In der Wahrscheinlichkeit und Statistik ist eine zufällige variable oder stochastische Variable, grob das Sprechen, eine Variable, deren sich Wert aus dem Maß einer Menge ergibt, die Schwankungen wegen der Chance (d. h. Zufälligkeit, in einem mathematischen Sinn) unterworfen ist. Im Vergleich mit normalen mathematischen Variablen hat eine zufällige Variable begrifflich keinen einzelnen, festen Wert (selbst wenn unbekannt); eher kann es eine Reihe möglicher verschiedener Werte, jeden mit einer verbundenen Wahrscheinlichkeit übernehmen. Intuitiv kann von einer zufälligen Variable auf eine der folgenden Weisen gedacht werden:

• Der frequentist Gesichtspunkt: Als das Ergebnis eines Experimentes oder Ereignisses, wo Zufälligkeit beteiligt wird (z.B das Ergebnis, ein Sterben zu rollen, das eine Zahl zwischen 1 und 6, alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ist; oder die Summe der Ergebnisse, zwei Würfel zu rollen, der eine Zahl zwischen 2 und 12, mit einigen Zahlen ist wahrscheinlicher als andere).
• Der Bayesian Gesichtspunkt: Die formelle Verschlüsselung von jemandes Glauben über die verschiedenen potenziellen Werte einer Menge, die mit der Gewissheit nicht bekannt ist (z.B ein Glaube einer besonderen Person über den Nettowert von jemandem wie Bill Gates nach der Internetforschung über das Thema, das mögliche Werte haben könnte, die sich zwischen ungefähr $ 50 Milliarden und $ 100 Milliarden, mit Werten in der Nähe vom Zentrum erstrecken wahrscheinlicher).

Zufällige Variablen können als irgendein getrennt klassifiziert werden (d. h. es kann einige einer angegebenen Liste von genauen Werten annehmen), oder als dauernd (d. h. es kann jeden numerischen Wert in einem Zwischenraum oder Sammlung von Zwischenräumen annehmen). Die mathematische Funktion, die die möglichen Werte einer zufälligen Variable und ihrer verbundenen Wahrscheinlichkeiten beschreibt, ist als ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb bekannt. Die Verwirklichungen einer zufälligen Variable, d. h. die Ergebnisse, zufällig Werte gemäß dem Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Variable zu wählen, werden zufälligen variates genannt.

Mögliche Werte einer zufälligen Variable könnten die möglichen Ergebnisse noch vertreten, um Experiment oder ein Ereignis durchgeführt zu werden, das noch, oder die potenziellen Werte eines vorigen Experimentes oder Ereignisses nicht geschehen ist, dessen bereits vorhandener Wert (z.B infolge der unvollständigen Information oder ungenauen Maße) unsicher ist. Sie können auch irgendeinen die Ergebnisse eines "objektiv" Zufallsprozesses begrifflich vertreten (z.B ein Sterben rollend), oder die "subjektive" Zufälligkeit, die sich aus unvollständigen Kenntnissen einer Menge ergibt. Die Bedeutung der den potenziellen Werten einer zufälligen Variable zugeteilten Wahrscheinlichkeiten ist nicht ein Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie selbst, aber stattdessen verbunden mit philosophischen Argumenten über die Interpretation der Wahrscheinlichkeit. Die Mathematik arbeitet dasselbe unabhängig von der besonderen Interpretation im Gebrauch.

Das grundlegende Konzept der "zufälligen Variable" in der Statistik ist reellwertig. Jedoch kann man willkürliche Typen wie Boolean-Werte, komplexe Zahlen, Vektoren, matrices, Folgen, Bäume, Sätze, Gestalten, Sammelleitungen, Funktionen und Prozesse denken. Der Begriff zufälliges Element wird gebraucht, um alle diese zusammenhängenden Konzepte zu umfassen. Ein zusammenhängendes Konzept ist der stochastische Prozess, eine Reihe mit einem Inhaltsverzeichnis versehener zufälliger Variablen (normalerweise mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch die Zeit oder den Raum). Dieses mehr Gesamtkonzept ist in Feldern wie Informatik und Verarbeitung der natürlichen Sprache besonders nützlich, wo viele der Grundelemente der Analyse nichtnumerisch sind. Diese allgemeinen zufälligen Variablen werden normalerweise als Sätze von reellwertigen zufälligen Variablen — häufig mehr spezifisch als zufällige Vektoren parametrisiert). Zum Beispiel:

• Ein "zufälliges Wort" kann durch einen auf die ganze Zahl geschätzten Index ins Vokabular von möglichen Wörtern parametrisiert werden; oder wechselweise als ein Anzeigevektor, in dem genau ein Element 1 und andere ist, sind 0, mit dem 1 Indexieren eines besonderen Wortes in ein Vokabular.
• Ein "zufälliger Satz" kann als ein Vektor von zufälligen Wörtern parametrisiert werden.
• Ein zufälliger Graph, für einen Graphen mit V Rändern, kann als eine Matrix von NxN parametrisiert werden, das Gewicht für jeden Rand, oder 0 für keinen Rand anzeigend. (Wenn der Graph keine Gewichte hat, 1 zeigt an, dass ein Rand, 0 keinen Rand anzeigt.)

(Bemerken Sie, dass Darstellungen dieser Sorte für die mathematische Bequemlichkeit geschaffen werden; die wirkliche Darstellung in einem Computerprogramm könnte ziemlich verschieden sein.)

Die formelle mathematische Behandlung von zufälligen Variablen wird im Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie befasst. In diesem Zusammenhang werden zufällige Variablen in Bezug auf auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definierte Funktionen definiert.

Einführung

Reellwertige zufällige Variablen (diejenigen, deren Reihe die reellen Zahlen ist) werden in den Wissenschaften verwendet, um Vorhersagen gestützt auf bei wissenschaftlichen Experimenten erhaltenen Daten zu machen. Zusätzlich zu wissenschaftlichen Anwendungen wurden zufällige Variablen für die Analyse von Glücksspielen und stochastischen Ereignissen entwickelt. In solchen Beispielen ist die Funktion, die das Ergebnis zu einer reellen Zahl kartografisch darstellt, häufig die Identitätsfunktion oder ähnlich triviale Funktion, und nicht ausführlich beschrieben. In vielen Fällen, jedoch, ist es nützlich, zufällige Variablen zu denken, die Funktionen anderer zufälliger Variablen sind, und dann die kartografisch darstellende in die Definition einer zufälligen Variable eingeschlossene Funktion wichtig wird. Als ein Beispiel ist das Quadrat einer zufälligen gemäß einer Standardnormalverteilung verteilten Variable selbst eine zufällige Variable mit einem chi-karierten Vertrieb. Eine Weise, daran zu denken, ist sich vorzustellen, eine Vielzahl von Proben von einer Standardnormalverteilung, Quadrieren jeder zu erzeugen, und einen histogram der beobachteten Werte zu planen. Mit genug Proben wird der Graph des histogram der Dichte-Funktion eines chi-karierten Vertriebs mit einem Grad der Freiheit näher kommen.

Ein anderes Beispiel ist die bösartige Probe, der der Durchschnitt mehrerer Proben ist. Wenn diese Proben unabhängige Beobachtungen desselben zufälligen Ereignisses sind, können sie unabhängige identisch verteilte zufällige Variablen genannt werden. Da jede Probe eine zufällige Variable ist, ist die bösartige Probe eine Funktion von zufälligen Variablen und folglich einer zufälligen Variable selbst, deren Vertrieb geschätzt werden kann und Eigenschaften bestimmt.

Einer der Gründe, dass reellwertige zufällige Variablen so allgemein betrachtet werden, ist, dass der erwartete Wert (ein Typ des Durchschnitts) und Abweichung (ein Maß der "Ausbreitung" oder Ausmaß, in dem die Werte verstreut werden) der Variable geschätzt werden kann.

Es gibt mehrere Typen von zufälligen Variablen, die allgemeinsten zwei sind das getrennte und das dauernde. Eine getrennte zufällige Variable stellt Ergebnisse zu Werten eines zählbaren Satzes (z.B, die ganzen Zahlen) mit jedem Wert in der Reihe kartografisch dar, die Wahrscheinlichkeit größer oder gleich der Null hat. Eine dauernde zufällige Variable stellt Ergebnisse zu Werten eines unzählbaren Satzes (z.B, die reellen Zahlen) kartografisch dar. Für eine dauernde zufällige Variable ist die Wahrscheinlichkeit jedes spezifischen Werts Null, wohingegen die Wahrscheinlichkeit von einem unendlichen Satz von Werten (wie ein Zwischenraum der Nichtnulllänge) positiv sein kann. Eine zufällige Variable kann mit einem Teil seiner Wahrscheinlichkeit "gemischt" werden, die über einen Zwischenraum wie eine typische dauernde Variable und einen Teil davon ausgedehnt ist, konzentriert auf besondere Werte wie eine getrennte Variable. Diese Klassifikationen sind zur Kategorisierung des Wahrscheinlichkeitsvertriebs gleichwertig.

Der erwartete Wert zufälliger Vektoren, zufälligen matrices und ähnlicher Anhäufungen der festen Struktur wird als die Ansammlung des erwarteten über jedes individuelle Element geschätzten Werts definiert. Das Konzept der "Abweichung eines zufälligen Vektoren" wird normalerweise durch eine Kovarianz-Matrix ausgedrückt. Nicht allgemein vereinbart besteht die Definition des erwarteten Werts oder der Abweichung für Fälle außer gerade besprochen.

Beispiele

Die möglichen Ergebnisse für ein Münzwerfen können durch den Zustandraum = {Köpfe, Schwänze} beschrieben werden. Wir können eine reellwertige zufällige Variable Y wie folgt einführen:

:

Y (\omega) = \begin {Fälle }\

1, & \text {wenn} \\\omega = \text {Köpfe}, \\

0, & \text {wenn} \\\omega = \text {Schwänze}.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Wenn die Münze ebenso wahrscheinlich auf beiden Seiten dann landen wird, hat sie eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die gegeben ist durch:

:

\frac {1} {2} ,& \text {wenn} y=0.\end {Fälle} </Mathematik>

Eine zufällige Variable kann auch verwendet werden, um den Prozess zu beschreiben, a und die möglichen Ergebnisse zu rollen. Die offensichtlichste Darstellung soll den Satz = {1, 2, 3, 4, 5, 6} nehmen, weil der Zustandraum, die zufällige Variable X gleich der Zahl definierend, gerollt hat.

In diesem Fall,

:

2,& \text {wenn 2}, \\gerollt wird

3,& \text {wenn 3}, \\gerollt wird

4,& \text {wenn 4}, \\gerollt wird

5,& \text {wenn 5}, \\gerollt wird

6,& \text {wenn 6}.\end {Fälle} </Mathematik> gerollt wird

</br>

:

0,& \text {sonst}.\end {Fälle} </Mathematik>

Ein Beispiel einer dauernden zufälligen Variable würde dasjenige sein, das auf einem Spinner gestützt ist, der eine horizontale Richtung wählen kann. Dann sind die von der zufälligen Variable genommenen Werte Richtungen. Wir konnten diese Richtungen durch Norden, Westen, Osten, Süden, Südosten usw. vertreten. Jedoch ist es allgemein günstiger, den Beispielraum zu einer zufälligen Variable kartografisch darzustellen, die Werte nimmt, die reelle Zahlen sind. Das kann zum Beispiel getan werden, indem es eine Richtung zu einem Lager in Graden im Uhrzeigersinn vom Norden kartografisch dargestellt wird. Die zufällige Variable nimmt dann Werte, die reelle Zahlen vom Zwischenraum [0, 360 sind), mit allen Teilen der Reihe, die "ebenso wahrscheinlich" ist. In diesem Fall X = hat der Winkel gesponnen. Jede reelle Zahl hat Wahrscheinlichkeitsnull davon, ausgewählt zu werden, aber eine positive Wahrscheinlichkeit kann jedem Wertbereich zugeteilt werden. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl in [0, 180] zu wählen, ½. Anstatt von einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zu sprechen, sagen wir, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte X 1/360 ist. Die Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge [0, 360) kann durch das Multiplizieren des Maßes des Satzes durch 1/360 berechnet werden. Im Allgemeinen kann die Wahrscheinlichkeit eines Satzes für eine gegebene dauernde zufällige Variable durch die Integrierung der Dichte über den gegebenen Satz berechnet werden.

Ein Beispiel einer zufälligen Variable des Mischtyps würde auf einem Experiment basieren, wo eine Münze geschnipst wird und der Spinner nur gesponnen wird, wenn das Ergebnis des Münzwerfens Köpfe ist. Wenn das Ergebnis Schwänze, X = 1 ist; sonst X = der Wert des Spinners als im vorhergehenden Beispiel. Es gibt eine Wahrscheinlichkeit ½, dass diese zufällige Variable den Wert 1 haben wird. Andere Wertbereiche würden Hälfte der Wahrscheinlichkeit des letzten Beispiels haben.

Formelle Definition

Zufällige Variablen werden normalerweise durch eine Reihe möglicher Ergebnisse (der Beispielraum) und ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb definiert, der jedes Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit vereinigt. In einleitenden Statistikklassen werden zufällige Variablen normalerweise entweder als getrennt oder als dauernd klassifiziert. Getrennte Variablen können entweder einen begrenzten oder an mehr einem zählbar unendlichen Satz von getrennten Werten übernehmen, und eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion stellt direkt ein Ergebnis zu einer Wahrscheinlichkeit kartografisch dar. Dauernde Variablen übernehmen jedoch Werte, die sich unaufhörlich innerhalb ein oder mehr (vielleicht unendlich) Zwischenräume ändern. Infolgedessen gibt es unzählbar unendliche Zahl von individuellen Ergebnissen, und jeder hat eine Wahrscheinlichkeit 0. Infolgedessen wird der Vertrieb normalerweise mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion definiert, die die "Dichte" der Wahrscheinlichkeit in einer kleinen Nachbarschaft um einen gegebenen Wert anzeigt. Mehr technisch wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis in einer besonderen Reihe ist, aus der Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion in dieser Reihe abgeleitet. Beide Konzepte können mit einer kumulativen Vertriebsfunktion (CDF) vereinigt werden, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass ein Ergebnis weniger sein wird als oder gleich einem angegebenen Wert. Diese Funktion ist notwendigerweise monotonically das Nichtverringern, mit einem minimalen Wert von 0 an der negativen Unendlichkeit und einem maximalen Wert von 1 an der positiven Unendlichkeit. Der CDF eines getrennten Vertriebs wird größtenteils aus flachen Gebieten zusammen mit plötzlichen Sprüngen an jedem im Beispielraum definierten Ergebnis bestehen, während sich der CDF eines dauernden Vertriebs allmählich und unaufhörlich erheben wird. Vertrieb, der teilweise getrennt ist und teilweise dauernder, kann auch dieser Weg beschrieben werden.

Mit dem Maß theoretische Definition

Die am meisten formelle, axiomatische Definition von zufälligen Variablen schließt Maß-Theorie ein. Dauernde zufällige Variablen werden in Bezug auf Sätze von Zahlen zusammen mit Funktionen definiert, die solche Sätze zu Wahrscheinlichkeiten kartografisch darstellen. Wegen verschiedener Schwierigkeiten (z.B das Paradox von Banach-Tarski), die entstehen, wenn solche Sätze ungenügend beschränkt werden, ist es notwendig einzuführen, was eine Sigma-Algebra genannt wird, um die möglichen Sätze zu beschränken, über die Wahrscheinlichkeiten definiert werden können. Normalerweise, eine Einzelheit solche Sigma-Algebra, wird der Borel σ-algebra verwendet, der Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, die über irgendwelche Sätze zu definieren sind, die entweder direkt von dauernden Zwischenräumen von Zahlen oder durch einen begrenzten oder zählbar unendliche Zahl von Vereinigungen und/oder Kreuzungen solcher Zwischenräume abgeleitet werden können.

Die mit dem Maß theoretische Definition ist wie folgt.

Lassen Sie, ein Wahrscheinlichkeitsraum und ein messbarer Raum zu sein. Dann ist eine zufällige Variable eine Funktion, die ist. Die letzten Mittel dass, für jede Teilmenge, sein Vorimage wo}. Diese Definition ermöglicht uns, jede Teilmenge B im Zielraum durch das Schauen auf sein Vorimage zu messen, das durch die Annahme messbar ist.

Wenn E ein topologischer Raum ist, dann ist die allgemeinste Wahl für den σ-algebra , ihn gleich dem Borel σ-algebra  (E) zu nehmen, der der σ-algebra ist, der durch die Sammlung aller offenen Sätze in E erzeugt ist. In solchem Fall wird die zufällige Variable die zufällige Variable genannt. Außerdem, wenn Raum E die echte Linie  ist, dann wird solche reellwertige zufällige Variable einfach die zufällige Variable genannt.

Reellwertige zufällige Variablen

In diesem Fall ist der Beobachtungsraum die reellen Zahlen. Rufen Sie zurück, ist der Wahrscheinlichkeitsraum. Für den echten Beobachtungsraum ist die Funktion eine reellwertige zufällige Variable wenn

:

Diese Definition ist ein spezieller Fall des obengenannten, weil der Satz die Sigma-Algebra von Borel auf den reellen Zahlen erzeugt, und es genügt, um measurability auf jedem Erzeugen-Satz zu überprüfen. Hier können wir measurability auf diesem gesetzten Erzeugen beweisen, indem wir die Tatsache das verwenden.

Vertriebsfunktionen von zufälligen Variablen

Das Verbinden einer kumulativen Vertriebsfunktion (CDF) mit einer zufälligen Variable ist eine Generalisation, einen Wert einer Variable zuzuteilen. Wenn der CDF (Recht dauernd) Schritt-Funktion von Heaviside dann ist, übernimmt die Variable den Wert am Sprung mit der Wahrscheinlichkeit 1. Im Allgemeinen gibt der CDF die Wahrscheinlichkeit an, dass die Variable besondere Werte übernimmt.

Wenn eine zufällige auf dem Wahrscheinlichkeitsraum definierte Variable gegeben wird, können wir Fragen wie stellen "Wie ist es wahrscheinlich, dass der Wert dessen größer ist als 2?". Das ist dasselbe als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das häufig bezüglich des kurzen geschrieben, und leicht seitdem erhalten wird

Die Aufnahme aller dieser Wahrscheinlichkeiten von Produktionsreihen einer reellwertigen zufälligen Variable X Erträge der Wahrscheinlichkeitsvertrieb X. Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb "vergisst" über den besonderen Wahrscheinlichkeitsraum hat gepflegt, X zu definieren, und registriert nur die Wahrscheinlichkeiten von verschiedenen Werten von X. Solch ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb kann immer durch seine kumulative Vertriebsfunktion gewonnen werden

:

und manchmal auch mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion. In mit dem Maß theoretischen Begriffen verwenden wir die zufällige Variable X am "mit dem Stoß fortgeschrittenen" das Maß P auf Ω zu einem Maß dF auf R.

Der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum Ω ist ein technisches Gerät, das verwendet ist, um die Existenz von zufälligen Variablen zu versichern, und manchmal sie zu bauen. In der Praxis verfügt man häufig über den Raum Ω zusammen und stellt gerade ein Maß auf R, der Maß 1 der ganzen echten Linie zuteilt, d. h. man arbeitet mit dem Wahrscheinlichkeitsvertrieb statt zufälliger Variablen.

Momente

Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb einer zufälligen Variable wird häufig durch eine kleine Zahl von Rahmen charakterisiert, die auch eine praktische Interpretation haben. Zum Beispiel ist es häufig genug, um zu wissen, wie sein "durchschnittlicher Wert" ist. Das wird durch das mathematische Konzept des erwarteten Werts einer zufälligen Variable gewonnen, hat E [X] angezeigt, und hat auch den ersten Moment genannt. Im Allgemeinen, E [f (X)] ist f (E [X]) nicht gleich. Sobald der "durchschnittliche Wert" bekannt ist, konnte man dann fragen, wie weit von diesem Durchschnitt die Werte von X schätzen, normalerweise, sind eine Frage, auf die durch die Abweichung und Standardabweichung einer zufälligen Variable geantwortet wird. E [X] kann intuitiv als ein Durchschnitt angesehen werden, der bei einer unendlichen Bevölkerung erhalten ist, deren Mitglieder besondere Einschätzungen X sind.

Mathematisch ist das als das (verallgemeinerte) Problem von Momenten bekannt: Für eine gegebene Klasse von zufälligen Variablen X, finden Sie eine Sammlung {f} Funktionen solch, dass die Erwartung E [f (X)] schätzt, völlig charakterisieren den Vertrieb der zufälligen Variable X.

Momente können nur für reellwertige Funktionen von zufälligen Variablen definiert werden. Wenn die zufällige Variable selbst reellwertig ist, dann können Momente der Variable selbst genommen werden, die zu Momenten der Identitätsfunktion der zufälligen Variable gleichwertig sind. Jedoch, sogar für nichtreellwertige zufällige Variablen, können Momente reellwertiger Funktionen jener Variablen genommen werden. Zum Beispiel für eine kategorische zufällige Variable X, der die nominellen Werte "rot", "blau" oder "grün" übernehmen kann, kann die reellwertige Funktion gebaut werden; das verwendet die Klammer von Iverson, und hat den Wert 1, wenn X den Wert "grün", 0 sonst hat. Dann kann der erwartete Wert und andere Momente dieser Funktion bestimmt werden.

Funktionen von zufälligen Variablen

Eine neue zufällige Variable Y kann durch die Verwendung einer echten Funktion auf die Ergebnisse einer reellwertigen zufälligen Variable X definiert werden. Die kumulative Vertriebsfunktion dessen ist

:

Wenn Funktion g invertible ist, d. h. g, und Erhöhung besteht, dann kann die vorherige Beziehung erweitert werden, um zu erhalten

:

und, wieder mit denselben Hypothesen von invertibility von g, auch differentiability annehmend, können wir die Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen finden, indem wir beide Seiten in Bezug auf y unterscheiden, um zu erhalten

:.

Wenn es keinen invertibility von g gibt, aber jeder y lässt höchstens eine zählbare Zahl von Wurzeln (d. h. ein begrenzter, oder zählbar unendlich, Zahl von solchem x dass y = g (x)) dann zu, kann die vorherige Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen mit verallgemeinert werden

:

wo x = g (y). Die Formeln für Dichten fordern g nicht, um zuzunehmen.

In der mit dem Maß theoretischen, axiomatischen Annäherung an die Wahrscheinlichkeit, wenn wir eine zufällige Variable und einen Borel messbare Funktion dann anhaben, wird auch eine zufällige Variable darauf sein, da die Zusammensetzung von messbaren Funktionen auch messbar ist. (Jedoch ist das nicht wahr, wenn messbarer Lebesgue ist.) Kann dasselbe Verfahren, das erlaubt hat, von einem Wahrscheinlichkeitsraum bis zu gehen, verwendet werden, um den Vertrieb dessen zu erhalten.

Beispiel 1

Lassen Sie X eine reellwertige, dauernde zufällige Variable sein und Y = X zu lassen.

:

Wenn y  y) = 0, so

:

Wenn y  0, dann

:

= \operatorname {P} (-\sqrt {y} \le X \le \sqrt {y}), </Mathematik>

so

:

Beispiel 2

Denken Sie ist eine zufällige Variable mit einem kumulativen Vertrieb

:

wo ein fester Parameter ist. Denken Sie die zufällige Variable Dann,

:

Der letzte Ausdruck kann in Bezug auf den kumulativen Vertrieb so berechnet werden

:

:::

::::::

Beispiel 3

Denken Sie ist eine zufällige Variable mit einer Standardnormalverteilung, deren Dichte ist

:

Denken Sie die zufällige Variable Wir können die Dichte mit der obengenannten Formel für eine Änderung von Variablen finden:

:

In diesem Fall ist die Änderung nicht monotonisch, weil jeder Wert dessen zwei entsprechende Werte (ein positiver und negatives) hat. Jedoch, wegen der Symmetrie, werden sich beide Hälften identisch verwandeln, d. h.

:

Die umgekehrte Transformation ist

:

und seine Ableitung ist

:

Dann:

:\begin {richten }\aus

f_Y (y) &= 2\frac {1} {\\sqrt {2\pi}} e^ {-y/2} \frac {1} {2\sqrt {y}} \\

&= \frac {1} {\\sqrt {2\pi y}} e^ {-y/2 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das ist ein chi-karierter Vertrieb mit einem Grad der Freiheit.

Gleichwertigkeit von zufälligen Variablen

Es gibt mehrere verschiedene Sinne, in denen, wie man betrachten kann, zufällige Variablen gleichwertig sind. Zwei zufällige Variablen können gleich, fast sicher gleich, oder im Vertrieb gleich sein.

In der zunehmenden Ordnung der Kraft wird die genaue Definition dieser Begriffe der Gleichwertigkeit unten gegeben.

Gleichheit im Vertrieb

Wenn der Beispielraum eine Teilmenge der echten Linie ist, ist eine mögliche Definition, dass zufällige Variablen X und Y im Vertrieb wenn gleich

sind

sie haben dieselben Vertriebsfunktionen:

:

Zwei zufällige Variablen, die gleiche Moment-Erzeugen-Funktionen haben, haben denselben Vertrieb. Das, stellt zum Beispiel, eine nützliche Methode zur Verfügung, Gleichheit von bestimmten Funktionen von i.i.d. zufälligen Variablen zu überprüfen. Jedoch besteht die Moment-Erzeugen-Funktion nur für den Vertrieb, der gut genug ist.

Fast sichere Gleichheit

Zwei zufällige Variablen X und Y sind fast sicher gleich, wenn, und nur wenn die Wahrscheinlichkeit, dass sie verschieden sind, Null ist:

:

Zu allen praktischen Zwecken in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist dieser Begriff der Gleichwertigkeit so stark wie wirkliche Gleichheit. Es wird zur folgenden Entfernung vereinigt:

:

wo "ess Mund voll" das wesentliche Supremum im Sinne der Maß-Theorie vertritt.

Gleichheit

Schließlich sind die zwei zufälligen Variablen X und Y gleich, wenn sie als Funktionen auf ihrem messbaren Raum gleich sind:

:

Konvergenz

Ein bedeutendes Thema in der mathematischen Statistik besteht aus dem Erreichen von Konvergenz-Ergebnissen für bestimmte Folgen von zufälligen Variablen; zum Beispiel das Gesetz der großen Anzahl und des Hauptgrenzwertsatzes.

Es gibt verschiedene Sinne, in denen eine Folge (X) von zufälligen Variablen zu einer zufälligen Variable X zusammenlaufen kann. Diese werden im Artikel über die Konvergenz von zufälligen Variablen erklärt.

Siehe auch

• Erkennbare Variable
• Wahrscheinlichkeitsvertrieb
• Algebra von zufälligen Variablen
• Multivariate zufällige Variable
• Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)
• Zufälligkeit
• Zufälliges Element
• Zufälliger Vektor
• Zufällige Funktion
• Zufälliges Maß
• Stochastischer Prozess

Literatur

• Kallenberg, O. (1986) Zufällige Maßnahmen, 4. Ausgabe. Akademische Presse, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin. MR0854102 internationale Standardbuchnummer 0-12-394960-2
• Kallenberg, O. (2001) Fundamente der Modernen Wahrscheinlichkeit, 2. Ausgabe. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg). Internationale Standardbuchnummer 0-387-95313-2
• Papoulis, Athanasios (1965) Wahrscheinlichkeit, Zufällige Variablen und Stochastische Prozesse. Der McGraw-Hügel Kogakusha, Tokio, die 9. Ausgabe, internationale Standardbuchnummer 0-07-119981-0.