In der Mathematik ist eine Macht-Reihe (in einer Variable) eine unendliche Reihe der Form

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wo ein Vertreten des Koeffizienten des n-ten Begriffes, c eine Konstante ist, und sich x um c ändert (aus diesem Grund, spricht man manchmal von der Reihe, die als an c in den Mittelpunkt wird stellt). Diese Reihe entsteht gewöhnlich als die Reihe von Taylor von etwas bekannter Funktion; der Reihe-Artikel von Taylor enthält viele Beispiele.

In vielen Situationen ist c der Null zum Beispiel gleich, wenn er eine Reihe von Maclaurin denkt. In solchen Fällen nimmt die Macht-Reihe die einfachere Form an

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f (x) = \sum_ {n=0} ^\\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

</Mathematik>

Diese Macht-Reihen entstehen in erster Linie in der Analyse, sondern auch kommen in combinatorics (unter dem Namen vor, Funktionen zu erzeugen), und in der Elektrotechnik (unter dem Namen des Z-transform). Die vertraute dezimale Notation für reelle Zahlen kann auch als ein Beispiel einer Macht-Reihe, mit Koeffizienten der ganzen Zahl, aber mit dem Argument x befestigt daran angesehen werden. In der Zahlentheorie ist das Konzept von p-adic Zahlen auch nah mit dieser einer Macht-Reihe verbunden.

Beispiele

Jedes Polynom kann als eine Macht-Reihe um jedes Zentrum c, obgleich ein mit den meisten der Null gleichen Koeffizienten leicht ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann das Polynom als eine Macht-Reihe um das Zentrum als geschrieben werden

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oder um das Zentrum als

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oder tatsächlich um jedes andere Zentrum c. Man kann Macht-Reihe ansehen als, "Polynomen des unendlichen Grads ähnlich zu sein," obwohl Macht-Reihen nicht Polynome sind.

Die geometrische Reihe-Formel

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der dafür gültig

ist

Formel

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und die Sinus-Formel

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gültig für den ganzen echten x.

Diese Macht-Reihen sind auch Beispiele der Reihe von Taylor.

Negative Mächte werden in einer Macht-Reihe, zum Beispiel nicht erlaubt

wird als keine Macht-Reihe betrachtet (obwohl es eine Reihe von Laurent ist). Ähnlich Bruchmächte, die nicht erlaubt werden (aber sieh Reihe von Puiseux). Den Koeffizienten wird nicht erlaubt, so zum Beispiel abzuhängen:

: ist nicht eine Macht-Reihe.

Radius der Konvergenz

Eine Macht-Reihe wird für einige Werte der Variable x zusammenlaufen und kann für andere abweichen. Die ganze Macht-Reihe f (x) in Mächten von (x-c) wird an x = c zusammenlaufen. (Der richtige Wert f (c) = verlangt Interpretation des Ausdrucks 0 als gleich 1.), Wenn c nicht der einzige konvergente Punkt ist, dann gibt es immer eine Nummer r mit 0

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oder, gleichwertig,

(das ist der Cauchy-Hadamard Lehrsatz; sieh Grenze höher und beschränken Sie untergeordnet für eine Erklärung der Notation). Eine schnelle Weise, es zu schätzen, ist

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wenn diese Grenze besteht.

Die Reihe läuft absolut für |x  c zusammen

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dann

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Multiplikation und Abteilung

Mit denselben Definitionen oben, für die Macht-Reihe des Produktes und den Quotienten der Funktionen kann wie folgt erhalten werden:

:::

Die Folge ist als die Gehirnwindung der Folgen bekannt und.

Für die Abteilung, beobachten Sie:

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und dann verwenden Sie die obengenannten, sich vergleichenden Koeffizienten.

Unterscheidung und Integration

Sobald eine Funktion als eine Macht-Reihe gegeben wird, ist es differentiable auf dem Interieur des Gebiets der Konvergenz. Es kann unterschieden und ganz leicht, durch das Behandeln jedes Begriffes getrennt integriert werden:

::

f^\\erst (x) = \sum_ {n=1} ^\\infty a_n n \left (x-c \right) ^ {n-1} = \sum_ {n=0} ^\\infty a_ {n+1} \left (n+1 \right) \left (x-c \right) ^ {n }\

</Mathematik>::

\int f (x) \, dx = \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {a_n \left (x-c \right) ^ {n+1}} {n+1} + k = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {a_ {n-1} \left (x-c \right) ^ {n}} {n} + k.

</Mathematik>

Beide dieser Reihen haben denselben Radius der Konvergenz wie die ursprüngliche.

Analytische Funktionen

Eine Funktion f definiert auf einer offenen Teilmenge U R oder C wird analytisch genannt, wenn es durch eine konvergente Macht-Reihe lokal gegeben wird. Das bedeutet, dass jeder ein  U eine offene Nachbarschaft V  U, solch hat, dass dort eine Macht-Reihe mit dem Zentrum besteht, der zu f (x) für jeden x  V. zusammenläuft

Jede Macht-Reihe mit einem positiven Radius der Konvergenz ist auf dem Interieur seines Gebiets der Konvergenz analytisch. Alle Holomorphic-Funktionen sind kompliziert-analytisch. Summen und Produkte von analytischen Funktionen sind analytisch, wie Quotienten sind, so lange der Nenner Nichtnull ist.

Wenn eine Funktion analytisch ist, dann ist es ungeheuer häufig differentiable, aber im echten Fall ist das gegenteilige nicht allgemein wahr. Für eine analytische Funktion, die Koeffizienten eine Dose, als geschätzt werden

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a_n = \frac {f^ {\\hat (n \right) }\\link (c \right)} {n verlassen! }\

</Mathematik>

wo die n-te Ableitung von f an c anzeigt, und. Das bedeutet, dass jede analytische Funktion durch seine Reihe von Taylor lokal vertreten wird.

Die globale Form einer analytischen Funktion wird durch sein lokales Verhalten im folgenden Sinn völlig bestimmt: Wenn f und g zwei analytische Funktionen sind, die auf demselben verbundenen offenen Satz U definiert sind, und wenn dort ein Element cU solch dass f (c) = g (c) für den ganzen n  0, dann f (x) = g (x) für den ganzen x  U besteht.

Wenn eine Macht-Reihe mit dem Radius der Konvergenz r gegeben wird, kann man analytische Verlängerungen der Reihe, d. h. analytische Funktionen f denken, die auf größeren Sätzen definiert werden als {x: |x  c

f (x_1, \dots, x_n) = \sum_ {j_1, \dots, j_n = 0} ^ {\\infty} a_ {j_1, \dots, j_n} \prod_ {k=1} ^n \left (x_k - c_k \right) ^ {j_k},

</Mathematik>

wo j = (j..., j) ein Vektor von natürlichen Zahlen, die Koeffizienten ist

von gewöhnlich reellen Zahlen oder komplexen Zahlen und dem Zentrum c = (c..., c) und Argument x = (x..., x) zu sein, ist gewöhnlich echte oder komplizierte Vektoren. In der günstigeren Mehrindex-Notation kann das geschrieben werden

::

f (x) = \sum_ {\\Alpha \in \mathbb {N} ^n} a_ {\\Alpha} \left (x - c \right) ^ {\\Alpha}.

</Mathematik>

Die Theorie solcher Reihe ist heikler als für die einzeln-variable Reihe mit mehr komplizierten Gebieten der Konvergenz. Zum Beispiel ist die Macht-Reihe im Satz absolut konvergent

Ordnung einer Macht-Reihe

Lassen Sie α ein Mehrindex für eine Macht-Reihe f (x, x, …, x) sein. Die Ordnung der Macht-Reihe f wird definiert, um kleinster Wert | α | solch dass ein  0, oder 0 wenn f  0 zu sein. Insbesondere für eine Macht-Reihe f (x) in einer einzelnen Variable x ist die Ordnung von f die kleinste Macht von x mit einem Nichtnullkoeffizienten. Diese Definition streckt sich sogleich bis zu die Reihe von Laurent aus.

Siehe auch

• Geradlinige Annäherung
• Zufällige Variable
• Flache Funktion

Außenverbindungen

• Kompliziertes Macht-Reihe-Modul durch John H. Mathews
• Mächte von komplexen Zahlen durch Michael Schreiber, Wolfram-Demonstrationsprojekt.