In der Mathematik ist ein System von geradlinigen Gleichungen (oder geradlinigem System) eine Sammlung von geradlinigen Gleichungen, die denselben Satz von Variablen einschließen. Zum Beispiel,

:

3x && \; + \;&& 2y && \; - \;&& z && \; = \;&& 1 & \\

2x && \; - \;&& 2y && \; + \;&& 4z && \; = \;&&-2 & \\

- x && \; + \;&& \tfrac {1} {2} y && \; - \;&& z && \; = \;&& 0

&

\end {alignat} </Mathematik>

ist ein System von drei Gleichungen in den drei Variablen. Eine Lösung eines geradlinigen Systems ist eine Anweisung von Zahlen zu den solchen Variablen, dass alle Gleichungen gleichzeitig zufrieden sind. Eine Lösung des Systems wird oben durch gegeben

:

x& = & 1 \\

y & = &-2 \\

z & = &-2

\end {alignat} </Mathematik>

da es alle drei Gleichungen gültig macht.

In der Mathematik ist die Theorie von geradlinigen Systemen ein Zweig der geradlinigen Algebra, eines Themas, das für die moderne Mathematik grundsätzlich ist. Rechenbetonte Algorithmen, für die Lösungen zu finden, sind ein wichtiger Teil der numerischen geradlinigen Algebra, und solche Methoden spielen eine prominente Rolle in Technik, Physik, Chemie, Informatik und Volkswirtschaft. Einem System von nichtlinearen Gleichungen kann häufig durch ein geradliniges System näher gekommen werden (sieh linearization), eine nützliche Technik, wenn man ein mathematisches Modell oder Computersimulation eines relativ komplizierten Systems macht.

Elementares Beispiel

Die einfachste Art des geradlinigen Systems schließt zwei Gleichungen und zwei Variablen ein:

:

2x && \; + \;&& 3y && \; = \;&& 6 & \\

4x && \; + \;&& 9y && \; = \;&&

15&. \end {alignat} </Mathematik>

Eine Methode, um solch ein System zu lösen, ist wie folgt. Lösen Sie erstens die Spitzengleichung für in Bezug auf:

:

Wechseln Sie jetzt gegen diesen Ausdruck x in die unterste Gleichung aus:

:

Das läuft auf eine einzelne Gleichung hinaus, die nur die Variable einschließt. Das Lösen, gibt und das Ersetzen davon zurück in die Gleichung für Erträge. Diese Methode verallgemeinert zu Systemen mit zusätzlichen Variablen (sieh "Beseitigung von Variablen" unten, oder der Artikel über die elementare Algebra.)

Allgemeine Form

Ein allgemeines System der M geradlinige Gleichungen mit n unknowns kann als geschrieben werden

:

a_ {11} x_1 && \; + \;&& a_ {12} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {1n} x_n && \; = \;&&& b_1 \\

a_ {21} x_1 && \; + \;&& a_ {22} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {2n} x_n && \; = \;&&& b_2 \\

\vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && &&& \; \vdots \\

a_ {m1} x_1 && \; + \;&& a_ {m2} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {mn} x_n && \; = \;&&& b_m. \\

\end {alignat} </Mathematik>

Hier sind der unknowns, sind die Koeffizienten des Systems, und sind die unveränderlichen Begriffe.

Häufig sind die Koeffizienten und unknowns reelle Zahlen oder komplexe Zahlen, aber ganze Zahlen und rationale Zahlen werden auch gesehen, wie Polynome und Elemente einer abstrakten algebraischen Struktur sind.

Vektor-Gleichung

Eine äußerst nützliche Ansicht besteht darin, dass jeder unbekannt ein Gewicht für einen Spaltenvektor in einer geradlinigen Kombination ist.

:

x_1 \begin {bmatrix} a_ {11 }\\\a_ {21 }\\\\vdots \\a_ {m1 }\\Ende {bmatrix} +

x_2 \begin {bmatrix} a_ {12 }\\\a_ {22 }\\\\vdots \\a_ {m2 }\\Ende {bmatrix} +

\cdots +

x_n \begin {bmatrix} a_ {1n }\\\a_ {2n }\\\\vdots \\a_ {mn }\\Ende {bmatrix }\

=

\begin {bmatrix} b_1 \\b_2 \\\vdots \\b_m\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Das erlaubt der ganzen Sprache und Theorie von Vektorräumen (oder mehr allgemein, Module), zum Bären gebracht zu werden. Zum Beispiel wird die Sammlung aller möglichen geradlinigen Kombinationen der Vektoren auf der linken Seite ihre Spanne genannt, und die Gleichungen haben eine Lösung gerade, wenn der rechte Vektor innerhalb dieser Spanne ist. Wenn jeder Vektor innerhalb dieser Spanne genau einen Ausdruck als eine geradlinige Kombination der gegebenen linken Vektoren hat, dann ist jede Lösung einzigartig. Auf jeden Fall hat die Spanne eine Basis von linear unabhängigen Vektoren, die wirklich genau einen Ausdruck versichern; und die Zahl von Vektoren in dieser Basis (seine Dimension) kann nicht größer sein als M oder n, aber es kann kleiner sein. Das ist wichtig, weil, wenn wir M unabhängige Vektoren haben, eine Lösung unabhängig von der Rechte versichert, und sonst nicht versichert wird.

Matrixgleichung

Die Vektor-Gleichung ist zu einer Matrixgleichung der Form gleichwertig

:

wo A eine m×n Matrix ist, ist x ein Spaltenvektor mit n Einträgen, und b ist ein Spaltenvektor mit der M Einträge.

:

A=

\begin {bmatrix }\

a_ {11} & a_ {12} & \cdots & a_ {1n} \\

a_ {21} & a_ {22} & \cdots & a_ {2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {m1} & a_ {m2} & \cdots & a_ {mn }\

\end {bmatrix}, \quad

\bold {x} =

\begin {bmatrix }\

x_1 \\

x_2 \\

\vdots \\

x_n

\end {bmatrix}, \quad

\bold {b} =

\begin {bmatrix }\

b_1 \\

b_2 \\

\vdots \\

b_m

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Die Zahl von Vektoren in einer Basis für die Spanne wird jetzt als die Reihe der Matrix ausgedrückt.

Lösung ist untergegangen

Eine Lösung eines geradlinigen Systems ist eine Anweisung von Werten zu den solchen Variablen, dass jede der Gleichungen zufrieden ist. Der Satz aller möglichen Lösungen wird den Lösungssatz genannt.

Ein geradliniges System kann sich auf irgendwelche von drei möglichen Weisen benehmen:

1. Das System hat ungeheuer viele Lösungen.
2. Das System hat eine einzelne einzigartige Lösung.
3. Das System hat keine Lösung.

Geometrische Interpretation

Für ein System, das zwei Variablen (x und y) einschließt, bestimmt jede geradlinige Gleichung eine Linie auf dem xy-plane. Weil eine Lösung eines geradlinigen Systems alle Gleichungen befriedigen muss, ist der Lösungssatz die Kreuzung dieser Linien, und ist folglich entweder eine Linie, ein einzelner Punkt oder der leere Satz.

Für drei Variablen bestimmt jede geradlinige Gleichung ein Flugzeug im dreidimensionalen Raum, und der Lösungssatz ist die Kreuzung dieser Flugzeuge. So kann der Lösungssatz ein Flugzeug, eine Linie, ein einzelner Punkt oder der leere Satz sein.

Für n Variablen bestimmt jede geradlinige Gleichung ein Hyperflugzeug im n-dimensional Raum. Der Lösungssatz ist die Kreuzung dieser Hyperflugzeuge, die eine Wohnung jeder Dimension sein können.

Allgemeines Verhalten

Im Allgemeinen wird das Verhalten eines geradlinigen Systems durch die Beziehung zwischen der Zahl von Gleichungen und der Zahl von unknowns bestimmt:

1. Gewöhnlich hat ein System mit weniger Gleichungen als unknowns ungeheuer viele Lösungen oder manchmal einzigartige spärliche Lösungen (Komprimierte Abfragung). Solch ein System ist auch bekannt als ein underdetermined System.
2. Gewöhnlich hat ein System mit derselben Zahl von Gleichungen und unknowns eine einzelne einzigartige Lösung.
3. Gewöhnlich hat ein System mit mehr Gleichungen als unknowns keine Lösung. Solch ein System ist auch bekannt als ein überentschlossenes System.

Im ersten Fall ist die Dimension des Lösungssatzes gewöhnlich dem gleich, wo n die Zahl von Variablen ist und M die Zahl von Gleichungen ist.

Die folgenden Bilder illustrieren diesen trichotomy im Fall von zwei Variablen:

:

Das erste System hat ungeheuer viele Lösungen, nämlich alle Punkte auf der blauen Linie. Das zweite System hat eine einzelne einzigartige Lösung, nämlich die Kreuzung der zwei Linien. Das dritte System hat keine Lösungen, da die drei Linien keinen allgemeinen Punkt teilen.

Beachten Sie, dass die Bilder oben nur den allgemeinsten Fall zeigen. Es ist für ein System von zwei Gleichungen und zwei unknowns möglich, keine Lösung zu haben (wenn die zwei Linien parallel sind), oder für ein System von drei Gleichungen und zwei unknowns, um lösbar zu sein (wenn sich die drei Linien an einem einzelnen Punkt schneiden). Im Allgemeinen kann sich ein System von geradlinigen Gleichungen verschieden benehmen als erwartet, wenn die Gleichungen linear abhängig sind, oder wenn zwei oder mehr der Gleichungen inkonsequent sind.

Eigenschaften

Unabhängigkeit

Die Gleichungen eines geradlinigen Systems sind unabhängig, wenn keine der Gleichungen algebraisch von anderen abgeleitet werden kann. Wenn die Gleichungen unabhängig sind, enthält jede Gleichung neue Information über die Variablen, und einige der Gleichungen entfernend, vergrößert die Größe des Lösungssatzes. Für geradlinige Gleichungen ist logische Unabhängigkeit dasselbe als geradlinige Unabhängigkeit.

Zum Beispiel, die Gleichungen

:sind

ziemlich abhängig — sie sind dieselbe Gleichung, wenn erklettert, durch einen Faktor zwei, und sie würden identische Graphen erzeugen. Das ist ein Beispiel der Gleichwertigkeit in einem System von geradlinigen Gleichungen.

Für ein mehr kompliziertes Beispiel, die Gleichungen

:

x && \; - \;&& 2y && \; = \;&&-1 & \\

3x && \; + \;&& 5y && \; = \;&& 8 & \\

4x && \; + \;&& 3y && \; = \;&& 7

& \end {alignat} </Mathematik>sind

ziemlich abhängig, weil die dritte Gleichung die Summe der anderen zwei ist. Tatsächlich, irgendwelche dieser Gleichungen kann aus den anderen zwei abgeleitet werden, und irgendwelche der Gleichungen können entfernt werden, ohne den Lösungssatz zu betreffen. Die Graphen dieser Gleichungen sind drei Linien, die sich an einem einzelnen Punkt schneiden.

Konsistenz

Die Reihen eines geradlinigen Systems entsprechen, wenn sie eine allgemeine Lösung, und inkonsequent sonst besitzen. Wenn die Gleichungen inkonsequent sind, ist es möglich, einen Widerspruch von den Gleichungen, wie die Behauptung das abzuleiten.

Zum Beispiel, die Gleichungen:sind

inkonsequent. Im Versuchen, eine Lösung zu finden, nehmen wir stillschweigend an, dass es eine Lösung gibt; d. h. wir nehmen an, dass der Wert von x in der ersten Gleichung dasselbe als der Wert von x in der zweiten Gleichung sein muss (wie man annimmt, ist dasselbe gleichzeitig für den Wert von y in beiden Gleichungen wahr). Die Verwendung des Ersatz-Eigentums (für 3x+2y) gibt die Gleichung nach, die eine falsche Angabe ist. Das widerspricht deshalb unserer Annahme, dass das System eine Lösung hatte und wir beschließen, dass unsere Annahme falsch war; d. h. das System hat tatsächlich keine Lösung. Die Graphen dieser Gleichungen auf dem xy-plane sind ein Paar von parallelen Linien.

Es ist für drei geradlinige Gleichungen möglich, inkonsequent zu sein, wenn auch irgendwelche zwei der Gleichungen zusammen entsprechen. Zum Beispiel, die Gleichungen

:

x && \; + \;&& y && \; = \;&& 1 & \\

2x && \; + \;&& y && \; = \;&& 1 & \\

3x && \; + \;&& 2y && \; = \;&& 3

& \end {alignat} </Mathematik>sind

inkonsequent. Das Hinzufügen der ersten zwei Gleichungen gibt zusammen, der von der dritten Gleichung abgezogen werden kann, um zu tragen. Bemerken Sie, dass irgendwelche zwei dieser Gleichungen eine allgemeine Lösung haben. Dasselbe Phänomen kann für jede Zahl von Gleichungen vorkommen.

Im Allgemeinen kommen Widersprüchlichkeiten vor, wenn die linken Seiten der Gleichungen in einem System linear abhängig sind, und die unveränderlichen Begriffe die Abhängigkeitsbeziehung nicht befriedigen. Ein Gleichungssystem, dessen linke Seiten linear unabhängig sind, entspricht immer.

Gleichwertigkeit

Zwei geradlinige Systeme mit demselben Satz von Variablen sind gleichwertig, wenn jede der Gleichungen im zweiten System algebraisch von den Gleichungen im ersten System, und umgekehrt abgeleitet werden kann. Gleichwertige Systeme befördern genau dieselbe Information über die Werte der Variablen. Insbesondere zwei geradlinige Systeme sind gleichwertig, wenn, und nur wenn sie dieselbe Lösung setzen ließen.

Das Lösen eines geradlinigen Systems

Es gibt mehrere Algorithmen, für ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen.

Das Beschreiben der Lösung

Wenn der Lösungssatz begrenzt ist, wird er auf ein einzelnes Element reduziert. In diesem Fall wird die einzigartige Lösung durch eine Folge von Gleichungen beschrieben, deren Seiten der linken Hand die Namen des unknowns sind und rechte Seiten die entsprechenden Werte zum Beispiel sind. Als eine Ordnung auf dem unknowns, zum Beispiel die alphabetische Reihenfolge befestigt worden ist, kann die Lösung als ein Vektor von Werten, wie für das vorherige Beispiel beschrieben werden.

Es kann schwierig sein, einen Satz mit unendlichen Lösungen zu beschreiben. Gewöhnlich werden einige der Variablen als frei (oder unabhängig, oder als Rahmen) benannt, bedeutend, dass ihnen erlaubt wird, jeden Wert zu nehmen, während die restlichen Variablen von den Werten der freien Variablen abhängig sind.

Denken Sie zum Beispiel das folgende System:

:

x && \; + \;&& 3y && \; - \;&& 2z && \; = \;&& 5 & \\

3x && \; + \;&& 5y && \; + \;&& 6z && \; = \;&& 7

& \end {alignat} </Mathematik>

Der Lösungssatz zu diesem System kann durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

:

Hier ist z die freie Variable, während x und y von z abhängig sind. Jeder Punkt im Lösungssatz kann durch die erste Auswahl eines Werts für z und dann Computerwissenschaft der entsprechenden Werte für x und y erhalten werden.

Jede freie Variable gibt dem Lösungsraum einen Grad der Freiheit, deren Zahl der Dimension des Lösungssatzes gleich ist. Zum Beispiel ist der Lösungssatz für die obengenannte Gleichung eine Linie, da ein Punkt im Lösungssatz durch das Spezifizieren des Werts des Parameters z gewählt werden kann. Eine unendliche Lösung der höheren Ordnung kann ein Flugzeug oder höheren dimensionalen Satz beschreiben.

Verschiedene Wahlen für die freien Variablen können zu verschiedenen Beschreibungen desselben Lösungssatzes führen. Zum Beispiel kann die Lösung der obengenannten Gleichungen wie folgt wechselweise beschrieben werden:

:

Hier ist x die freie Variable, und y und z sind abhängig.

Beseitigung von Variablen

Die einfachste Methode, für ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen, soll Variablen wiederholt beseitigen. Diese Methode kann wie folgt beschrieben werden:

1. In der ersten Gleichung, lösen Sie für eine der Variablen in Bezug auf andere.
2. Stecken Sie diesen Ausdruck in die restlichen Gleichungen ein. Das gibt ein Gleichungssystem mit einer weniger Gleichung und ein weniger unbekannt nach.
3. Machen Sie weiter, bis Sie das System auf eine einzelne geradlinige Gleichung reduziert haben.
4. Lösen Sie diese Gleichung, und dann Zurückersatz, bis die komplette Lösung gefunden wird.

Denken Sie zum Beispiel das folgende System:: x && \; + \;&& 3y && \; - \;&& 2z && \; = \;&& 5 & \\

3x && \; + \;&& 5y && \; + \;&& 6z && \; = \;&& 7 & \\

2x && \; + \;&& 4y && \; + \;&& 3z && \; = \;&& 8

& \end {alignat} </Mathematik>

Das Lösen der ersten Gleichung für x gibt, und das in die zweite und dritte Gleichung einsteckend, gibt nach

:

- 4y && \; + \;&& 12z && \; = \;&&-8 & \\

- 2y && \; + \;&& 7z && \; = \;&&-2

& \end {alignat} </Mathematik>

Das Lösen der ersten von diesen Gleichungen für Y-Erträge und das Einstecken davon in die zweiten Gleichungserträge. Wir haben jetzt:

:

x && \; = \;&& 5 && \; + \;&& 2z && \; - \;&& 3y & \\

y && \; = \;&& 2 && \; + \;&& 3z && && & \\

z && \; = \;&& 2 && && && &&

& \end {alignat} </Mathematik>

Das Ersetzen in die zweite Gleichung, gibt und das Ersetzen und in die ersten Gleichungserträge. Deshalb ist der Lösungssatz der einzelne Punkt.

Die Reihe-Verminderung

In der Reihe-Verminderung wird das geradlinige System als eine vermehrte Matrix vertreten:

:

1 & 3 &-2 & 5 \\

3 & 5 & 6 & 7 \\

2 & 4 & 3 & 8

\end {ordnen }\\Recht] \text {. }\

</Mathematik>

Diese Matrix wird dann mit elementaren Reihe-Operationen modifiziert, bis sie reduzierte Reihe-Staffelstellungsform erreicht. Es gibt drei Typen von elementaren Reihe-Operationen:

:Type 1: Tauschen Sie die Positionen von zwei Reihen.

:Type 2: Multiplizieren Sie eine Reihe mit einem Nichtnullskalar.

:Type 3: Fügen Sie zu einer Reihe ein Skalarvielfache von einem anderen hinzu.

Weil diese Operationen umkehrbar sind, vertritt die vermehrte Matrix erzeugt immer ein geradliniges System, das zum Original gleichwertig ist.

Es gibt mehrere spezifische Algorithmen, um sich lautstark zu streiten - reduzieren eine vermehrte Matrix, von denen der einfachste Beseitigung von Gaussian und Beseitigung von Gauss-Jordan sind. Die folgende Berechnung zeigt Beseitigung von Gauss-Jordan, die auf die Matrix oben angewandt ist:

:1 & 3 &-2 & 5 \\3 & 5 & 6 & 7 \\2 & 4 & 3 & 8

\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>

\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\

1 & 3 &-2 & 5 \\

0 &-4 & 12 &-8 \\

2 & 4 & 3 & 8\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\1 & 3 &-2 & 5 \\0 &-4 & 12 &-8 \\

0 &-2 & 7 &-2

\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\1 & 3 &-2 & 5 \\

0 & 1 &-3 & 2 \\

0 &-2 & 7 &-2\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\1 & 3 &-2 & 5 \\0 & 1 &-3 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 2

\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\1 & 3 &-2 & 5 \\

0 & 1 & 0 & 8 \\

0 & 0 & 1 & 2\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\

1 & 3 & 0 & 9 \\

0 & 1 & 0 & 8 \\0 & 0 & 1 & 2\end {ordnen }\\Recht] </Mathematik>\left [\begin {Reihe} {rrr|r }\

1 & 0 & 0 &-15 \\

0 & 1 & 0 & 8 \\0 & 0 & 1 & 2

\end {ordnen }\\Recht]. </Mathematik>

Die letzte Matrix ist in der reduzierten Reihe-Staffelstellungsform, und vertritt das System. Ein Vergleich mit dem Beispiel in der vorherigen Abteilung auf der algebraischen Beseitigung von Variablen zeigt, dass diese zwei Methoden tatsächlich dasselbe sind; der Unterschied liegt darin, wie die Berechnung niedergeschrieben wird.

Die Regierung von Cramer

Die Regierung von Cramer ist eine ausführliche Formel für die Lösung eines Systems von geradlinigen Gleichungen mit jeder durch einen Quotienten von zwei Determinanten gegebenen Variable. Zum Beispiel, die Lösung des Systems

: x && \; + \;&& 3y && \; - \;&& 2z && \; = \;&& 5 & \\3x && \; + \;&& 5y && \; + \;&& 6z && \; = \;&& 7 & \\2x && \; + \;&& 4y && \; + \;&& 3z && \; = \;&& 8 & \end {alignat} </Mathematik>

wird durch gegeben

:

x = \frac

{\\, \left | \begin {Matrix} 5&3&-2 \\7&5&6 \\8&4&3 \end {Matrix} \right | \, }\

{\\, \left | \begin {Matrix} 1&3&-2 \\3&5&6 \\2&4&3 \end {Matrix} \right | \, }\

, \; \; \; \; y =\frac

{\\, \left | \begin {Matrix} 1&5&-2 \\3&7&6 \\2&8&3 \end {Matrix} \right | \, }\

{\\, \left | \begin {Matrix} 1&3&-2 \\3&5&6 \\2&4&3 \end {Matrix} \right | \, }\

, \; \; \; \; z =\frac

{\\, \left | \begin {Matrix} 1&3&5 \\3&5&7 \\2&4&8 \end {Matrix} \right | \, }\

{\\, \left | \begin {Matrix} 1&3&-2 \\3&5&6 \\2&4&3 \end {Matrix} \right | \,}.

</Mathematik>

Für jede Variable ist der Nenner die Determinante der Matrix von Koeffizienten, während der Zähler die Determinante einer Matrix ist, in der eine Säule durch den Vektoren von unveränderlichen Begriffen ersetzt worden ist.

Obwohl die Regierung von Cramer theoretisch wichtig ist, hat sie wenig praktischen Wert für großen matrices, da die Berechnung von großen Determinanten etwas beschwerlich ist. (Tatsächlich werden große Determinanten mit der Reihe-Verminderung am leichtesten geschätzt.)

Weiter hat die Regierung von Cramer sehr schlechte numerische Eigenschaften, es unpassend machend, um sogar kleine Systeme zuverlässig zu lösen, wenn die Operationen in der vernünftigen Arithmetik mit der unbegrenzten Präzision nicht durchgeführt werden.

Andere Methoden

Während Systeme von drei oder vier Gleichungen mit der Hand sogleich gelöst werden können, werden Computer häufig für größere Systeme verwendet. Der Standardalgorithmus, für ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen, basiert auf der Beseitigung von Gaussian mit einigen Modifizierungen. Erstens ist es notwendig, Abteilung durch kleine Zahlen zu vermeiden, die zu ungenauen Ergebnissen führen können. Das kann durch die Umstellung die Gleichungen nötigenfalls, ein als das Drehen bekannter Prozess getan werden. Zweitens tut der Algorithmus Beseitigung von Gaussian nicht genau, aber es schätzt die LU Zergliederung der Matrix A. Das ist größtenteils ein organisatorisches Werkzeug, aber es ist viel schneller, wenn man mehrere Systeme mit derselben Matrix A, aber verschiedene Vektoren b lösen muss.

Wenn die Matrix A eine spezielle Struktur hat, kann das ausgenutzt werden, um schnellere oder genauere Algorithmen zu erhalten. Zum Beispiel können Systeme mit einer symmetrischen positiven bestimmten Matrix zweimal so schnell mit der Zergliederung von Cholesky gelöst werden. Levinson recursion ist eine schnelle Methode für Toeplitz matrices. Spezielle Methoden bestehen auch für matrices mit vielen Nullelementen (so genannter spärlicher matrices), die häufig in Anwendungen erscheinen.

Eine völlig verschiedene Annäherung wird häufig für sehr große Systeme genommen, die zu viel Zeit oder Gedächtnis sonst nehmen würden. Die Idee ist, mit einer anfänglichen Annäherung an die Lösung anzufangen (der überhaupt nicht genau sein muss), und diese Annäherung in mehreren Schritten zu ändern, es näher an der wahren Lösung zu bringen. Sobald die Annäherung genug genau ist, wird das genommen, um die Lösung des Systems zu sein. Das führt zur Klasse von wiederholenden Methoden.

Homogene Systeme

Ein System von geradlinigen Gleichungen ist homogen, wenn alle unveränderlichen Begriffe Null sind:

:

a_ {11} x_1 && \; + \;&& a_ {12} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {1n} x_n && \; = \;&&& 0 \\

a_ {21} x_1 && \; + \;&& a_ {22} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {2n} x_n && \; = \;&&& 0 \\

\vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && && \vdots \; \; \; && &&& \, \vdots \\

a_ {m1} x_1 && \; + \;&& a_ {m2} x_2 && \; + \cdots + \;&& a_ {mn} x_n && \; = \;&&& 0. \\

\end {alignat} </Mathematik>

Ein homogenes System ist zu einer Matrixgleichung der Form gleichwertig

:

wo A eine Matrix ist, ist x ein Spaltenvektor mit n Einträgen, und 0 ist der Nullvektor mit der M Einträge.

Lösung ist untergegangen

Jedes homogene System hat mindestens eine Lösung, die als die Nulllösung bekannt ist (oder triviale Lösung), der durch das Zuweisen des Werts der Null zu jeder der Variablen erhalten wird. Der Lösungssatz hat die folgenden zusätzlichen Eigenschaften:

1. Wenn u und v zwei Vektoren sind, die Lösungen eines homogenen Systems vertreten, dann ist die Vektorsumme auch eine Lösung des Systems.
2. Wenn u ein Vektor ist, der eine Lösung eines homogenen Systems vertritt, und r jeder Skalar ist, dann ist ru auch eine Lösung des Systems.

Das sind genau die für den Lösungssatz erforderlichen Eigenschaften, ein geradliniger Subraum von R zu sein. Insbesondere der Lösungssatz zu einem homogenen System ist dasselbe als der ungültige Raum der entsprechenden Matrix A.

Beziehung zu nichthomogenen Systemen

Es gibt eine nahe Beziehung zwischen den Lösungen eines geradlinigen Systems und den Lösungen des entsprechenden homogenen Systems:

:

Spezifisch, wenn p eine spezifische Lösung des geradlinigen Systems ist, dann kann der komplette Lösungssatz als beschrieben werden

:

Geometrisch sagt das, dass die Lösung, die dafür gesetzt ist, eine Übersetzung des Lösungssatzes dafür ist. Spezifisch kann die Wohnung für das erste System durch das Übersetzen des geradlinigen Subraums für das homogene System durch den Vektoren p erhalten werden.

Dieses Denken gilt nur, wenn das System mindestens eine Lösung hat. Das kommt vor, wenn, und nur wenn der Vektor b im Image der geradlinigen Transformation A liegt.

Siehe auch

• LAPACK (das freie Standardpaket, um geradlinige Gleichungen numerisch zu lösen; verfügbar in Fortran, C, C ++)
• Die Reihe-Verminderung
• Gleichzeitige Gleichungen
• Einordnung von Hyperflugzeugen
• Geradlinig kleinste Quadrate
• Matrixzergliederung
• Wiederholende Verbesserung

Referenzen

Lehrbücher

Links

• WebApp, beschreibend Systeme von geradlinigen Gleichungen mit mehreren Methoden lösend
• Das Lösen des Systems geradlinige Gleichungen Online-Matrixrechenmaschine und Tutorenkurs.
• Online-Gleichungen Solver
• Geradliniger Online-solver
• Online-Rechenmaschine des Systems von geradlinigen Gleichungen