Im mathematischen Feld der Topologie ist ein G-Satz eine Teilmenge eines topologischen Raums, der eine zählbare Kreuzung von offenen Sätzen ist. Die Notation ist in Deutschland mit G dafür entstanden (Deutsch: Gebiet oder Nachbarschaft) Bedeutung offenen Satzes in diesem Fall und δ für (Deutsch: Kreuzung).

Der Begriff innerer Begrenzungssatz wird auch gebraucht. G Sätze und ihre DoppelF-Sätze, sind das zweite Niveau der Hierarchie von Borel.

Definition

In einem topologischen Raum ist ein G-Satz eine zählbare Kreuzung von offenen Sätzen. Die G-Sätze sind genau die Niveau-Sätze der Hierarchie von Borel.

Beispiele

• Jeder offene Satz ist trivial ein G Satz
• Die irrationalen Zahlen sind ein G-Satz in R, den reellen Zahlen, weil sie als die Kreuzung über alle rationalen Zahlen q von der Ergänzung von {q} in R geschrieben werden können. Bemerken Sie, dass der Satz von rationalen Zahlen nicht ein G-Satz in R ist.
• Die rationalen Zahlen Q sind nicht ein G-Satz. Wenn wir im Stande wären, Q als die Kreuzung von offenen Sätzen A zu schreiben, würde jeder A in R dicht sein müssen, da Q in R dicht ist. Jedoch hat der Aufbau oben die irrationalen Zahlen als eine zählbare Kreuzung von offenen dichten Teilmengen gegeben. Die Einnahme der Kreuzung von beiden dieser Sätze gibt den leeren Satz als eine zählbare Kreuzung von offenen dichten Sätzen in R, einer Übertretung des Kategorie-Lehrsatzes von Baire.
• Der Nullsatz einer Ableitung überall differentiable reellwertige Funktion auf R ist ein G-Satz; es kann ein dichter Satz mit dem leeren Interieur, wie gezeigt, durch den Aufbau von Pompeiu sein.

Ein mehr wohl durchdachtes Beispiel eines G-Satzes wird durch den folgenden Lehrsatz angeführt:

Lehrsatz: Der Satz ist darin dicht und enthält eine G Teilmenge des metrischen Raums

Eigenschaften

Der Begriff von G setzt metrisch ein (und topologisch) Räume sind stark mit dem Begriff der Vollständigkeit des metrischen Raums sowie zum Kategorie-Lehrsatz von Baire verbunden. Das wird durch den Lehrsatz von Mazurkiewicz beschrieben:

Lehrsatz (Mazurkiewicz): Lassen Sie, ein ganzer metrischer Raum zu sein, und. Dann ist der folgende gleichwertig:

1. ist eine G Teilmenge von
2. Es gibt einen metrischen, auf dem zum solchem gleichwertig ist, der ein ganzer metrischer Raum ist.

Ein Schlüsseleigentum von Sätzen besteht darin, dass sie die möglichen Sätze sind, an denen eine Funktion von einem topologischen Raum bis einen metrischen Raum dauernd ist. Formell: Der Satz von Punkten, wo eine Funktion dauernd ist, ist ein Satz. Das ist, weil die Kontinuität an einem Punkt durch eine Formel nämlich definiert werden kann: Für alle positiven ganzen Zahlen gibt es einen offenen Satz, der solch dass enthält

Grundlegende Eigenschaften

• Die Ergänzung eines G-Satzes ist ein F-Satz.
• Die Kreuzung von zählbar vielen G geht unter ist ein G-Satz, und die Vereinigung von begrenzt vielen G geht unter ist ein G-Satz; eine zählbare Vereinigung von G-Sätzen wird einen G-Satz genannt.
• In metrizable Räumen ist jeder geschlossene Satz ein G-Satz und Doppel-, jeder offene Satz ist ein F-Satz.
• Ein Subraum eines topologisch ganzen Raums X ist selbst topologisch abgeschlossen, wenn, und nur wenn A ein G-Satz in X ist.
• Ein Satz, der die Kreuzung einer zählbaren Sammlung von dichten offenen Sätzen enthält, wird comeagre oder restlich genannt. Diese Sätze werden verwendet, um allgemeine Eigenschaften von topologischen Räumen von Funktionen zu definieren.

Die folgenden Ergebnisse betrachten polnische Räume:

• Lassen Sie, ein polnischer topologischer Raum zu sein und zu lassen, ein G-Satz (in Bezug darauf) zu sein. Eines polnischen Raums in Bezug auf die Subraumtopologie darauf zu sein.
• Topologische Charakterisierung von polnischen Räumen: Wenn ein polnischer Raum dann ist, ist es homeomorphic zu einer G Teilmenge eines metrischen Kompaktraums.

G Raum

Ein G Raum ist ein topologischer Raum, in dem jeder geschlossene Satz ein G-Satz (Johnson, 1970) ist. Ein normaler Raum, der auch ein G Raum ist, ist vollkommen normal. Jeder metrizable Raum ist vollkommen normal, und jeder vollkommen normale Raum ist völlig normal: Keine Implikation ist umkehrbar.

Siehe auch

• F Satz, das Doppelkonzept; bemerken Sie, dass "G" deutsch ist und "F" französisch ist.
• John L. Kelley, Allgemeine Topologie, van Nostrand, 1955. P.134.

• P. 162.

• P. 334.
• Roy A. Johnson (1970). "Ein Non-Metrizable Solcher Kompaktraum, Dass Jede Geschlossene Teilmenge ein G-Delta ist". Der Amerikaner Mathematisch Monatlich, Vol. 77, Nr. 2, Seiten 172-176. auf JStor

Referenzen