In der Riemannian Geometrie ist die Schnittkrümmung eine der Weisen, die Krümmung von Sammelleitungen von Riemannian zu beschreiben. Die Schnittkrümmung K (&sigma) hängt von einem zweidimensionalen Flugzeug &sigma ab; im Tangente-Raum an p. Es ist die Krümmung von Gaussian dieser Abteilung - die Oberfläche, die das Flugzeug &sigma hat; als eine Tangentialebene an p, der bei geodesics erhalten ist, die an p in den Richtungen &sigma anfangen; (mit anderen Worten, das Image σ laut der Exponentialkarte an p). Die Schnittkrümmung ist eine glatte reellwertige Funktion auf dem 2-Grassmannian Bündel über die Sammelleitung.

Die Schnittkrümmung bestimmt den Krümmungstensor völlig.

Definition

In Anbetracht einer Sammelleitung von Riemannian und zwei linear unabhängiger Tangente-Vektoren an demselben Punkt, u und v, können wir definieren

Hier ist R der Krümmungstensor von Riemann.

Insbesondere wenn u und v, dann orthonormal

Die Schnittkrümmung hängt tatsächlich nur vom 2-stufigen σ im Tangente-Raum an p ab, der durch u und v abgemessen ist. Es wird die Schnittkrümmung des 2-stufigen &sigma genannt; und wird K angezeigt (&sigma).

Sammelleitungen mit der unveränderlichen Schnittkrümmung

Sammelleitungen von Riemannian mit der unveränderlichen Schnittkrümmung sind am einfachsten. Diese werden Raumformen genannt. Durch das Wiederschuppen des metrischen gibt es drei mögliche Fälle

• negative Krümmung −1, Hyperbelgeometrie
• Nullkrümmung, Euklidische Geometrie
• positive Krümmung +1, elliptische Geometrie

Die Mustersammelleitungen für die drei Geometrie sind Hyperbelraum, Euklidischer Raum und ein Einheitsbereich. Sie sind das einzige ganze, die einfach verbundenen Sammelleitungen von Riemannian der gegebenen Schnittkrümmung. Alle anderen ganzen unveränderlichen Krümmungssammelleitungen sind Quotienten von denjenigen durch eine Gruppe von Isometrien.

Wenn für jeden Punkt in einer verbundenen Sammelleitung von Riemannian (der Dimension drei oder größer) die Schnittkrümmung der 2-stufigen Tangente unabhängig ist, dann ist die Schnittkrümmung tatsächlich auf der ganzen Sammelleitung unveränderlich.

Der Lehrsatz von Toponogov

Der Lehrsatz von Toponogov gewährt eine Charakterisierung der Schnittkrümmung in Bezug darauf, wie "fette" geodätische Dreiecke wenn im Vergleich zu ihren Euklidischen Kollegen erscheinen. Die grundlegende Intuition ist, dass, wenn ein Raum positiv gebogen wird, dann wird der Rand eines Dreiecks gegenüber einem gegebenen Scheitelpunkt dazu neigen, sich weg von diesem Scheitelpunkt, wohingegen zu biegen, wenn ein Raum negativ gebogen wird, dann wird der entgegengesetzte Rand des Dreiecks dazu neigen, sich zum Scheitelpunkt zu biegen.

Lassen Sie genauer M eine ganze Sammelleitung von Riemannian sein, und xyz ein geodätisches Dreieck in der M sein zu lassen (ein Dreieck jede sind dessen Seiten eine Länge-Minderung geodätisch). Lassen Sie schließlich M der Mittelpunkt des geodätischen xy sein. Wenn M nichtnegative Krümmung, dann für alle genug kleinen Dreiecke hat

wo d die Entfernungsfunktion auf der M ist. Der Fall der Gleichheit hält genau, wenn die Krümmung der M verschwindet, und die Rechte die Entfernung von einem Scheitelpunkt bis die Gegenseite eines geodätischen Dreiecks im Euklidischen Raum vertritt, der dieselben Seitenlängen wie das Dreieck xyz hat. Das macht genau der Sinn, in dem Dreiecke in positiv gekrümmten Räumen "fetter" sind. In nichtpositiv gekrümmten Räumen geht die Ungleichheit den anderen Weg:

Wenn dichtere Grenzen auf der Schnittkrümmung bekannt sind, dann verallgemeinert dieses Eigentum, um einen Vergleich-Lehrsatz zwischen geodätischen Dreiecken in der M und denjenigen in einer passenden einfach verbundenen Raumform zu geben; sieh den Lehrsatz von Toponogov. Einfache Folgen der Version haben festgesetzt hier ist:

• Eine ganze Sammelleitung von Riemannian hat nichtnegative Schnittkrümmung, wenn, und nur wenn die Funktion 1 Höhlung für alle Punkte p ist.
• Eine ganze einfach verbundene Sammelleitung von Riemannian hat nichtpositive Schnittkrümmung, wenn, und nur wenn die Funktion 1-konvex ist.

Sammelleitungen mit der nichtpositiven Schnittkrümmung

1928 hat Élie Cartan den Cartan-Hadamard Lehrsatz bewiesen: Wenn M eine ganze Sammelleitung mit der nichtpositiven Schnittkrümmung ist, dann ist sein universaler Deckel diffeomorphic zu einem Euklidischen Raum. Insbesondere es ist aspherical: die homotopy Gruppen weil ich ≥ 2 sind trivial. Deshalb wird die topologische Struktur einer ganzen nichtpositiv gekrümmten Sammelleitung von seiner grundsätzlichen Gruppe bestimmt. Der Lehrsatz von Preissman schränkt die grundsätzliche Gruppe negativ gekrümmter Kompaktsammelleitungen ein.

Sammelleitungen mit der positiven Schnittkrümmung

Wenig ist über die Struktur positiv gekrümmter Sammelleitungen bekannt. Der Seelenlehrsatz deutet an, dass eine ganze nichtnegativ gekrümmte Nichtkompaktsammelleitung diffeomorphic zu einem normalen Bündel über eine nichtnegativ gekrümmte Kompaktsammelleitung ist. Bezüglich positiv gekrümmter Kompaktsammelleitungen gibt es zwei klassische Ergebnisse:

• Es folgt aus dem Lehrsatz von Myers, dass die grundsätzliche Gruppe solcher Sammelleitung begrenzt ist.
• Es folgt aus dem Lehrsatz von Synge, dass die grundsätzliche Gruppe solcher Sammelleitung in sogar Dimensionen 0, wenn orientable und sonst ist. In sonderbaren Dimensionen ist eine positiv gekrümmte Sammelleitung immer orientable.

Außerdem gibt es relativ wenige Beispiele von positiv gekrümmten Kompaktsammelleitungen, viele Vermutungen verlassend (z.B, die Vermutung von Hopf auf, ob es eine metrische von der positiven Schnittkrümmung auf gibt). Die typischste Weise, neue Beispiele zu bauen, ist die folgende Folgeerscheinung von den Krümmungsformeln von O'Neill: Wenn eine Sammelleitung von Riemannian das Zulassen einer freien isometrischen Handlung einer Lüge-Gruppe G ist, und M positive Schnittkrümmung auf allen zu den Bahnen von G orthogonalen 2 Flugzeugen hat, dann hat die Sammelleitung mit dem metrischen Quotienten positive Schnittkrümmung. Diese Tatsache erlaubt, die klassischen positiv gekrümmten Räume zu bauen, Bereiche und projektive Räume, sowie diese Beispiele seiend:

• Die Räume von Berger und.
• Die Räume von Wallach (oder die homogenen Fahne-Sammelleitungen): und.
• Die Räume von Aloff-Wallach.
• Die Eschenburg Räume
• Die Bazaikin Räume, wo.

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Siehe auch

• Krümmungstensor von Riemann
• die Krümmung von Riemannian vervielfältigt
• Krümmung