In der Mathematik stellt der Modularitätslehrsatz (hat früher die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung und mehrere zusammenhängende Namen genannt), fest, dass elliptische Kurven über das Feld von rationalen Zahlen mit Modulformen verbunden sind. Andrew Wiles hat den Modularitätslehrsatz für halbstabile elliptische Kurven bewiesen, der genug war, um den letzten Lehrsatz von Fermat, und Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond einzubeziehen, und Richard Taylor seine Techniken erweitert hat, um den vollen Modularitätslehrsatz 2001 zu beweisen.

Der Modularitätslehrsatz ist ein spezieller Fall von allgemeineren Vermutungen wegen Robert Langlands. Das Programm von Langlands bemüht sich, eine Automorphic-Form oder automorphic Darstellung (eine passende Generalisation einer Modulform) zu allgemeineren Gegenständen der arithmetischen algebraischen Geometrie, solcher betreffs jeder elliptischen Kurve über ein numerisches Feld beizufügen. Die meisten Fälle dieser verlängerten Vermutungen sind noch nicht bewiesen worden.

Behauptung

Der Lehrsatz stellt fest, dass jede elliptische Kurve über Q über eine vernünftige Karte mit Koeffizienten der ganzen Zahl von der klassischen Modulkurve erhalten werden kann

für eine ganze Zahl N; das ist eine Kurve mit Koeffizienten der ganzen Zahl mit einer ausführlichen Definition. Das kartografisch darzustellen, wird einen modularen parametrization des Niveaus N genannt. Wenn N die kleinste ganze Zahl ist, für die solch ein parametrization gefunden werden kann (der durch den Modularitätslehrsatz selbst, wie man jetzt bekannt, eine Zahl genannt den Leiter ist), dann kann der parametrization in Bezug darauf definiert werden, kartografisch darzustellen, der durch eine besondere Art der Modulform des Gewichts zwei und Niveau N, ein normalisierter newform mit der Q-Vergrößerung der ganzen Zahl erzeugt ist, gefolgt nötigenfalls von einem isogeny.

Der Modularitätslehrsatz bezieht eine nah zusammenhängende analytische Behauptung ein: Zu einer elliptischen Kurve E über Q können wir eine entsprechende L-Reihe beifügen. Die L-Reihe ist eine Reihe von Dirichlet, allgemein geschriebener

Die Erzeugen-Funktion der Koeffizienten ist dann

Wenn wir den Ersatz machen

wir sehen, dass wir die Vergrößerung von Fourier einer Funktion der komplizierten Variable τ geschrieben haben, so wird von den Koeffizienten der Q-Reihe auch als die Koeffizienten von Fourier dessen gedacht. Die Funktion erhalten ist auf diese Weise, bemerkenswert, eine Spitze-Form des Gewichts zwei und Niveau N und ist auch ein eigenform (ein Eigenvektor aller Maschinenbediener von Hecke); das ist die Vermutung von Hasse-Weil, die aus dem Modularitätslehrsatz folgt.

Einige Modulformen des Gewichts zwei entsprechen abwechselnd holomorphic Differenzialen für eine elliptische Kurve. Der Jacobian der Modulkurve kann (bis zu isogeny), als ein Produkt von nicht zu vereinfachenden Varianten von Abelian, entsprechend Hecke eigenforms des Gewichts 2 geschrieben werden. Die 1-dimensionalen Faktoren sind elliptische Kurven (es kann auch höhere dimensionale Faktoren geben, so entsprechen nicht alle Hecke eigenforms vernünftigen elliptischen Kurven). Die erhaltene Kurve durch die Entdeckung der entsprechenden Spitze-Form, und dann das Konstruieren einer Kurve davon, ist isogenous zur ursprünglichen Kurve (aber nicht, im Allgemeinen, isomorph dazu).

Geschichte

festgesetzt eine einleitende (ein bisschen falsche) Version der Vermutung in 1955 internationales Symposium auf der Theorie der algebraischen Zahl in Tokio und Nikko. Goro Shimura und Taniyama haben an der Besserung seiner Strenge bis 1957 gearbeitet. wieder entdeckt hat die Vermutung, und gezeigt, dass sie aus den (vermuteten) funktionellen Gleichungen für eine gedrehte L-Reihe der elliptischen Kurve folgen würde; das war die ersten ernsten Beweise, dass die Vermutung wahr sein könnte. Weil hat auch gezeigt, dass der Leiter der elliptischen Kurve das Niveau der entsprechenden Modulform sein sollte.

Die Vermutung hat beträchtliches Interesse, wenn angedeutet, angezogen, dass die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung den Letzten Lehrsatz von Fermat einbezieht. Er hat das getan, indem er versucht hat zu zeigen, dass jedes Gegenbeispiel zum Letzten Lehrsatz von Fermat eine elliptische Nichtmodulkurve verursachen würde. Jedoch war sein Argument nicht abgeschlossen. Die Extrabedingung, die erforderlich war, um Taniyama-Shimura-Weil mit dem Letzten Lehrsatz von Fermat zu verbinden, wurde dadurch identifiziert und ist bekannt als die Epsilon-Vermutung geworden. Im Sommer 1986, bewiesen die Epsilon-Vermutung, dadurch beweisend, dass die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung den Letzten Lehrsatz von Fermat einbezogen hat., mit etwas Hilfe von Richard Taylor, hat die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung für alle halbstabilen elliptischen Kurven bewiesen, die stark genug war, um einen Beweis des Letzten Lehrsatzes von Fermat nachzugeben.

Die volle Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung wurde schließlich durch bewiesen, und wer, auf die Arbeit des List, zusätzlich abgeschnitzelt weg an den restlichen Fällen bauend, bis das volle Ergebnis bewiesen wurde. Die jetzt völlig bewiesene Vermutung ist bekannt als der Modularitätslehrsatz geworden.

Mehrere Lehrsätze in der dem Letzten Lehrsatz von Fermat ähnlichen Zahlentheorie folgen aus dem Modularitätslehrsatz. Zum Beispiel: Kein Würfel kann als eine Summe von zwei coprime n-ten Mächten, n  3 geschrieben werden. (Der Fall n = 3 war bereits von Euler bekannt.)

• Enthält eine sanfte Einführung in den Lehrsatz und einen Umriss des Beweises.
• Bespricht die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung 3 Jahre, bevor es für ungeheuer viele Fälle bewiesen wurde.
• Englische Übersetzung in

Links