In der axiomatischen Mengenlehre ist das Axiom des leeren Satzes ein Axiom der Kripke-Platek Mengenlehre und die Variante der allgemeinen Mengenlehre dass Bürger (2005) Anrufe "ST" und eine beweisbare Wahrheit in der Mengenlehre von Zermelo und Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, mit oder ohne das Axiom der Wahl.

Formelle Behauptung

Auf der formellen Sprache der Zermelo-Fraenkel Axiome liest das Axiom:

oder in Wörtern:

:There ist ein solcher Satz, dass kein Satz ein Mitglied davon ist.

Interpretation

Wir können das Axiom von extensionality verwenden, um zu zeigen, dass es nur einen leeren Satz gibt. Da es einzigartig ist, können wir es nennen. Es wird den leeren Satz (angezeigt durch {} oder ) genannt. Das Axiom, das auf natürlicher Sprache festgesetzt ist, ist hauptsächlich:

:An leerer Satz besteht.

Das Axiom des leeren Satzes wird allgemein unverfänglich betrachtet, und es oder eine Entsprechung erscheint in so etwa jeder Alternative axiomatisation von der Mengenlehre.

In einigen Formulierungen von ZF wird das Axiom des leeren Satzes wirklich im Axiom der Unendlichkeit wiederholt. Jedoch gibt es andere Formulierungen dieses Axioms, die die Existenz eines leeren Satzes nicht voraussetzen. Die ZF Axiome können auch mit einem unveränderlichen Symbol geschrieben werden, das den leeren Satz vertritt; dann verwendet das Axiom der Unendlichkeit dieses Symbol ohne zu verlangen, dass es leer ist, während das Axiom des leeren Satzes erforderlich ist, um festzustellen, dass es tatsächlich leer ist.

Außerdem denkt man manchmal Mengenlehren, in denen es keine unendlichen Sätze gibt, und dann das Axiom des leeren Satzes noch erforderlich sein kann. Das, hat jedes Axiom der Mengenlehre oder Logik gesagt, die einbezieht, die Existenz jedes Satzes wird die Existenz des leeren Satzes einbeziehen, wenn man das Axiom-Diagramm der Trennung hat. Das ist wahr, da der leere Satz eine Teilmenge jedes Satzes ist, der aus jenen Elementen besteht, die eine widersprechende Formel befriedigen.

In vielen Formulierungen der Prädikat-Logik der ersten Ordnung wird die Existenz von mindestens einem Gegenstand immer versichert. Wenn der axiomatization der Mengenlehre in solch einem logischen System mit dem Axiom-Diagramm der Trennung als Axiome formuliert wird, dann ist die Existenz des leeren Satzes ein Lehrsatz.

Wenn Trennung als ein Axiom-Diagramm nicht verlangt, aber als ein Lehrsatz-Diagramm vom Diagramm des Ersatzes abgeleitet wird (wie manchmal getan wird), ist die Situation mehr kompliziert, und hängt von der genauen Formulierung des Ersatzdiagramms ab. Die Formulierung, die im Axiom-Diagramm des Ersatzartikels nur verwendet ist, erlaubt, das Image F zu bauen, wenn enthalten im Gebiet der Klasse zu sein, F fungiert; dann verlangt die Abstammung der Trennung das Axiom des leeren Satzes. Andererseits ist die Einschränkung der Gesamtheit von F häufig aus dem Ersatzdiagramm fallen gelassen, in welchem Fall es das Trennungsdiagramm einbezieht, ohne das Axiom des leeren Satzes (oder jedes andere Axiom, was das betrifft) zu verwenden.

• Bürger, John, 2005. Befestigen Frege. Princeton Univ. Drücken.
• Paul Halmos, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.