Der Motor ist nicht eine Replik (einer wurde während der Lebenszeit von Babbage nie gebaut); deshalb ist das das erste - das Original.]]

Ein Unterschied-Motor ist eine automatische, mechanische Rechenmaschine, die entworfen ist, um polynomische Funktionen zu tabellarisieren. Der Name ist auf die Methode von geteilten Unterschieden, eine Weise zurückzuführen, Funktionen durch das Verwenden eines kleinen Satzes von polynomischen Koeffizienten zu interpolieren oder zu tabellarisieren. Sowohl logarithmischen als auch trigonometrischen Funktionen, Funktionen, die allgemein sowohl von Navigatoren als auch von Wissenschaftlern verwendet sind, kann durch Polynome näher gekommen werden, so kann ein Unterschied-Motor viele nützliche Sätze von Zahlen schätzen.

Die historische Schwierigkeit, Fehler freie Tische von Mannschaften von Mathematikern und menschlichen "Computern" zu erzeugen, hat den Wunsch von Charles Babbage gespornt, einen Mechanismus zu bauen, den Prozess zu automatisieren.

Geschichte

J. H. Müller, ein Ingenieur in der Jute-Armee hat sich die Idee in einem Buch veröffentlicht 1786 vorgestellt, aber hat gescheitert zu finden, dass Finanzierung das weiter fortgeschritten ist.

1822 hat Charles Babbage den Gebrauch solch einer Maschine in einer Zeitung zur Königlichen Astronomischen Gesellschaft am 14. Juni berechtigt "Zeichen auf der Anwendung der Maschinerie zur Berechnung von astronomischen und mathematischen Tischen" vorgeschlagen. Diese Maschine hat das Dezimalzahl-System verwendet und wurde durch das Kröpfen eines Griffs angetrieben. Die britische Regierung hat sich interessiert, seit dem Produzieren von Tischen war zeitaufwendig und teuer, und sie haben gehofft, dass der Unterschied-Motor die Aufgabe mehr wirtschaftlich machen würde.

1823 hat die britische Regierung Babbage 1700 gegeben, um Arbeit am Projekt anzufangen. Das Problem für Babbage bestand darin, obwohl das Design technisch ausführbar war, hatte keiner ein mechanisches Gerät zu diesen anspruchsvollen Standards vorher gebaut, so hat sich der Motor erwiesen, viel teurer zu sein, als er vorausgesehen hatte. Als die Regierung das Projekt 1842 getötet hat, hatten sie Babbage mehr als 17.000 gegeben. Das war mehr als doppelt die Kosten eines Schlachtschiffs und des Motors waren noch immer nicht gebaut worden. Was Babbage nicht getan hat oder widerwillig war, anzuerkennen, war, dass sich die Regierung für wirtschaftlich erzeugte Tische, nicht den Motor selbst interessiert hat. Das andere Problem, das das Vertrauen der Regierung zum Unterschied-Motor untergraben hat, war Babbage war zu einem analytischen Motor weitergegangen. Durch das Entwickeln von etwas besser hatte Babbage den in den Augen der Regierung nutzlosen Unterschied-Motor gemacht.

Babbage hat fortgesetzt, seinen viel allgemeineren analytischen Motor zu entwerfen, aber hat später ein verbessertes Unterschied-Motordesign (sein "Unterschied-Motor Nr. 2") zwischen 1847 und 1849 erzeugt. Babbage ist im Stande gewesen, für den analytischen Motor entwickelte Ideen auszunutzen, um den Unterschied-Motor nicht nur schneller rechnen zu lassen, aber es konnte von weniger Teilen gemacht werden. Begeistert durch die Unterschied-Motorpläne von Babbage, Pro Georg Scheutz hat mehrere Unterschied-Motoren von 1855 vorwärts gebaut; einer wurde an die britische Regierung 1859 verkauft. Martin Wiberg hat den Aufbau von Scheutz verbessert, aber hat sein Gerät verwendet, um nur zu erzeugen und zu veröffentlichen, hat logarithmische Tische gedruckt.

Während der 1980er Jahre, Allan Bromleys, hat ein Helfer-Professor an der Universität Sydneys, Australien, die Originalzeichnungen von Babbage für den Unterschied und die Analytischen Motoren an der Wissenschaftsmuseum-Bibliothek in London studiert. Diese Arbeitsleitung das Wissenschaftsmuseum, um einen Arbeitsunterschied-Motor Nr. 2 von 1989 bis 1991, unter Doron Swade, dann Museumsdirektor der Computerwissenschaft zu bauen. Das sollte den 200. Jahrestag der Geburt von Babbage feiern. 2000 wurde der Drucker, den Babbage ursprünglich für den Unterschied-Motor entworfen hat, auch vollendet. Die Konvertierung der ursprünglichen Designzeichnungen in für den Gebrauch von Technikherstellern passende Zeichnungen hat einige geringe Fehler im Design von Babbage offenbart, das korrigiert werden musste. Einmal vollendet haben sowohl der Motor als auch sein Drucker fehlerfrei gearbeitet, und tun Sie noch. Der Unterschied-Motor und Drucker wurden zur mit der Technologie des 19. Jahrhunderts erreichbaren Toleranz gebaut, eine langjährige Debatte auflösend, ob das Design von Babbage wirklich gearbeitet hätte. (Einer der für die Nichtvollendung der Motoren von Babbage früher vorgebrachten Gründe war gewesen, dass Technikmethoden im viktorianischen Zeitalter ungenügend entwickelt wurden.)

Obwohl der "Drucker" hier solchen genannt wird, ist sein primärer Zweck, Stereotypie-Teller für den Gebrauch in Druckpressen zu erzeugen; die Absicht von Babbage, die dass die Ergebnisse des Motors ist, direkt zum Massendruck befördert werden. Babbage hat anerkannt, dass Fehler in vorherigen Tischen nicht das Ergebnis von menschlichen Rechenfehlern, aber vom menschlichen Fehler im Druckverfahren waren. Die Papierproduktion des Druckers ist hauptsächlich ein Mittel, die Leistung des Motors zu überprüfen.

Zusätzlich zur Finanzierung des Aufbaus des Produktionsmechanismus für den Wissenschaftsmuseum-Unterschied-Motor Nr. 2 hat Nathan Myhrvold den Aufbau eines zweiten ganzen Unterschied-Motors Nr. 2 beauftragt, der zurzeit auf dem Ausstellungsstück am Computergeschichtsmuseum in der Bergansicht, Kalifornien ist.

Operation

Der Unterschied-Motor besteht aus mehreren Säulen, die von 1 bis N numeriert sind. Die Maschine ist im Stande, eine Dezimalzahl in jeder Säule zu versorgen. Die Maschine kann nur den Wert einer Spalte n + 1 zur Spalte n hinzufügen, um den neuen Wert von n zu erzeugen. Spalte N kann nur a, Anzeigen der Spalte 1 versorgen (und druckt vielleicht) der Wert der Berechnung auf der aktuellen Wiederholung.

Der Motor wird durch das Setzen von Anfangswerten auf die Säulen programmiert. Spalte 1 wird auf den Wert des Polynoms am Anfang der Berechnung gesetzt. Spalte 2 wird auf einen Wert gesetzt ist auf die ersten und höheren Ableitungen des Polynoms an demselben Wert von X zurückzuführen gewesen. Jede der Säulen von 3 bis N wird auf einen Wert gesetzt ist auf die ersten und höheren Ableitungen des Polynoms zurückzuführen gewesen.

Timing

Im Design von Babbage, einer Wiederholung d. h. einem vollem Satz der Hinzufügung und tragen Operationen geschieht einmal für vier Folgen der Kurbel. Gerade und ungerade Säulen führen abwechselnd eine Hinzufügung in einem Zyklus durch. Die Folge von Operationen wegen der Säule ist so:

1. Zählen Sie zusammen, den Wert aus der Säule (Hinzufügungsschritt) erhaltend
2. Leisten Sie tragen Fortpflanzung auf dem zusammengezählten Wert
3. Zählen Sie zur Null hin, zur Säule beitragend
4. Fassen Sie den hingezählten Wert zu seinem ursprünglichen Wert neu

Schritte 1,2,3,4 kommen für jede sonderbare Säule vor, während Schritte 3,4,1,2 für jede gleiche Säule vorkommen.

Schritte

Jede Wiederholung schafft ein neues Ergebnis, und wird in vier Schritten entsprechend vier ganzen Umdrehungen des Griffs vollbracht, der am weiten Recht im Bild unten gezeigt ist. Die vier Schritte sind:

• Schritt 1. Alle gleichen numerierten Säulen (2,4,6 werden 8) zu allen sonderbaren numerierten Säulen (1,3,5,7) gleichzeitig hinzugefügt. Ein Innenkehren-Arm dreht jede gleiche Säule, um zu verursachen, was auch immer Zahl auf jedem Rad ist, um zur Null hinzuzählen. Da sich ein Rad Null zuwendet, überträgt es seinen Wert einem zwischen den sonderbaren/gleichen Säulen gelegenen Sektor-Zahnrad. Diese Werte werden der sonderbaren Säule übertragen, die sie veranlasst zusammenzuzählen. Jeder sonderbare Säulenwert, der von "9" bis "0" geht, aktiviert einen tragen Hebel.
• Schritt 2. Tragen Sie Fortpflanzung wird durch eine Reihe spiralförmiger Arme im Rücken vollbracht, die die tragen Hebel auf eine spiralenförmige Weise befragen, so dass ein Tragen an jedem Niveau das Rad oben durch eines erhöhen kann. Das kann ein Tragen schaffen, das ist, warum sich die Arme in einer Spirale bewegen. Zur gleichen Zeit werden die Sektor-Getriebe in ihre ursprüngliche Position zurückgegeben, die sie veranlasst, die gleichen Säulenräder zurück zu ihren ursprünglichen Werten zu erhöhen. Die Sektor-Getriebe sind auf einer Seite doppelt-hoch, so können sie gehoben werden, um von den sonderbaren Säulenrädern loszukommen, während sie noch im Kontakt mit den gleichen Säulenrädern bleiben.
• Schritt 3. Das ist Schritt 1 ähnlich, außer ihm ist sonderbare Säulen (3,5,7) hinzugefügt zu sogar Säulen (2,4,6), und Säule man ließ seine Werte durch einen Sektor übertragen, stellt auf den Druckmechanismus auf dem linken Ende des Motors ein. Jeder gleiche Säulenwert, der von "9" bis "0" geht, aktiviert einen tragen Hebel. Der Wert der Spalte 1, das Ergebnis für das Polynom, wird an den beigefügten Drucker-Mechanismus gesandt.
• Schritt 4. Das ist Schritt 2 ähnlich, aber für das Tun setzt sogar Säulen und das Zurückbringen sonderbarer Säulen zu ihren ursprünglichen Werten fort.

Subtraktion

Der Motor vertritt negative Zahlen als die Ergänzungen von ten. Subtraktion beläuft sich auf die Hinzufügung einer negativen Zahl. Das arbeitet auf genau dieselbe Weise, dass moderne Computer Subtraktion durchführen, die als die Ergänzung von two bekannt ist.

Methode von Unterschieden

Der Grundsatz eines Unterschied-Motors ist die Methode von Newton von geteilten Unterschieden. Wenn der Anfangswert eines Polynoms (und seiner begrenzten Unterschiede) durch einige Mittel für einen Wert von X berechnet wird, kann der Unterschied-Motor jede Zahl von nahe gelegenen Werten mit der als die Methode von begrenzten Unterschieden allgemein bekannten Methode berechnen. Es kann mit einem kleinen Beispiel illustriert werden. Denken Sie das quadratische Polynom

und nehmen Sie an, dass wir die Werte p (0), p (1), p (2), p (3), p (4) usw. tabellarisieren wollen. Der Tisch wird unten wie folgt gebaut: Die zweite Säule enthält die Werte des Polynoms, die dritte Säule enthält die Unterschiede der zwei linken Nachbarn in der zweiten Säule, und die vierte Säule enthält die Unterschiede der zwei Nachbarn in der dritten Säule:

Bemerken Sie, wie die Zahlen in der dritten Wertsäule unveränderlich sind. Das ist kein bloßer Zufall. Tatsächlich, wenn Sie mit einem Polynom des Grads n anfangen, wird die Spalte Nummer n + 1 immer unveränderlich sein. Diese entscheidende Tatsache lässt die Methode arbeiten, wie wir als nächstes sehen werden.

Wir haben diesen Tisch vom links nach rechts gebaut, aber jetzt können wir ihn vom Recht nach links unten eine Diagonale fortsetzen, um mehr Werte unseres Polynoms zu schätzen.

Um p (5) zu berechnen, verwenden wir die Werte von der niedrigsten Diagonale. Wir fangen mit der vierten Säule unveränderlichen Wert von 4 an und kopieren es unten die Säule. Dann setzen wir die dritte Säule fort, indem wir 4 bis 11 beitragen, um 15 zu kommen. Als nächstes setzen wir die zweite Säule fort, indem wir seinen vorherigen Wert, 22 nehmen und die 15 aus der dritten Säule hinzufügen. So p (5) ist 22+15 = 37. Um p (6) zu schätzen, wiederholen wir denselben Algorithmus auf dem p (5) Werte: Nehmen Sie 4 aus der vierten Säule, fügen Sie hinzu, dass zum Wert der dritten Säule 15, um 19 zu kommen, dann hinzufügen Sie, dass zum Wert der zweiten Säule 37, um 56 zu kommen, der p (6) ist.

Dieser Prozess kann ad infinitum fortgesetzt werden. Die Werte des Polynoms werden erzeugt, ohne jemals multiplizieren zu müssen. Ein Unterschied-Motor muss nur im Stande sein beizutragen. Von einer Schleife bis das folgende muss es 2 Zahlen in unserem Fall (die letzten Elemente in den ersten und zweiten Säulen) versorgen; wenn wir Polynome des Grads n tabellarisieren wollten, würden wir genug Lagerung brauchen, um n Zahlen zu halten.

Der Unterschied-Motor von Babbage Nr. 2, schließlich gebaut 1991, konnte 8 Zahlen von 31 dezimalen Ziffern jeden halten und konnte so 7. Grad-Polynome zu dieser Präzision tabellarisieren. Die besten Maschinen von Scheutz sind im Stande gewesen, 4 Zahlen mit 15 Ziffern jeder zu versorgen.

Anfangswerte

Die Anfangswerte von Säulen können durch den ersten manuell das Rechnen N Konsekutivwerte der Funktion und durch das Zurückverfolgen, d. h. das Rechnen der erforderlichen Unterschiede berechnet werden.

Oberst bekommt den Wert der Funktion am Anfang der Berechnung. Oberst ist der Unterschied zwischen und...

Wenn die Funktion, berechnet zu werden, eine polynomische Funktion, ausgedrückt als ist

:

die Anfangswerte können direkt von den unveränderlichen Koeffizienten a, a, a..., berechnet werden, ohne irgendwelche Datenpunkte zu berechnen. Die Anfangswerte sind so:

• Oberst = ein
• Oberst = + + + +... + ein
• Oberst = 2a + 6a + 14a + 30a +...
• Oberst = 6a + 36a + 150a +...
• Oberst = 24a + 240a +...
• Oberst = 120a +...

Gebrauch von Ableitungen

Viele allgemein verwendete Funktionen sind analytische Funktionen, die als Macht-Reihe zum Beispiel als eine Reihe von Taylor ausgedrückt werden können. Die Anfangswerte können zu jedem Grad der Genauigkeit berechnet werden; wenn getan, richtig wird der Motor genaue Ergebnisse für die ersten N-Schritte geben. Danach wird der Motor nur eine Annäherung der Funktion geben.

Die Reihe von Taylor drückt die Funktion als eine Summe aus, die bei seinen Ableitungen einmal erhalten ist. Für viele Funktionen sind die höheren Ableitungen trivial, um vorzuherrschen; zum Beispiel hat die Sinusfunktion an 0 Werte von 0 oder für alle Ableitungen. Wenn wir 0 als der Anfang der Berechnung untergehen, bekommen wir die vereinfachte Reihe von Maclaurin

:

\sum_ {n=0} ^ {\\infin} \frac {f^ {(n)} (0)} {n! }\\x^ {n }\

</Mathematik>

Dieselbe Methode, die Anfangswerte von den Koeffizienten zu berechnen, kann bezüglich polynomischer Funktionen verwendet werden. Die polynomischen unveränderlichen Koeffizienten werden jetzt den Wert haben

:

a_n \equiv \frac {f^ {(n)} (0)} {n! }\

</Mathematik>

Kurve-Anprobe

Das Problem mit den Methoden, die oben beschrieben sind, besteht darin, dass Fehler anwachsen werden und die Reihe dazu neigen wird, von der wahren Funktion abzuweichen. Eine Lösung, die einen unveränderlichen maximalen Fehler versichert, ist, Kurve-Anprobe zu verwenden. Ein Minimum von N-Werten wird gleichmäßig unter Drogeneinfluss entlang der Reihe der gewünschten Berechnungen berechnet. Mit einer Kurve-Anprobe-Technik wie die Verminderung von Gaussian wird eine N-1th Grad-Polynom-Interpolation der Funktion gefunden. Mit dem optimierten Polynom können die Anfangswerte als oben berechnet werden.

Siehe auch

• Analytischer Motor
• Mechanismus von Antikythera
• Charles Babbage
• Allan Bromley
• Ada Lovelace
• J. H. Müller
• Feuerrad-Rechenmaschine
• Pro Georg Scheutz
• Martin Wiberg

Weiterführende Literatur

Links

• Die Computergeschichtsmuseum-Ausstellung auf Babbage und dem Unterschied-Motor
• Babbage Wissenschaftsmuseum, London. Die Beschreibung der Rechenmaschine von Babbage springt vor und die Wissenschaftsmuseum-Studie der Arbeiten von Babbage einschließlich moderner Rekonstruktions- und Modellbau-Projekte.
• Stabilbaukasten-Unterschied-Motor

#1

• Stabilbaukasten-Unterschied-Motor

#2

• Unterschied-Motor in Lego
• Unterschied-Motortätigkeit mit Zeichentrickfilmen
• Unterschied-Motor No1 Muster-Stück am Maschinenhaus-Museum, Sydney