In der Mathematik ist der symmetrische Unterschied von zwei Sätzen der Satz von Elementen, die in jedem der Sätze und nicht in ihrer Kreuzung sind. Der symmetrische Unterschied der Sätze A und B wird durch allgemein angezeigt

oder

Zum Beispiel ist der symmetrische Unterschied der Sätze {1,2,3} und {3,4} {1,2,4}. Der symmetrische Unterschied des Satzes aller Studenten und des Satzes aller Frauen besteht aus allen Studenten männlichen Geschlechts zusammen mit allen weiblichen Nichtstudenten.

Der Macht-Satz jedes Satzes wird eine abelian Gruppe unter der Operation des symmetrischen Unterschieds, mit dem leeren Satz als das neutrale Element der Gruppe und jedes Element in dieser Gruppe, die sein eigenes Gegenteil ist. Der Macht-Satz jedes Satzes wird ein Ring von Boolean mit dem symmetrischen Unterschied als die Hinzufügung des Rings und der Kreuzung als die Multiplikation des Rings.

Eigenschaften

Der symmetrische Unterschied ist zur Vereinigung von beiden Verhältnisergänzungen gleichwertig, die ist:

und es kann auch als die Vereinigung der zwei Sätze minus ihre Kreuzung ausgedrückt werden:

oder mit der XOR Operation:

Der symmetrische Unterschied ist auswechselbar und assoziativ:

So ist der wiederholte symmetrische Unterschied eine Operation auf einem Mehrsatz von Sätzen, die den Satz von Elementen geben, die in einer ungeraden Zahl von Sätzen sind.

Der symmetrische Unterschied von zwei wiederholten symmetrischen Unterschieden ist der wiederholte symmetrische Unterschied der Verbindungslinie der zwei Mehrsätze, wohin für jeden doppelten Satz beide entfernt werden können. Insbesondere:

Das bezieht eine Art Dreieck-Ungleichheit ein: Der symmetrische Unterschied von A und C wird in der Vereinigung des symmetrischen Unterschieds von A und B und diesem von B und C. enthalten (Aber bemerken Sie, dass für das Diameter des symmetrischen Unterschieds die Dreieck-Ungleichheit nicht hält.)

Der leere Satz ist neutral, und jeder Satz ist sein eigenes Gegenteil:

Genommen zusammen sehen wir, dass der Macht-Satz jedes Satzes X eine abelian Gruppe wird, wenn wir den symmetrischen Unterschied als Operation verwenden. Weil jedes Element in dieser Gruppe sein eigenes Gegenteil ist, ist das tatsächlich ein Vektorraum über das Feld mit 2 Elementen Z. Wenn X begrenzt ist, dann bildet der Singleton eine Basis dieses Vektorraums, und seine Dimension ist deshalb der Zahl der Elemente X gleich. Dieser Aufbau wird in der Graph-Theorie verwendet, um den Zyklus-Raum eines Graphen zu definieren.

Kreuzung verteilt über den symmetrischen Unterschied:

und das zeigt, dass der Macht-Satz X ein Ring mit dem symmetrischen Unterschied als Hinzufügung und Kreuzung als Multiplikation wird. Das ist das archetypische Beispiel eines Rings von Boolean.

Der symmetrische Unterschied kann in jeder Algebra von Boolean, durch das Schreiben definiert werden

Diese Operation hat dieselben Eigenschaften wie der symmetrische Unterschied von Sätzen.

n-stufiger symmetrischer Unterschied

Als oben enthält der symmetrische Unterschied einer Sammlung von Sätzen gerade Elemente, die in einer ungeraden Zahl der Sätze in der Sammlung sind:

:.

Zweifellos ist das nur bestimmt, wenn jedes Element der Vereinigung von einer begrenzten Zahl der Elemente dessen beigetragen wird.

Symmetrischer Unterschied auf Maß-Räumen

So lange es einen Begriff gibt, "wie groß" ein Satz ist, kann der symmetrische Unterschied zwischen zwei Sätzen als ein Maß dessen betrachtet werden, wie "weit einzeln" sie sind. Formell, wenn μ ein σ-Finite-Maß ist, das auf einem σ-algebra Σ, die Funktion, definiert ist

ist ein pseudometrischer auf Σ. d wird ein metrischer, wenn Σ als modulo als die Gleichwertigkeitsbeziehung X ~ Y wenn und nur wenn betrachtet wird. Der resultierende metrische Raum ist trennbar, wenn, und nur wenn L (μ) trennbar ist.

Siehe auch

• Algebra von Sätzen
• Boolean fungieren
• Unterschied (Mengenlehre)
• Exklusiv oder
• Unscharfe Menge
• Logischer Graph
• Mengenlehre
• Symmetrie
• Symmetrischer Unterschied von Sätzen. In der Enzyklopädie der Mathematik