Bezug auf Siegel Modulfunktionen, Generalisationen der Theta-Funktionen ausgedrückt werden können, die in der Theorie von elliptischen Funktionen erscheinen. Diese Charakterisierungen der Wurzeln von willkürlichen Polynomen sind Verallgemeinerungen der Methoden, die vorher entdeckt sind, die quintic Gleichung zu lösen.

Eigenschaften der Wurzeln

Die statistischen Eigenschaften der Wurzeln eines zufälligen Polynoms sind das Thema von mehreren Studien gewesen. Lassen Sie

:

seien Sie ein zufälliges Polynom. Wenn der coecients unabhängig und identisch verteilt mit einer bösartigen von der Null zu sein, die echten Wurzeln größtenteils in der Nähe von ±1 gelegen werden. Wie man zeigen kann, werden die komplizierten Wurzeln auf oder in der Nähe vom Einheitskreis gelegen.

Wenn die coecients Gaussian sind, der mit einer bösartigen von der Null und Abweichung von σ dann verteilt ist, wird die Mitteldichte von echten Wurzeln durch die Formel von Kac gegeben

:wo:::

Wenn die Koeffizienten Gaussian sind, der mit einer nicht Null verteilt ist, bösartig und Abweichung von σ, ist eine ähnliche, aber kompliziertere Formel bekannt.

Asymptotische Ergebnisse

Für großen n sind mehrere asymptotische Formeln bekannt. Für einen festen x

:und:

wo p (x) die Mitteldichte von echten Wurzeln ist. Die erwartete Zahl von echten Wurzeln ist

:

wo C eine Konstante ist, die ungefähr 0.6257358072 gleich ist, und O der Ordnungsmaschinenbediener ist.

Dieses Ergebnis ließ Biene durch Kac, Erdos und andere zeigen, um gegen den wirklichen Vertrieb von coecients unempfindlich zu sein. Die numerische Prüfung dieser Formel hat diese früheren Ergebnisse bestätigt.

Graphen

Eine polynomische Funktion in einer echter Variable kann durch einen Graphen vertreten werden.

• Der Graph des Nullpolynoms

:: f (x) = 0

:is die X-Achse.

• Der Graph eines Grads 0 Polynom

:: f (x) = a, wo ein  0,

:is eine horizontale Linie mit dem Y-Abschnitt ein

• Der Graph eines Grads 1 Polynom (oder geradlinige Funktion)

:: f (x) = + Axt, wo ein  0,

:is eine schiefe Linie mit dem Y-Abschnitt a und Hang a.

• Der Graph eines Grads 2 Polynom

:: f (x) = + Axt + Axt, wo ein  0

:is eine Parabel.

• Der Graph eines Grads 3 Polynom

:: f (x) = + Axt + Axt, + Axt, wo ein  0

:is eine Kubikkurve.

• Der Graph jedes Polynoms mit dem Grad 2 oder größerer

:: f (x) = + Axt + Axt +... + Axt, wo ein  0 und n  2

:is eine dauernde nichtlineare Kurve.

Der Graph eines nichtunveränderlichen (univariate) Polynoms neigt immer zur Unendlichkeit, wenn die Variable unbestimmt (im absoluten Wert) zunimmt.

Polynomische Graphen werden in der Rechnung mit Abschnitten, Hang, Konkavität und Endverhalten analysiert.

Die Illustrationen unter Show-Graphen von Polynomen.

File:Polynomialdeg2.svg|Polynomial des Grads 2:f (x) = x - x - 2 = (x+1) (x-2)

File:Polynomialdeg3.svg|Polynomial des Grads 3:f (x) = x/4 + 3x/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4) (x+1) (x-2)

File:Polynomialdeg4.svg|Polynomial des Grads 4:f (x) = 1/14 (x+4) (x+1) (x-1) (x-3) + 0.5

File:Polynomialdeg5.svg|Polynomial des Grads 5:f (x) = 1/20 (x+4) (x+2) (x+1) (x-1) (x-3) + 2

File:Sextic Graph png|Polynomial des Grads 6:f (x) = 1/30 (x+3.5) (x+2) (x+1) (x-1) (x-3) (x-4) + 2

File:Septic Graph gif|Polynomial des Grads 7:f (x) = (x-3) (x-2) (x-1) (x) (x+1) (x+2) (x+3)

</Galerie>

Polynome und Rechnung

Ein wichtiger Aspekt der Rechnung ist das Projekt, komplizierte Funktionen mittels des Approximierens ihnen mit polynomischen Funktionen zu analysieren. Der Höhepunkt dieser Anstrengungen ist der Lehrsatz von Taylor, der grob feststellt, dass jede Differentiable-Funktion lokal wie eine polynomische Funktion und der Stein-Weierstrass Lehrsatz aussieht, der feststellt, dass jeder dauernden auf einem Kompaktzwischenraum der echten Achse definierten Funktion auf dem ganzen Zwischenraum so nah näher gekommen werden kann wie gewünscht nach einer polynomischen Funktion. Polynomische Funktionen werden auch oft verwendet, um Funktionen zu interpolieren.

Das Rechnen von Ableitungen und Integralen von polynomischen Funktionen ist besonders einfach. Für die polynomische Funktion

:

die Ableitung in Bezug auf x ist

:

und das unbestimmte Integral ist

:

Abstrakte Algebra

In der abstrakten Algebra unterscheidet man zwischen Polynomen und polynomischen Funktionen. Ein Polynom f in einer Variable X über einen Ring R wird als ein formeller Ausdruck der Form definiert

:

wo n eine natürliche Zahl ist, sind die Koeffizienten Elemente von R, und X ist ein formelles Symbol, dessen Mächte X gerade Platzhalter für die entsprechenden Koeffizienten a sind, so dass der gegebene formelle Ausdruck gerade eine Weise ist, die Folge zu verschlüsseln, wo es einen solchen n dass = 0 für den ganzen i> n gibt. Zwei Polynome, die denselben Wert von n teilen, werden gleich betrachtet, wenn, und nur wenn die Folgen ihrer Koeffizienten gleich sind; außerdem ist jedes Polynom jedem Polynom mit dem größeren Wert von dabei erhaltenem n durch das Hinzufügen von Begriffen in der Vorderseite gleich, deren Koeffizient Null ist. Diese Polynome können durch das einfache Hinzufügen entsprechender Koeffizienten hinzugefügt werden (die Regel, um sich durch Begriffe mit Nullkoeffizienten auszustrecken, kann verwendet werden, um sicherzustellen, dass solche Koeffizienten bestehen). So ist jedes Polynom wirklich der Summe der in seinem formellen Ausdruck gebrauchten Begriffe gleich, wenn solch eine Begriff-Axt als ein Polynom interpretiert wird, das Nullkoeffizienten an allen Mächten X anders hat als X. Um dann Multiplikation zu definieren, genügt es nach dem verteilenden Gesetz, um das Produkt irgendwelcher zwei solcher Begriffe zu beschreiben, das durch die Regel gegeben wird

:

ein X^k \; b X^l = ab X^ {k+l} </Mathematik> für alle Elemente a, b des Rings R und aller natürlichen Zahlen k und l.

So bildet der Satz aller Polynome mit Koeffizienten im Ring R sich ein Ring, der Ring von Polynomen über R, der durch R [X] angezeigt wird. Die Karte von R bis R [X] ist das Senden r zu rX ein injective Homomorphismus von Ringen, durch die R als ein Subring von R [X] angesehen wird. Wenn R auswechselbar ist, dann ist R [X] eine Algebra über R.

Man kann an den Ring R [X] als entstehend aus R denken, indem man ein neues Element X zu R hinzufügt, und sich auf eine minimale Weise zu einem Ring ausstreckt, in dem X keine anderen Beziehungen befriedigt als die obligatorischen, plus die Umwandlung mit allen Elementen von R (der ist). Um das zu tun, muss man alle Mächte X und ihre geradlinigen Kombinationen ebenso hinzufügen.

Die Bildung des polynomischen Rings, zusammen mit sich formenden Faktor-Ringen durch das Ausklammern von Idealen, ist wichtige Werkzeuge, um neue Ringe aus bekannten zu bauen. Zum Beispiel, der Ring (tatsächlich Feld) komplexer Zahlen, die vom polynomischen Ring R [X] über die reellen Zahlen durch das Ausklammern des Ideales von Vielfachen des Polynoms gebaut werden können. Ein anderes Beispiel ist der Aufbau von begrenzten Feldern, der ähnlich weitergeht, mit dem Feld von ganzen Zahlen modulo eine Primzahl als der mitwirkende Ring R aufbrechend (sieh Modularithmetik).

Wenn R auswechselbar ist, dann kann man zu jedem Polynom P in R [X], eine polynomische Funktion f mit dem Gebiet verkehren und sich gleich R erstrecken (mehr allgemein man kann Gebiet nehmen und sich erstrecken, um dieselbe unital assoziative Algebra über R zu sein). Man erhält den Wert f (r) durch den Ersatz des Werts r für das Symbol X in P. Ein Grund, zwischen Polynomen und polynomischen Funktionen zu unterscheiden, besteht darin, dass über einige Ringe verschiedene Polynome dieselbe polynomische Funktion verursachen können (sieh den kleinen Lehrsatz von Fermat für ein Beispiel, wo R die ganzen Zahlen modulo p ist). Das ist nicht der Fall, wenn R die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist, woher sind die zwei Konzepte in der Analyse nicht immer bemerkenswert. Ein noch wichtigerer Grund, zwischen Polynomen und polynomischen Funktionen zu unterscheiden, besteht darin, dass viele Operationen auf Polynomen (wie Euklidische Abteilung) das Aussehen daran verlangen, woraus ein Polynom als ein Ausdruck zusammengesetzt wird, anstatt es an einem unveränderlichen Wert für X zu bewerten. Und es sollte bemerkt werden, dass, wenn R nicht auswechselbar ist, es nicht gibt (gut hat sich benommen) der Begriff der polynomischen Funktion überhaupt.

Teilbarkeit

In der Ersatzalgebra ist ein Hauptfokus der Studie Teilbarkeit unter Polynomen. Wenn R ein integriertes Gebiet und f ist und g Polynome in R [X] sind, wird es gesagt, dass f g teilt oder f ein Teiler von g ist, wenn dort ein Polynom q in R [X] solch dass f q = g besteht. Man kann zeigen, dass jede Null einen geradlinigen Teiler, oder mehr formell verursacht, wenn f ein Polynom in R [X] ist und r ein Element von solchem R dass f (r) = 0, dann das Polynom ist (X &minus; r) teilt f. Das gegenteilige ist auch wahr. Der Quotient kann mit dem Schema von Horner geschätzt werden.

Wenn F ein Feld und f ist und g Polynome in F [X] mit g  0 sind, dann dort bestehen einzigartige Polynome q und r in F [X] mit

:

und solch, dass der Grad von r kleiner ist als der Grad von g. Die Polynome q und r werden durch f und g einzigartig bestimmt. Das wird Euklidische Abteilung, Abteilung mit dem Rest oder polynomische lange Abteilung genannt und zeigt, dass der Ring F [X] ein Euklidisches Gebiet ist.

Analog können Hauptpolynome (richtiger, nicht zu vereinfachende Polynome) als Polynome definiert werden, die ins Produkt zwei nicht unveränderliche Polynome nicht faktorisiert werden können. Jedes Polynom kann ins Produkt einer Konstante durch ein Produkt von nicht zu vereinfachenden Polynomen zersetzt werden. Diese Zergliederung ist bis zur Ordnung der Faktoren und der Multiplikation irgendwelcher unveränderlichen Faktoren durch eine Konstante einzigartig (und Abteilung des unveränderlichen Faktors durch dieselbe Konstante. Wenn die Koeffizienten einem begrenzten Feld gehören oder rationale Zahlen sind, gibt es Algorithmen, um irreducibility zu prüfen und den factorization in nicht zu vereinfachende Polynome zu schätzen. Diese Algorithmen sind für die Hand schriftliche Berechnung nicht durchführbar, aber sind in jedem Computeralgebra-System verfügbar (sieh den Algorithmus von Berlekamp für den Fall, in dem die Koeffizienten einem begrenzten Feld oder dem Berlekamp-Zassenhaus Algorithmus gehören, wenn sie über die rationalen Zahlen arbeiten). Das Kriterium von Eisenstein kann auch in einigen Fällen verwendet werden, um irreducibility zu bestimmen.

Siehe auch: Größter allgemeiner Teiler von zwei Polynomen.

Klassifikationen

Polynome werden gemäß vielen verschiedenen Eigenschaften klassifiziert.

Zahl von Variablen

Eine Klassifikation von Polynomen basiert auf der Zahl von verschiedenen Variablen. Ein Polynom in einer Variable wird ein univariate Polynom genannt, ein Polynom in mehr als einer Variable wird ein multivariate Polynom genannt. Diese Begriffe beziehen sich mehr auf die Art von Polynomen, mit denen man allgemein arbeitet als zu individuellen Polynomen; zum Beispiel, wenn man mit univariate Polynomen arbeitet, schließt man unveränderliche Polynome nicht aus (der, zum Beispiel, von der Subtraktion von nichtunveränderlichen Polynomen resultieren kann), obwohl genau genommen unveränderliche Polynome keine Variablen überhaupt enthalten. Es ist möglich, weiter multivariate Polynome als bivariate, trivariate und so weiter gemäß der maximalen Zahl von erlaubten Variablen zu klassifizieren. Wieder, so dass der Satz von Gegenständen unter der Rücksicht, unter der Subtraktion geschlossen werden, eine Studie von trivariate Polynomen gewöhnlich bivariate Polynome und so weiter erlaubt. Es ist auch üblich, einfach "Polynome in x, y, und z" zu sagen, die erlaubten Variablen verzeichnend. In diesem Fall wird xy erlaubt.

Grad

Eine zweite Hauptweise, Polynome zu klassifizieren, ist durch ihren Grad. Rufen Sie zurück, dass der Grad eines Begriffes die Summe der Hochzahlen auf Variablen ist, und dass der Grad eines Polynoms der größte Grad irgendwelchen Begriffes ist.

Gewöhnlich wird ein Polynom des Grads n, für den n, der größer ist als 3, ein Polynom des Grads n genannt, obwohl die Ausdrücke quartic Polynom und quintic Polynom manchmal verwendet werden. Der Gebrauch von Namen für Grade, die größer sind als 5, ist noch weniger üblich. Die Namen für die Grade können auf das Polynom oder auf seine Begriffe angewandt werden. Zum Beispiel, im Begriff ist ein erster Grad-Begriff in einem zweiten Grad-Polynom.

Im Zusammenhang der polynomischen Interpolation gibt es etwas Zweideutigkeit, wenn es die zwei Klassifikationen oben verbindet. Zum Beispiel ist ein bilinearer interpolant, das Produkt von zwei univariate geradlinigen Polynomen seiend, bivariate, aber ist nicht geradlinig; ähnliche Zweideutigkeit betrifft den bicubic interpolant.

Das Polynom 0, der, wie man betrachten kann, keine Begriffe überhaupt hat, wird das Nullpolynom genannt. Verschieden von anderen unveränderlichen Polynomen ist sein Grad nicht Null. Eher wird der Grad des Nullpolynoms entweder ausführlich unbestimmt verlassen, oder als negativ (entweder-1 oder - ) definiert. Diese Vereinbarung ist wichtig, wenn sie Euklidische Abteilung von Polynomen definiert. Das Nullpolynom ist auch darin einzigartig es ist das einzige Polynom, das eine unendliche Zahl von Wurzeln hat.

Wenn ein Polynom nur eine Variable hat, dann werden die Begriffe gewöhnlich irgendein vom höchsten Grad bis niedrigsten Grad geschrieben ("Mächte hinuntersteigend",) oder vom niedrigsten Grad bis höchsten Grad ("Mächte" ersteigend). Ein univariate Polynom in x des Grads n nimmt dann die allgemeine Form an

:

wo

: c  0, c..., c, c und c sind Konstanten, die Koeffizienten dieses Polynoms.

Hier wird der Begriff cx den Hauptbegriff und seinen Koeffizienten c den Hauptkoeffizienten genannt; wenn der Hauptkoeffizient, das univariate Polynom monic genannt wird.

Bemerken Sie, dass abgesondert von der Führung (der Nichtnull sein muss, oder das Polynom vom Grad n nicht sein würde) diese allgemeine Form Koeffizienten erlaubt, Null zu sein; wenn das geschieht, ist der entsprechende Begriff Null und kann von der Summe entfernt werden, ohne das Polynom zu ändern. Es ist dennoch üblich, c als der Koeffizient von x zu kennzeichnen, selbst wenn c zufällig 0 ist, so dass x in keinem Begriff wirklich vorkommt; zum Beispiel kann man vom unveränderlichen Begriff des Polynoms sprechen, c vorhabend, selbst wenn es Null ist.

Im Fall von Polynomen in mehr als einer Variable wird ein Polynom homogen dessen genannt, wenn alle seine Begriffe haben. Zum Beispiel, ist homogen.

Koeffizienten

Eine andere Klassifikation von Polynomen ist durch die Art von unveränderlichen als Koeffizienten erlaubten Werten. Man kann mit Polynomen mit der ganzen Zahl arbeiten, vernünftige, echte oder komplizierte Koeffizienten, und in abstrakten Algebra-Polynomen mit vielen anderen Typen von Koeffizienten, können wie ganze Zahlen modulo p definiert werden. Als in der Klassifikation durch die Zahl von Variablen, wenn man mit Koeffizienten für einen gegebenen Satz wie die komplexen Zahlen arbeitet, wird Koeffizienten von jeder Teilmenge erlaubt. So ist ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl, aber es ist auch ein Polynom mit komplizierten Koeffizienten, weil die ganzen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

Zahl von Nichtnullbegriffen

Polynome können auch durch die Zahl von Begriffen mit Nichtnullkoeffizienten klassifiziert werden, so dass ein Ein-Begriff-Polynom ein Monom genannt wird, wird ein Zwei-Begriffe-Polynom ein Binom und so weiter genannt. (Einige Autoren verwenden "Monom", um "monic Monom" zu bedeuten.)

Polynome haben zu anderen Gegenständen verkehrt

Polynome werden oft verwendet, um Information über einen anderen Gegenstand zu verschlüsseln. Das charakteristische Polynom eines geradlinigen oder Matrixmaschinenbedieners enthält Information über den eigenvalues des Maschinenbedieners. Das minimale Polynom eines algebraischen Elements registriert die einfachste algebraische durch dieses Element zufriedene Beziehung. Das chromatische Polynom eines Graphen zählt die Zahl von richtigem colourings dieses Graphen auf.

Erweiterungen des Konzepts eines Polynoms

Polynome können mehr als eine Variable einschließen, in der sie multivariate genannt werden. Ringe von Polynomen in einer begrenzten Zahl von Variablen sind von grundsätzlicher Wichtigkeit in der algebraischen Geometrie, die die gleichzeitigen Nullsätze solcher mehreren multivariate Polynome studiert. Diese Ringe können durch das Wiederholen des Aufbaus von univariate Polynomen mit als mitwirkender Ring ein anderer Ring von Polynomen wechselweise gebaut werden: So kann der Ring R [X, Y] Polynome in X und Y als der Ring (R [X]) [Y] Polynome in Y mit als mitwirkende Polynome in X, oder als der Ring angesehen werden

(R [Y]) [X] von Polynomen in X mit als mitwirkende Polynome in Y. Diese Identifizierungen sind mit arithmetischen Operationen vereinbar (sie sind Isomorphismus von Ringen), aber einige Begriffe wie Grad, oder ob ein Polynom als monic betrachtet wird, können sich zwischen diesen Gesichtspunkten ändern. Man kann Ringe von Polynomen in ungeheuer vielen Variablen bauen, aber da Polynome (begrenzte) Ausdrücke sind, kann jedes individuelle Polynom nur begrenzt viele Variablen enthalten.

Ein binäres Polynom, wo die zweite Variable die Form einer Exponentialfunktion annimmt, die auf die erste Variable, zum Beispiel P (X, e) angewandt ist, kann ein Exponentialpolynom genannt werden.

Polynome von Laurent sind Polynomen ähnlich, aber erlauben negativen Mächten der Variable (N) vorzukommen.

Quotienten von Polynomen werden vernünftige Ausdrücke genannt (oder vernünftige Bruchteile), und Funktionen, die vernünftige Ausdrücke bewerten, werden vernünftige Funktionen genannt. Vernünftige Bruchteile sind formelle Quotienten von Polynomen (sie werden von Polynomen gebildet, wie rationale Zahlen von ganzen Zahlen gebildet werden, einen Bruchteil von zwei von ihnen schreibend; durch das Annullieren von gemeinsamen Faktoren verbundene Bruchteile werden mit einander identifiziert). Die vernünftige durch einen vernünftigen Bruchteil definierte Funktion ist der Quotient der polynomischen Funktionen, die durch den Zähler und den Nenner des vernünftigen Bruchteils definiert sind. Die vernünftigen Bruchteile enthalten die Polynome von Laurent, aber beschränken Nenner auf Mächte einer Variable nicht. Während polynomische Funktionen für alle Werte der Variablen definiert werden, wird eine vernünftige Funktion nur für die Werte der Variablen definiert, für die der Nenner nicht ungültig ist. Eine vernünftige Funktion erzeugt vernünftige Produktion für jeden vernünftigen Eingang, für den es definiert wird; das trifft auf andere Funktionen wie trigonometrische Funktionen, Logarithmen und Exponentialfunktionen nicht zu.

Formelle Macht-Reihen sind Polynomen ähnlich, aber erlauben ungeheuer vielen Nichtnullbegriffen vorzukommen, so dass sie begrenzten Grad nicht haben. Verschieden von Polynomen können sie nicht im Allgemeinen ausführlich und völlig niedergeschrieben werden (gerade wie reelle Zahlen kann nicht), aber die Regeln, um ihre Begriffe zu manipulieren, sind dasselbe bezüglich Polynome.

Siehe auch

• Binom
• Die Methode von Lill
• Liste von polynomischen Themen
• Polynome auf Vektorräumen
• Macht-Reihe

Referenzen

• R. Birkeland. Über sterben Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen. Mathematische Zeitschrift vol. 26, (1927) Seiten 565-578. Shows, dass die Wurzeln jedes Polynoms in Bezug auf multivariate hypergeometrische Funktionen geschrieben werden können.
• F. von Lindemann. Über sterben Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 7, 1884. Polynomische Lösungen in Bezug auf Theta-Funktionen.
• F. von Lindemann. Über sterben Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen, 1892 Ausgabe.
• K. Mayr. Über sterben Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik vol. 45, (1937) Seiten 280-313.
• H. Umemura. Lösung algebraischer Gleichungen in Bezug auf theta Konstanten. In D. Mumford, Vorträgen von Tata auf Theta II, Fortschritt in der Mathematik 43, Birkhäuser, Boston, 1984.

Links

• Liste von Rechenmaschinen für den Quadratischen durch Gleichungen von Sextic
• Die Arbeit von Euler an Imaginären Wurzeln von Polynomen an der Konvergenz
• Eigenschaften von Polynomen
• Gratis online lässt Polynom Finder sowohl für echte als auch für komplizierte Koeffizienten einwurzeln