In der Optik, dem Grundsatz von Fermat oder dem Grundsatz von kleinster Zeit ist der Grundsatz, dass der Pfad, der zwischen zwei Punkten von einem Strahl des Lichtes genommen ist, der Pfad ist, der in kleinster Zeit überquert werden kann. Dieser Grundsatz wird manchmal als die Definition eines Strahls des Lichtes genommen. Jedoch ist diese Version des Grundsatzes nicht allgemein; eine modernere Behauptung des Grundsatzes ist, dass Strahlen des Lichtes den Pfad der stationären optischen Länge überqueren.

Der Grundsatz von Fermat kann verwendet werden, um die Eigenschaften von leichten Strahlen zu beschreiben, die von Spiegeln widerspiegelt sind, die durch verschiedene Medien oder das Erleben inneren Gesamtnachdenkens gebrochen sind. Es folgt mathematisch vom Grundsatz von Huygens (an der Grenze der kleinen Wellenlänge) und kann verwendet werden, um das Gesetz von Snell der Brechung und das Gesetz des Nachdenkens abzuleiten.

Der Grundsatz von Fermat hat dieselbe Form wie der Grundsatz von Hamilton, und es ist die Basis der Optik von Hamiltonian.

Moderne Version

Die Zeit T ein Punkt der elektromagnetischen Welle muss einen Pfad zwischen den Punkten A bedecken, und durch B wird gegeben:

c ist die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum, ds eine unendlich kleine Versetzung entlang dem Strahl, v = ds/dt die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Medium und n = c/v der Brechungsindex dieses Mediums. Die optische Pfad-Länge eines Strahls von einem Punkt zu einem Punkt B wird definiert durch:

und es ist mit der Fahrzeit durch S = cT verbunden. Die optische Pfad-Länge ist eine rein geometrische Menge, da Zeit in seiner Berechnung nicht betrachtet wird. Ein extremum in der leichten Fahrzeit zwischen zwei Punkten zu einem Punkt B ist zu einem extremum der optischen Pfad-Länge zwischen jenen zwei Punkten gleichwertig. Die historische vom französischen Mathematiker Pierre de Fermat vorgeschlagene Form ist unvollständig. Eine ganze moderne Behauptung des abweichenden Grundsatzes von Fermat ist, dass Im Zusammenhang der Rechnung von Schwankungen das als geschrieben werden kann

Im Allgemeinen ist der Brechungsindex ein Skalarfeld der Position im Raum, d. h. im euklidischen 3D-Raum. Annehmend, jetzt wo Licht entlang der x Achse reist, kann der Pfad eines leichten Strahls als und parametrisiert werden

wo. Der Grundsatz von Fermat kann jetzt als geschrieben werden

der dieselbe Form wie der Grundsatz von Hamilton hat, aber in dem x die Rolle der Zeit mit der klassischen Mechanik nimmt. Funktion ist optischer Lagrangian, von dem Lagrangian und Hamiltonian (als in der Mechanik von Hamiltonian) Formulierungen der geometrischen Optik abgeleitet werden können.

Abstammung

Klassisch kann der Grundsatz von Fermat als eine mathematische Folge des Grundsatzes von Huygens betrachtet werden. Tatsächlich aller sekundären Wellen (entlang allen möglichen Pfaden) die Wellen mit dem extrema tragen (stationäre) Pfade am meisten wegen der konstruktiven Einmischung bei. Angenommen, dass sich leichte Wellen von bis B durch alle möglichen Wege AB, uneingeschränkt am Anfang durch Regeln der geometrischen oder physischen Optik fortpflanzen. Der verschiedene optische Pfad-AB wird sich durch Beträge außerordentlich über eine Wellenlänge ändern, und so werden die Wellen, B erreichend, eine große Reihe von Phasen haben und werden dazu neigen, sich zerstörend einzumischen. Aber wenn es einen kürzesten Weg AB gibt, und sich der optische Pfad glatt dadurch ändert, dann wird eine beträchtliche Zahl von benachbarten Wegen in der Nähe von AB optische Pfade haben, die sich von AB durch Beträge der zweiten Ordnung nur unterscheiden, und wird sich deshalb konstruktiv einmischen. Wellen vorwärts und in der Nähe von diesem kürzesten Weg werden so vorherrschen, und AB wird der Weg sein, entlang dem, wie man sieht, das Licht reist.

Der Grundsatz von Fermat ist der Hauptgrundsatz der Quant-Elektrodynamik, wo es feststellt, dass sich jede Partikel (z.B ein Foton oder ein Elektron) über alle verfügbaren (unversperrten) Pfade fortpflanzt und die Einmischung (Summe oder Überlagerung) seines wavefunction über alle jene Pfade (am Punkt des Beobachters oder Entdeckers) die richtige Wahrscheinlichkeit der Entdeckung dieser Partikel (an diesem Punkt) gibt. So der extremal (am kürzesten, am längsten oder stationär) Pfade tragen in diese Einmischung am meisten bei, weil sie nicht völlig annulliert werden können.

In der klassischen Mechanik von Wellen folgt der Grundsatz von Fermat aus dem extremum Grundsatz der Mechanik (sieh abweichenden Grundsatz).

Geschichte

Held Alexandrias (Reiher) (c. 60) hat einen Grundsatz des Nachdenkens beschrieben, das festgestellt hat, dass ein Strahl des Lichtes, das vom Punkt geht, um B anzuspitzen, jede Zahl des Nachdenkens über flache Spiegel in demselben Medium ertragend, eine kleinere Pfad-Länge hat als jeder nahe gelegene Pfad.

Ibn al-Haytham (Alhacen), in seinem Buch der Optik (1021), hat den Grundsatz sowohl zum Nachdenken als auch zur Brechung ausgebreitet, und hat eine frühe Version des Grundsatzes von kleinster Zeit ausgedrückt. Seine Experimente haben auf früheren Arbeiten an der Brechung basiert, die vom griechischen Wissenschaftler Ptolemy ausgeführt ist

Der verallgemeinerte Grundsatz von kleinster Zeit mit seiner modernen Form wurde von Fermat in einem Brief datiert am 1. Januar 1662 zu Cureau de la Chambre festgesetzt. Es wurde mit Einwänden gemacht im Mai 1662 von Claude Clerselier, einem Experten in der Optik und dem Hauptsprecher für die Kartesianer damals entsprochen. Unter seinen Einwänden setzt Clerselier fest:

... Der Grundsatz von Fermat kann nicht die Ursache sein, für sonst würden uns Kenntnisse der Natur zuschreiben: Und hier, durch die Natur, verstehen wir nur, dass Ordnung und Gesetzlichkeit in der Welt wie es ist, der ohne Vorkenntnisse, ohne Wahl, aber durch einen notwendigen Entschluss handelt.

Der ursprüngliche französische, von Mahoney, ist wie folgt:

Le principe que vous prenez pour fondement de votre démonstration, à savoir que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples, n'est qu'un principe Moral und nicht Punkt-Körperbau, qui n'est spitzen et qui ne peut être la cause d'aucun effet de la nature an.

Tatsächlich hält der Grundsatz von Fermat Stehen allein nicht, wir wissen jetzt, dass es aus früheren Grundsätzen wie der Grundsatz von Huygens abgeleitet werden kann.

Historisch hat der Grundsatz von Fermat als eine Richtlinie in der Formulierung von physischen Gesetzen mit dem Gebrauch der abweichenden Rechnung gedient (sieh Grundsatz von kleinster Handlung).

Siehe auch

• Adequality
• Pierre de Fermat
• Der Grundsatz von Hamilton
• Grundsatz von kleinster Handlung
• Pfad integrierte Formulierung
• Der Grundsatz von Huygens

Referenzen