Im mathematischen Feld der Differenzialgeometrie ist der Krümmungstensor von Riemann oder Tensor von Riemann-Christoffel nach Bernhard Riemann und Elwin Bruno Christoffel, die am meisten normale Weise, Krümmung von Sammelleitungen von Riemannian auszudrücken. Es vereinigt einen Tensor zu jedem Punkt einer Sammelleitung von Riemannian (d. h. es ist ein Tensor-Feld), der das Ausmaß misst, in dem der metrische Tensor zu einem Euklidischen Raum nicht lokal isometrisch ist. Der Krümmungstensor kann auch für jede Pseudo-Riemannian-Sammelleitung, oder tatsächlich jede mit einer affine Verbindung ausgestattete Sammelleitung definiert werden. Es ist ein mathematisches Hauptwerkzeug in der Theorie der allgemeinen Relativität, der modernen Theorie des Ernstes, und die Krümmung der Raum-Zeit ist im Prinzip über die geodätische Abweichungsgleichung erkennbar. Der Krümmungstensor vertritt die Gezeitenkraft, die durch einen starren Körper erfahren ist, der vorankommt, ein geodätischer hat gewissermaßen genau durch die Gleichung von Jacobi gemacht.

Der Krümmungstensor wird in Bezug auf die Verbindung von Levi-Civita durch die folgende Formel gegeben:

:

wo [u, v] die Lüge-Klammer von Vektorfeldern ist. Für jedes Paar von Tangente-Vektoren u, v, R (u, v) ist eine geradlinige Transformation des Tangente-Raums der Sammelleitung. Es ist in u und v geradlinig, und definiert so einen Tensor. Gelegentlich wird der Krümmungstensor mit dem entgegengesetzten Zeichen definiert. Wenn und Koordinatenvektorfelder dann sind und deshalb die Formel zu vereinfacht

:

Der Krümmungstensor misst noncommutativity der kovarianten Ableitung, und weil solcher das integrability Hindernis für die Existenz einer Isometrie mit dem Euklidischen Raum (genannt, in diesem Zusammenhang, flachem Raum) ist. Die geradlinige Transformation wird auch die Krümmungstransformation oder den Endomorphismus genannt.

Geometrische Bedeutung

Wenn ein Vektor in einem Euklidischen Raum transportiert um eine Schleife parallel ist, wird er immer zu seiner ursprünglichen Position zurückkehren. Jedoch hält dieses Eigentum im allgemeinen Fall nicht. Der Krümmungstensor von Riemann misst direkt den Misserfolg davon in einer Sammelleitung von General Riemannian. Dieser Misserfolg ist als der holonomy der Sammelleitung bekannt.

Lassen Sie x eine Kurve in einer SammelleitungsM von Riemannian sein. Zeigen Sie durch τ an: TM  TM die parallele Transportkarte entlang x. Die parallelen Transportkarten sind mit der kovarianten Ableitung durch verbunden

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für jedes Vektorfeld Y definiert entlang der Kurve.

Nehmen Sie an, dass X und Y ein Paar von pendelnden Vektorfeldern sind. Jedes dieser Felder erzeugt ein Paar von Ein-Parameter-Gruppen von diffeomorphisms in einer Nachbarschaft von x. Zeigen Sie durch τ und τ, beziehungsweise, die parallelen Transporte entlang den Flüssen X und Y für die Zeit t an. Der parallele Transport eines Vektoren Z  TM um das Vierseit mit Seiten tY, sX, −tY, −sX wird durch gegeben

:

Das misst den Misserfolg des parallelen Transports, Z in seine ursprüngliche Position im Tangente-Raum TM zurückzugeben. Die Schleife durch das Senden s, t  0 zusammenschrumpfen zu lassen, gibt die unendlich kleine Beschreibung dieser Abweichung:

:

wo R der Krümmungstensor von Riemann ist.

Koordinatenausdruck

In lokalen Koordinaten wird der Krümmungstensor von Riemann durch gegeben

:

wo die Koordinatenvektorfelder sind. Der obengenannte Ausdruck kann mit Symbolen von Christoffel geschrieben werden:

:

- \partial_\nu\Gamma^\\rho_ {\\mu\sigma }\

+ \Gamma^\\rho {} _ {\\mu\lambda }\\Gamma^\\Lambda {} _ {\\nu\sigma }\

- \Gamma^\\rho {} _ {\\nu\lambda }\\Gamma^\\Lambda {} _ {\\mu\sigma} </Mathematik>

(sieh auch die Liste von Formeln in der Geometrie von Riemannian).

Definieren Sie auch die rein kovariante Version durch

:

Symmetries und Identität

Der Krümmungstensor von Riemann hat den folgenden symmetries:

:::

Die letzte Identität wurde von Ricci entdeckt, aber wird häufig die erste Identität von Bianchi oder algebraische Identität von Bianchi genannt, weil es ähnlich der Identität von Bianchi unten aussieht. (Außerdem, wenn es Nichtnullverdrehung gibt, wird die erste Identität von Bianchi eine Differenzialidentität des Verdrehungstensor.)

Diese drei Identität bildet eine ganze Liste von symmetries des Krümmungstensor, d. h. gegeben jeder Tensor, der die Identität oben befriedigt, kann man eine Sammelleitung von Riemannian mit solch einem Krümmungstensor an einem Punkt finden. Einfache Berechnungen zeigen, dass solch ein Tensor unabhängige Bestandteile hat.

Und doch folgt eine andere nützliche Identität aus diesen drei:

:

Auf einer Sammelleitung von Riemannian hat man die kovariante Ableitung, und die Identität von Bianchi (hat häufig die zweite Identität von Bianchi genannt, oder Differenzialidentität von Bianchi) nimmt die Form an:

:

In Anbetracht jeder Koordinatenkarte über einen Punkt auf der Sammelleitung kann die obengenannte Identität in Bezug auf die Bestandteile des Tensor von Riemann an diesem Punkt als geschrieben werden:

Verdrehen Sie Symmetrie

::

Austausch-Symmetrie

::

Die erste Bianchi Identität

::

:This wird häufig geschrieben

::

:where die Klammern zeigen den antisymmetrischen Teil auf den angezeigten Indizes an. Das ist zur vorherigen Version der Identität gleichwertig, weil der Tensor von Riemann ist, bereits verdrehen auf seinen letzten zwei Indizes.

Die zweite Bianchi Identität

::

:The-Strichpunkt zeigt eine kovariante Ableitung an. Gleichwertig,

::

:again mit der Antisymmetrie auf den letzten zwei Indizes von R.

Spezielle Fälle

Oberflächen

Für eine zweidimensionale Oberfläche deutet die Identität von Bianchi an, dass der Tensor von Riemann als ausgedrückt werden kann

:

wo der metrische Tensor ist und eine Funktion ist, hat die Krümmung von Gaussian und den a, b, c genannt, und d nehmen Werte entweder 1 oder 2. Der Tensor von Riemann hat nur einen funktionell unabhängigen Bestandteil. Die Gaussian Krümmung fällt mit der Schnittkrümmung der Oberfläche zusammen. Es ist auch genau Hälfte der Skalarkrümmung des 2-Sammelleitungen-, während der Krümmungstensor von Ricci der Oberfläche einfach durch gegeben wird

:

Raum bildet

Eine Riemannian-Sammelleitung ist eine Raumform, wenn seine Schnittkrümmung einem unveränderlichen K gleich ist. Der Tensor von Riemann einer Raumform wird durch gegeben

:

Umgekehrt, außer in der Dimension 2, wenn die Krümmung einer Sammelleitung von Riemannian diese Form für etwas Funktion K hat, dann deutet die Identität von Bianchi an, dass K unveränderlich ist, und so dass die Sammelleitung (lokal) eine Raumform ist.

Siehe auch

• Einführung in die Mathematik der allgemeinen Relativität
• Zergliederung des Krümmungstensor von Riemann

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