Die Gleichung von Fokker-Planck beschreibt die Zeitevolution der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Geschwindigkeit einer Partikel, und kann zu anderem observables ebenso verallgemeinert werden.

Es wird nach Adriaan Fokker genannt

und Max Planck

und ist auch bekannt als der Kolmogorov Vorwärtsgleichung (Verbreitung), genannt nach Andrey Kolmogorov, der es zuerst in einer 1931-Zeitung eingeführt hat.

Wenn angewandt, auf den Partikel-Positionsvertrieb ist es als die Gleichung von Smoluchowski besser bekannt.

Die erste konsequente mikroskopische Abstammung der Gleichung von Fokker-Planck im einzelnen Schema von klassischen und Quant-Mechanik wurde durchgeführt

Nikolay Bogoliubov und Nikolay Krylov.

Eine Dimension

In einer Raumdimension x, für einen Itō-Prozess, der durch die stochastische Differenzialgleichung gegeben ist

:

mit dem Antrieb und Diffusionskoeffizienten ist die Gleichung von Fokker-Planck für die Wahrscheinlichkeitsdichte der zufälligen Variable

:

Die Verbindung zwischen stochastischen Differenzialgleichungen und teilweisen Differenzialgleichungen wird durch die Feynman-Kac Formel gegeben.

Manchmal in physischen und Technikanwendungen der Prozess von Stratonovich (geschrieben in der Itō-Form)

:

wird bevorzugt; es schließt einen zusätzlichen geräuschveranlassten Antrieb-Begriff wegen Verbreitungsanstieg-Effekten ein, wenn das Geräusch zustandabhängig ist.

Viele Dimensionen

Mehr allgemein, wenn ein N-dimensional zufälliger Vektor ist und ein N-dimensional Standardprozess von Wiener, ist

:

die Wahrscheinlichkeitsdichte für den zufälligen Vektoren befriedigt die Gleichung von Fokker-Planck

:

mit dem Antrieb-Vektoren und Verbreitungstensor

:

Beispiele

Ein Standardskalarprozess von Wiener wird durch die stochastische Differenzialgleichung erzeugt

:

Hier ist der Antrieb-Begriff Null, und der Diffusionskoeffizient ist 1/2; so ist die entsprechende Gleichung von Fokker-Planck

:

\frac {\\teilweiser f (x, t)} {\\teilweise t\= \frac {1} {2} \frac {\\partial^2 f (x, t)} {\\teilweiser x^2},

</Mathematik>

das ist die einfachste Form einer Verbreitungsgleichung. Wenn die anfängliche Bedingung ist, ist die Lösung

:

Rechenbetonte Rücksichten

Brownsche Bewegung folgt der Gleichung von Langevin, die für viele verschiedene stochastische forcings mit Ergebnissen gelöst werden kann, die (die Methode von Monte Carlo, das kanonische Ensemble in der molekularen Dynamik) durchschnittliche. Jedoch, statt dieser rechenbetont intensiven Annäherung, kann man die Gleichung von Fokker-Planck verwenden und die Wahrscheinlichkeit der Partikel denken, die eine Geschwindigkeit im Zwischenraum hat, wenn es seine Bewegung mit in der Zeit 0 anfängt.

Lösung

Eine teilweise Differenzialgleichung seiend, kann die Gleichung von Fokker-Planck analytisch nur in speziellen Fällen gelöst werden. Eine formelle Analogie der Gleichung von Fokker-Planck mit der Gleichung von Schrödinger erlaubt den Gebrauch von fortgeschrittenen Maschinenbediener-Techniken, die von der Quant-Mechanik für seine Lösung in mehreren Fällen bekannt sind.

In vielen Anwendungen interessiert man sich nur für den Steady-Statewahrscheinlichkeitsvertrieb

, der davon gefunden werden kann.

Die Berechnung der ersten Mitteldurchlasszeit und zerreißenden Wahrscheinlichkeiten kann auf die Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung reduziert werden, die vertraut mit der Gleichung von Fokker-Planck verbunden ist.

Besondere Fälle mit der bekannten Lösung und Inversion

In der mathematischen Finanz für das Flüchtigkeitslächeln-Modellieren von Optionen über die lokale Flüchtigkeit hat man das Problem, einen Diffusionskoeffizienten abzuleiten, der mit einer bei Marktauswahl-Notierungen erhaltenen Wahrscheinlichkeitsdichte im Einklang stehend ist. Das Problem ist deshalb eine Inversion der Fokker Planck-Gleichung: In Anbetracht der Dichte f (x, t) der Auswahl, die X abgeleitet aus dem Auswahl-Markt unterliegt, zielt man darauf, die lokale Flüchtigkeit im Einklang stehend mit f zu finden. Das ist ein umgekehrtes Problem, das im Allgemeinen von Dupire (1994, 1997) mit einer nichtparametrischen Lösung gelöst worden ist. Brigo und Mercurio (2002, 2003) schlagen eine Lösung in der parametrischen Form über eine besondere lokale Flüchtigkeit vor, die mit einer Lösung der durch ein Mischungsmodell gegebenen Gleichung von Fokker-Planck im Einklang stehend ist. Mehr Information ist auch in Fengler (2008), Gatheral (2008) und Musiela und Rutkowski (2008) verfügbar.

Gleichung von Fokker-Planck und integrierter Pfad

Jede Gleichung von Fokker-Planck ist zu einem integrierten Pfad gleichwertig. Der Pfad integrierte Formulierung ist ein ausgezeichneter Startpunkt für die Anwendung von Feldtheorie-Methoden. Das wird zum Beispiel in der kritischen Dynamik verwendet.

Eine Abstammung des integrierten Pfads ist ebenso als in der Quant-Mechanik einfach möglich, weil die Gleichung von Fokker-Planck zur Gleichung von Schrödinger formell gleichwertig ist. Hier sind die Schritte für eine Gleichung von Fokker-Planck mit einer Variable x.

Schreiben Sie die FP Gleichung in der Form

:

Integrieren Sie über einen Zeitabstand,

:

Fügen Sie den Fourier integrierter ein

:

für - Funktion,

:

\begin {richten }\aus

f\left (x^ {\\erst}, t +\varepsilon \right) & = \int_ {-\infty} ^\\infty dx\int_ {-i\infty} ^ {i\infty} \frac {d\tilde {x}} {2\pi ich} \left (1 +\varepsilon \left [\tilde {x} D_ {ist 1 }\\(x, t\right) + \tilde {x} ^ {2} D_ {2 }\\link (x, t\right) \right] \right) abgereist, e^ {\\Tilde {x }\\link (x-x^ {\\erster }\\Recht)} f\left (x, t\right) +O\left (\varepsilon ^ {2 }\\Recht) \\

& = \int_ {-\infty} ^\\infty dx\int_ {-i\infty} ^ {i\infty }\\frac {d\tilde {x}} {2\pi ich }\\exp \left (\varepsilon \left [-\tilde {x }\\frac {\\ist (x^ {\\erst}-x\right)} {\\varepsilon} + \tilde {x} D_ {1 }\\link (x, t\right) + \tilde {x} ^ {2} D_ {2 }\\link (x, t\right) \right] \right) abgereist, f\left (x, t\right) +O\left (\varepsilon ^ {2 }\\Recht).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Diese Gleichung drückt als funktionell dessen aus. Das Wiederholen von Zeiten und das Durchführen der Grenze geben einen Pfad, der mit Lagrangian integriert

ist:

Die Variablen, die dazu verbunden sind, werden "Ansprechvariablen" genannt.

Obwohl formell gleichwertig, können verschiedene Probleme leichter in der Gleichung von Fokker-Planck oder dem Pfad integrierte Formulierung behoben werden. Die Gleichgewichtsverteilung kann zum Beispiel mehr direkt bei der Gleichung von Fokker-Planck erhalten werden.

Siehe auch

• Kolmogorov rückwärts gerichtete Gleichung
• Gleichung von Boltzmann
• Navier-schürt Gleichungen
• Gleichung von Vlasov
• Master-Gleichung
• Hierarchie von Bogoliubov Born Green Kirkwood Yvon von Gleichungen
• Prozess von Ornstein-Uhlenbeck

Zeichen und Verweisungen

Weiterführende Literatur

• Bruno Dupire (1994) Preiskalkulation mit einem Lächeln. Risikozeitschrift, am 18-20 Januar.
• Bruno Dupire (1997) Preiskalkulation und Absicherung mit dem Lächeln. Mathematik von Derivative Securities. Editiert von M.A.H. Dempster und S.R. Pliska, Universität von Cambridge Presse, Cambridge, 103-111. Internationale Standardbuchnummer 0-521-58424-8.
• Fengler, M. R. (2008). Das halbparametrische Modellieren der Implizierten Flüchtigkeit, 2005, Springer Verlag, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-26234-3
• Crispin Gardiner (2009), "Stochastische Methoden", 4 Ausgabe, Springer, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-70712-7.
• Jim Gatheral (2008). Die Flüchtigkeitsoberfläche. Wiley and Sons, internationale Standardbuchnummer 978-0-471-79251-2.
• Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingal-Methoden im Finanzmodellieren, 2008, 2. Ausgabe, Springer-Verlag, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-20966-9.
• Hannes Risken, "Die Gleichung von Fokker-Planck: Methoden von Lösungen und Anwendungen", 2. Ausgabe, Springer-Reihe in Synergetics, Springer, internationaler Standardbuchnummer 3 540 61530 X.

Links

• Gleichung von Fokker-Planck auf dem Frühsten bekannten Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik