In der Mathematik ist ein Raum von Lindelöf ein topologischer Raum, in dem jeder offene Deckel einen zählbaren Subdeckel hat. Das Lindelöf Eigentum ist eine Schwächung des allgemeiner verwendeten Begriffs der Kompaktheit, die die Existenz eines begrenzten Subdeckels verlangt.

Stark ist Raum von Lindelöf ein topologischer solcher Raum, dass jeder offene Subraum Lindelöf ist. Solche Räume sind auch bekannt als hereditarily Räume von Lindelöf, weil alle Subräume solch eines Raums Lindelöf sind.

Räume von Lindelöf werden für den finnischen Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf genannt.

Eigenschaften von Räumen von Lindelöf

Im Allgemeinen halten keine Implikationen (in jeder Richtung) zwischen dem Eigentum von Lindelöf und den anderen Kompaktheitseigenschaften wie Parakompaktheit. Aber durch den Lehrsatz von Morita ist jeder regelmäßige Raum von Lindelöf parakompakt.

Jeder zweit-zählbare Raum ist ein Raum von Lindelöf, aber nicht umgekehrt. Jedoch ist die Sache für metrische Räume einfacher. Ein metrischer Raum ist Lindelöf, wenn, und nur wenn es trennbar ist, und wenn, und nur wenn es zweit-zählbar ist.

Ein offener Subraum eines Raums von Lindelöf ist nicht notwendigerweise Lindelöf. Jedoch muss ein geschlossener Subraum Lindelöf sein.

Lindelöf wird durch dauernde Karten bewahrt. Jedoch wird es durch Produkte nicht notwendigerweise bewahrt, nicht sogar durch begrenzte Produkte.

Ein Lindelöf Raum ist kompakt, wenn, und nur wenn es zählbar kompakt ist.

Jeder σ-compact Raum ist Lindelöf.

Eigenschaften von stark Räumen von Lindelöf

• Jeder zweit-zählbare Raum ist stark Raum von Lindelöf
• Jeder Suslin Raum ist stark Lindelöf.
• Stark werden Lindelöf Räume unter der Einnahme zählbarer Vereinigungen, Subräume und dauernder Images geschlossen.
• Jedes Radon-Maß auf stark Raum von Lindelöf wird gemäßigt.

Produkt von Räumen von Lindelöf

Das Produkt von Räumen von Lindelöf ist nicht notwendigerweise Lindelöf. Das übliche Beispiel davon ist das Flugzeug von Sorgenfrey, das das Produkt der echten Linie unter der halb offenen Zwischenraum-Topologie mit sich ist. Offene Sätze im Flugzeug von Sorgenfrey sind Vereinigungen von halb offenen Rechtecken, die die Süd- und Westränder einschließen und die Nord- und Ostränder, einschließlich des Nordwestens, des Nordostens und der Südostecken weglassen.

Denken Sie die offene Bedeckung, deren besteht aus:

1. Der Satz aller Punkte, damit

1. Der Satz aller Punkte, mit
2. Für jeden echt, das halb offene Rechteck

Das Ding zu bemerken ist hier, dass jedes Rechteck genau einen der Punkte auf der Linie bedeckt. Keiner der Punkte auf dieser Linie wird in einigen der anderen Sätze im Deckel eingeschlossen, also gibt es keinen richtigen Subdeckel dieses Deckels, der deshalb keinen zählbaren Subdeckel enthält.

Eine andere Weise, das zu sehen, ist nicht Lindelöf soll bemerken, dass die Linie einen geschlossenen und unzählbaren getrennten Subraum dessen definiert. Dieser Subraum ist nicht Lindelöf, und so kann der ganze Raum nicht Lindelöf ebenso sein (weil geschlossene Subräume von Räumen von Lindelöf auch Lindelöf sind).

Das Produkt eines Raums von Lindelöf und eines Kompaktraums ist Lindelöf.

Verallgemeinerung

Die folgende Definition verallgemeinert die Definitionen von kompakten und Lindelöf: Ein topologischer Raum ist - kompakt (oder-Lindelöf), wo jeder Kardinal ist, wenn jeder offene Deckel einen Subdeckel von cardinality ausschließlich weniger hat als. Kompakt ist dann - kompakt, und Lindelöf ist dann - kompakt.

Der Lindelöf Grad oder Zahl von Lindelöf, ist der kleinste solcher Kardinal, dass jeder offene Deckel des Raums einen Subdeckel der Größe höchstens hat. In dieser Notation, ist Lindelöf iff. Die Lindelöf Zahl, unterscheidet wie definiert, oben zwischen Kompakträumen und Lindelöf nicht Kompakträume nicht. Einige Autoren haben dem Namen Zahl von Lindelöf einem verschiedenen Begriff gegeben: Der kleinste solcher Kardinal, dass jeder offene Deckel des Raums einen Subdeckel der Größe ausschließlich weniger hat als. In diesem Letzteren (und weniger verwendeter Sinn) ist die Zahl von Lindelöf der kleinste solcher Kardinal, dass ein topologischer Raum - kompakt ist. Dieser Begriff wird manchmal auch den Kompaktheitsgrad des Raums genannt.

Siehe auch

• Axiome von countability
• Das Lemma von Lindelöf

Referenzen

• Michael Gemignani, Elementare Topologie (internationale Standardbuchnummer 0-486-66522-4) (sieh besonders Abschnitt 7.2)