In der Mathematik ist Matrixhinzufügung die Operation, zwei matrices durch das Hinzufügen der entsprechenden Einträge zusammen hinzuzufügen. Jedoch gibt es andere Operationen, die auch als eine Art Hinzufügung für matrices, die direkte Summe und die Summe von Kronecker betrachtet werden konnten.

Summe von Entrywise

Die übliche Matrixhinzufügung wird für zwei matrices derselben Dimensionen definiert. Die Summe von zwei M × n (ausgesprochene "M durch n") matrices A und B, der durch + B angezeigt ist, ist wieder eine M × n geschätzte Matrix durch das Hinzufügen entsprechender Elemente:

:

\bold + \bold {B} & = \begin {bmatrix }\

a_ {11} & a_ {12} & \cdots & a_ {1n} \\

a_ {21} & a_ {22} & \cdots & a_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {m1} & a_ {m2} & \cdots & a_ {mn} \\

\end {bmatrix} +

\begin {bmatrix }\

b_ {11} & b_ {12} & \cdots & b_ {1n} \\

b_ {21} & b_ {22} & \cdots & b_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

b_ {m1} & b_ {m2} & \cdots & b_ {mn} \\

\end {bmatrix} \\

& = \begin {bmatrix }\

a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & \cdots & a_ {1n} + b_ {1n} \\

a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & \cdots & a_ {2n} + b_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & \cdots & a_ {mn} + b_ {mn} \\

\end {bmatrix} \\

\end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

Zum Beispiel:

:

\begin {bmatrix }\

1 & 3 \\

1 & 0 \\

1 & 2

\end {bmatrix }\

+

\begin {bmatrix }\

0 & 0 \\

7 & 5 \\

2 & 1

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

1+0 & 3+0 \\

1+7 & 0+5 \\

1+2 & 2+1

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\ 1 & 3 \\

8 & 5 \\

3 & 3

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Wir können auch eine Matrix von einem anderen abziehen, so lange sie dieselben Dimensionen haben. &minus; B wird durch das Abziehen entsprechender Elemente von A und B geschätzt, und hat dieselben Dimensionen wie A und B. Zum Beispiel:

:\begin {bmatrix }\

1 & 3 \\

1 & 0 \\

1 & 2

\end {bmatrix }\

-

\begin {bmatrix }\

0 & 0 \\

7 & 5 \\

2 & 1

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

1-0 & 3-0 \\

1-7 & 0-5 \\

1-2 & 2-1

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\ 1 & 3 \\

- 6 &-5 \\

- 1 & 1

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Direkte Summe

Eine andere Operation, die weniger häufig verwendet wird, ist die direkte Summe (angezeigt durch ). Bemerken Sie, dass die Summe von Kroneker auch  angezeigt wird; der Zusammenhang sollte den Gebrauch verständlich machen. Die direkte Summe jedes Paares von matrices der Größe M &times; n und B der Größe p &times; q ist eine Matrix der Größe (M + p) &times; (n + q) definiert als

:

\bold {Ein} \oplus \bold {B} =

\begin {bmatrix} \bold & \boldsymbol {0} \\\boldsymbol {0} & \bold {B} \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix }\

a_ {11} & \cdots & a_ {1n} & 0 & \cdots & 0 \\

\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {M 1} & \cdots & a_ {mn} & 0 & \cdots & 0 \\

0 & \cdots & 0 & b_ {11} & \cdots & b_ {1q} \\

\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \cdots & 0 & b_ {p1} & \cdots & b_ {pq }\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Zum Beispiel,

: \begin {bmatrix }\

1 & 3 & 2 \\

2 & 3 & 1

\end {bmatrix }\

\oplus

\begin {bmatrix }\

1 & 6 \\

0 & 1

\end {bmatrix }\ \begin {bmatrix }\

1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\

2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Die direkte Summe von matrices ist ein spezieller Typ der Block-Matrix, insbesondere ist die direkte Summe des Quadrats matrices eine Block-Diagonalmatrix.

Die Angrenzen-Matrix der Vereinigung von zusammenhanglosen Graphen oder Mehrgraphen ist die direkte Summe ihres Angrenzens matrices. Jedes Element in der direkten Summe von zwei Vektorräumen von matrices kann als eine direkte Summe von zwei matrices vertreten werden.

Im Allgemeinen ist die direkte Summe von n matrices:

:

\bigoplus_ {i=1} ^ {n} \bold _ {ich} = {\\rm diag} (\bold {Ein} _1, \bold {Ein} _2, \bold _3 \cdots \bold {Ein} _n) =

\begin {bmatrix }\

\bold {Ein} _1 & \boldsymbol {0} & \cdots & \boldsymbol {0} \\

\boldsymbol {0} & \bold {Ein} _2 & \cdots & \boldsymbol {0} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\boldsymbol {0} & \boldsymbol {0} & \cdots & \bold {Ein} _n \\

\end {bmatrix }\\, \! </Mathematik>

wo die Nullen wirklich Blöcke von Nullen, d. h. Null matricies sind.

NB: Manchmal in diesem Zusammenhang, boldtype für matrices ist fallen gelassen, matricies werden im kursiven geschrieben.

Summe von Kronecker

Die Kronecker-Summe ist von der direkten Summe verschieden, aber wird auch durch  angezeigt. Es wird mit dem Produkt von Kronecker  und normale Matrixhinzufügung definiert. Wenn A n-by-n ist, ist B M-für-M- und zeigt die k-by-k Identitätsmatrix dann an die Summe von Kronecker wird definiert durch:

:

Siehe auch

• Matrixmultiplikation

Referenzen

Links

• 4x4 Matrixhinzufügung und Subtraktion
• Abstrakter Quatsch: Direkte Summe von Geradlinigen Transformationen und Direkte Summe von Matrices
• Mathematik-Quellbibliothek: Arithmetische Matrixoperationen
• Matrixalgebra und R