In der Mathematik, homotopy Gruppen werden in der algebraischen Topologie verwendet, um topologische Räume zu klassifizieren. Die erste und einfachste homotopy Gruppe ist die grundsätzliche Gruppe, die Information über Schleifen in einem Raum registriert. Intuitiv, homotopy Gruppen registrieren Information über die grundlegende Gestalt oder Löcher eines topologischen Raums.

Um die n-te homotopy Gruppe zu definieren, werden die Grundpunkt-Bewahrungskarten von einem n-dimensional Bereich (mit dem Grundpunkt) in einen gegebenen Raum (mit dem Grundpunkt) in Gleichwertigkeitsklassen, genannt homotopy Klassen gesammelt. Zwei mappings sind homotopic, wenn man unaufhörlich in den anderen deformiert werden kann. Diese homotopy Klassen bilden eine Gruppe, genannt die n-te homotopy Gruppe, π (X), des gegebenen Raums X mit dem Grundpunkt. Topologische Räume mit dem Unterscheiden homotopy Gruppen sind (homeomorphic) nie gleichwertig, aber das gegenteilige ist nicht wahr.

Der Begriff von homotopy von Pfaden wurde von Camille Jordan eingeführt.

Einführung

In der modernen Mathematik ist es üblich, eine Kategorie durch das Verbinden zu jedem Gegenstand dieser Kategorie eines einfacheren Gegenstands zu studieren, der noch einen genügend Betrag der Information über den fraglichen Gegenstand behält. Gruppen von Homotopy sind eine bestimmte Weise, Gruppen zu topologischen Räumen zu vereinigen. Eine Gruppe ist ein Satz, der erlaubt, Elemente in einem passenden Sinn beizutragen. Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen Z eine Gruppe. Ein anderes Beispiel ist die begrenzten Gruppen Z/sZ.

Die zur Verfügung gestellte Verbindung zwischen der Topologie und den Gruppen erlaubt der Anwendung der Gruppentheorie, Einblicke in der Topologie zu bekommen. Zum Beispiel, wenn zwei topologische Gegenstände verschiedene homotopy Gruppen haben, können sie nicht dieselbe topologische Struktur, eine Tatsache haben, die schwierig sein kann sich zu erweisen, ohne nichttopologische Mittel aufzusuchen. Zum Beispiel scheint der Ring, vom Bereich, der erstere sichtbar verschieden zu sein, ein "Loch", das letzte habend, das nicht ein hat. Jedoch, weil sich Kontinuität, der grundlegende Begriff der Topologie, nur mit der lokalen Struktur befasst, kann es schwierig sein, unten diese Intuition formell zu befestigen. Die homotopy Gruppen tragen jedoch Information über die globale Struktur.

Bezüglich des Beispiels: Man kann zeigen, dass die erste homotopy Gruppe des Rings T ist

:π (T) =Z,

weil der universale Deckel des Rings das komplizierte Flugzeug C ist, zum Ring T  C / Z kartografisch darstellend. Andererseits befriedigt der Bereich S

:π (S) =0,

weil jede Schleife zu einer unveränderlichen Karte zusammengezogen werden kann (sieh homotopy Gruppen von Bereichen dafür und mehr komplizierte Beispiele von homotopy Gruppen).

Folglich ist der Ring nicht homeomorphic zum Bereich.

Definition

Im N-Bereich S wählen wir einen Grundpunkt a. Für einen Raum X mit dem Grundpunkt b definieren wir π (X), um der Satz von homotopy Klassen von Karten zu sein

:f: S → X

diese Karte die Basis weist zum Grundpunkt b hin. Insbesondere die Gleichwertigkeitsklassen werden durch homotopies gegeben, die auf dem basepoint des Bereichs unveränderlich sind. Gleichwertig können wir π (X) definieren, um die Gruppe von homotopy Klassen von Karten g zu sein: [0,1]  X vom N-Würfel bis X, die die Grenze des N-Würfels zu b nehmen.

Für n  1 bilden die homotopy Klassen eine Gruppe. Um die Gruppenoperation zu definieren, rufen Sie zurück, dass in der grundsätzlichen Gruppe, das Produkt f * g zwei Schleifen f und g durch das Setzen (f * g) (t) = f (2t) definiert wird, wenn t in [0,1/2] und (f * g) (t) = g ist (2t − 1) wenn t in [1/2,1] ist. Die Idee von der Zusammensetzung in der grundsätzlichen Gruppe ist die von folgenden der erste Pfad und das zweite in der Folge, oder gleichwertig ihre zwei Gebiete zusammen setzend. Das Konzept der Zusammensetzung, die wir für die n-te homotopy Gruppe wollen, ist dasselbe, außer dass jetzt die Gebiete, die wir zusammenkleben, Würfel sind, und wir sie entlang einem Gesicht kleben müssen. Wir definieren deshalb die Summe von Karten f, g: [0,1]  X durch die Formel (f + g) (t, t... t) = f (2t, t... t) für t in [0,1/2] und (f + g) (t, t... t) = g (2t − 1, t... t) für t in [1/2,1]. Für die entsprechende Definition in Bezug auf Bereiche, definieren Sie die Summe f + g Karten f, g: S  X, um mit h zusammengesetzt zu werden, wo die Karte von S bis die Keil-Summe von zwei N-Bereichen ist, die zusammenbricht, sind der Äquator und h die Karte von der Keil-Summe von zwei N-Bereichen zu X, der definiert wird, um f auf dem ersten Bereich und g auf dem zweiten zu sein.

Wenn n  2, dann ist π abelian. (Für einen Beweis davon, bemerken Sie, dass in zwei Dimensionen oder größer zwei homotopies um einander "rotieren gelassen" werden können. Sieh Argument von Eckmann-Hilton)

Es ist verführerisch zu versuchen, die Definition von homotopy Gruppen durch das Auslassen der Grundpunkte zu vereinfachen, aber das arbeitet für Räume nicht gewöhnlich, die sogar für verbundene Räume des Pfads nicht einfach verbunden werden. Der Satz von homotopy Klassen von Karten von einem Bereich zu einem Pfad hat in Verbindung gestanden Raum ist nicht die homotopy Gruppe, aber ist im Wesentlichen der Satz von Bahnen der grundsätzlichen Gruppe auf der homotopy Gruppe, und hat im Allgemeinen keine natürliche Gruppenstruktur.

Ein Ausweg aus diesen Schwierigkeiten ist durch das Definieren höher homotopy groupoids von gefilterten Räumen und von N-Würfeln von Räumen gefunden worden. Diese sind mit homotopy Verhältnisgruppen und mit n-adic homotopy Gruppen beziehungsweise verbunden. Ein höherer homotopy Lehrsatz von van Kampen ermöglicht dann, etwas neue Information über homotopy Gruppen und sogar über homotopy Typen abzuleiten. Für mehr Hintergrund und Verweisungen, sieh "Höher dimensionale Gruppentheorie" und die Verweisungen unten.

Lange genaue Folge eines fibration

Lässt p: E  B, eine Basepoint-Bewahrung Serre fibration mit der Faser F, d. h. eine Karte sein, die den homotopy das Heben des Eigentums in Bezug auf CW Komplexe besitzt. Nehmen Sie an, dass B Pfad-verbunden ist. Dann gibt es eine lange genaue Folge von homotopy Gruppen

:... → π (F) → π (E) → π (B) → π (F) →... → π (E) → 0.

Hier sind die Karten, die π einschließen, nicht Gruppenhomomorphismus, weil die π nicht Gruppen sind, aber sie sind im Sinn genau, dass das Image dem Kern gleichkommt.

Beispiel: Hopf fibration. Lassen Sie B gleichen S und E gleichen S. Lassen Sie p Hopf fibration sein, der Faser S hat. Von der langen genauen Folge

:  → π (S) → π (S) → π (S) → π (S) → 

und die Tatsache dass π (S) = 0 für n  2, wir finden dass π (S) = π (S) für n  3. Insbesondere π (S) = π (S) = Z.

Im Fall von einem Deckel-Raum, wenn die Faser getrennt ist, haben wir das π (E) ist zu π (B) für alle n größer isomorph als 1, das π (E) bettet injectively in π (B) für den ganzen positiven n ein, und dass die Untergruppe von π (B), der dem Einbetten von π (E) entspricht, cosets in der Bijektion mit den Elementen der Faser hat.

Methoden der Berechnung

Die Berechnung von homotopy Gruppen ist im Allgemeinen viel schwieriger als einige der anderen homotopy invariants erfahren in der algebraischen Topologie. Verschieden vom Seifert-van Kampen Lehrsatz für die grundsätzliche Gruppe und dem Ausschneidungslehrsatz für die einzigartige Homologie und cohomology gibt es keine einfache Weise, die homotopy Gruppen eines Raums dadurch zu berechnen, es in kleinere Räume zu zerbrechen. Jedoch haben Methoden entwickelt, in den 1980er Jahren einen Kombi-Typ-Lehrsatz Kampen für höher homotopy groupoids einschließend, neue Berechnungen auf homotopy Typen und so weiter homotopy Gruppen erlaubt. Sieh für ein Beispielergebnis den 2008-Vortrag von Ellis und Mikhailov, der unten verzeichnet ist.

Für einige Räume, wie Ringe, sind alle höher homotopy Gruppen (d. h. die zweiten und höheren homotopy Gruppen) trivial. Das sind die so genannten aspherical Räume. Jedoch, trotz der intensiven Forschung im Rechnen der homotopy Gruppen von Bereichen, sogar in zwei Dimensionen ist eine ganze Liste nicht bekannt. Um sogar die vierte homotopy Gruppe von S zu berechnen, braucht man viel fortgeschrittenere Techniken, als die Definitionen andeuten könnten. Insbesondere wurde Serre geisterhafte Folge zu gerade diesem Zweck gebaut.

Gruppen von Certain Homotopy von n-connected Räumen können vergleichsweise mit Homologie-Gruppen über den Lehrsatz von Hurewicz berechnet werden.

Eine Liste von Methoden, um homotopy Gruppen zu berechnen

• Die lange genaue Folge von homotopy Gruppen eines fibration.
• Lehrsatz von Hurewicz, der mehrere Versionen hat.
• Blakers-Massey Lehrsatz, auch bekannt als Ausschneidung für homotopy Gruppen.
• Suspendierungslehrsatz von Freudenthal, eine Folgeerscheinung der Ausschneidung für homotopy Gruppen.

Homotopy Verhältnisgruppen

Es gibt auch homotopy Verhältnisgruppen π (X, A) für ein Paar (X, A). Die Elemente solch einer Gruppe sind homotopy Klassen von basierten Karten D  X, die die Grenze S in A tragen. Zwei Karten f, g werden homotopic hinsichtlich genannt, wenn sie homotopic durch eine Basepoint-Bewahrung homotopy F sind: D × [0,1]  X solch, dass, für jeden p in S und t in [0,1], das Element F (p, t) in A ist. Die gewöhnlichen homotopy Gruppen sind der spezielle Fall, in dem A der Grundpunkt ist.

Diese Gruppen sind abelian für, aber für die Form die Spitzengruppe eines durchquerten Moduls mit der untersten Gruppe π (A).

Es gibt eine lange genaue Folge von homotopy Verhältnisgruppen.

Zusammenhängende Begriffe

Die homotopy Gruppen sind ein Eckstein der homotopy Theorie, die der Reihe nach die Entwicklung von Musterkategorien stimuliert hat. Es ist möglich, Auszug homotopy Gruppen für Simplicial-Sätze zu definieren.

Siehe auch

• Knoten-Theorie
• Klasse von Homotopy
• Gruppen von Homotopy von Bereichen
• Topologischer invariant

Referenzen

• Ronald Brown, `Groupoids und durchquerte Gegenstände in der algebraischen Topologie', Homologie, homotopy und Anwendungen, 1 (1999) 1-78.

• G.J. Ellis und R. Mikhailov, `Ein colimit, Räume, arXiv:0804.3581v1 [Mathematik zu klassifizieren. GR]

• R. Braun, P.J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraische Topologie: gefilterte Räume, durchquerte Komplexe, kubischer homotopy groupoids, EMS Flächen in der Mathematik Vol. 15, 703 Seiten. (August 2011).