Der Vorschlag in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die als das Gesetz der Gesamterwartung, das Gesetz von wiederholten Erwartungen, das Gesetz von Adam, die Turm-Regel, der Glanzschleifen-Lehrsatz unter anderen Namen bekannt ist, stellt das fest, wenn X eine integrable zufällige Variable ist (d. h., eine zufällige Variable, die E (| X |) befriedigt

d. h. der erwartete Wert des bedingten erwarteten Werts von X gegebenen Y ist dasselbe als der erwartete Wert von X.

Die Nomenklatur verwendet hier passt dem Ausdruck-Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit an. Siehe auch Gesetz der Gesamtabweichung.

(Der bedingte erwartete Wert E (X | Y) ist eine zufällige Variable in seinem eigenen Recht, dessen Wert vom Wert von Y abhängt. Bemerken Sie, dass der bedingte erwartete Wert von X gegeben das Ereignis Y = y eine Funktion von y ist (das ist, wo die Anhänglichkeit an der herkömmlichen starr mit dem Fall empfindlichen Notation der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig wird!). Wenn wir E (X | Y = y) = g (y) dann schreiben, ist die zufällige Variable E (X | Y) gerade g (Y).

Beweis im getrennten Fall

:\begin {richten }\aus

\operatorname {E} \left (\operatorname {E} (X|Y) \right) & {} = \sum_y \operatorname {E} (X|Y=y) \cdot \operatorname {P} (Y=y) \\

& {} = \sum_y \left (\sum_x x \cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y) \right) \cdot \operatorname {P} (Y=y) \\

& {} = \sum_y \sum_x x \cdot \operatorname {P} (X=x|Y=y) \cdot \operatorname {P} (Y=y) \\

& {} = \sum_y \sum_x x \cdot \operatorname {P} (X=x, Y=y) \\

& {} = \sum_x x\cdot\sum_y\operatorname {P} (X=x, Y=y) \\

& {} = \sum_x x\cdot \operatorname {P} (X=x) \\

& {} = \operatorname {E} (X).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wiederholte Erwartungen mit verschachtelten Bedingen-Sätzen

Die folgende Formulierung des Gesetzes von wiederholten Erwartungen spielt eine wichtige Rolle in vielen wirtschaftlich und Finanzmodelle:

:

wo der Wert von mir von diesem von mir bestimmt werde. Um Intuition zu bauen, stellen Sie sich einen Kapitalanleger vor, der voraussagt, dass ein zufälliger Aktienpreis X gestützt auf der beschränkten Information I untergegangen ist. Das Gesetz von wiederholten Erwartungen sagt, dass der Kapitalanleger eine genauere Vorhersage X nie gewinnen kann, indem er auf der spezifischeren Information (I) bedingt, wenn die spezifischere Vorhersage selbst mit der ursprünglichen Information (I) vorausgesagt werden muss.

Diese Formulierung wird häufig in einem Zeitreihe-Zusammenhang angewandt, wo E Erwartungen anzeigt, die durch nur die Information bedingt sind, die bis zu und einschließlich des Zeitabschnitts t beobachtet ist. In typischen Modellen ist die Information untergegangen t + 1 enthält die ganze Information, die im Laufe der Zeit t plus die Zusatzinformation verfügbar ist, die in der Zeit t + 1 offenbart ist. Man kann dann schreiben:

:

• (Lehrsatz 34.4)
• http://sims.princeton.edu/yftp/Bubbles2007/ProbNotes.pdf, besonders Gleichungen (16) bis (18)