Die Paradoxe von Zeno sind eine Reihe philosophischer Probleme, die allgemein vorgehabt ist, vom griechischen Philosophen Zeno von Elea ausgedacht worden zu sein (ca. 490 - 430 v. Chr.), um die Doktrin von Parmenides zu unterstützen, dass "alles ein ist", und dass, gegen die Beweise unserer Sinne, der Glaube an die Mehrzahl und Änderung, und insbesondere falsch ist, dass Bewegung nichts als ein Trugbild ist. Es wird gewöhnlich angenommen, auf Parmenides von Plato 128c-d gestützt, dass Zeno das Projekt übernommen hat, diese Paradoxe zu schaffen, weil andere Philosophen Paradoxe gegen die Ansicht von Parmenides geschaffen hatten. So kann Zeno interpretiert werden, sagend dass man annimmt, dass es Mehrzahl gibt, ist noch absurder als das Annehmen, dass es nur "Ein" gibt. (Parmenides 128d). Plato erhebt Anspruch von Sokrates, dass Zeno und Parmenides im Wesentlichen genau denselben Punkt (Parmenides 128a-b) diskutierten.

Einige von neun überlebenden Paradoxen von Zeno (bewahrt in Aristoteles Physik

und der Kommentar von Simplicius darauf) sind zu einander im Wesentlichen gleichwertig. Aristoteles hat eine Widerlegung von einigen von ihnen angeboten. Drei der stärksten und berühmtesten - dieses von Achilles und der Schildkröte, dem Zweiteilungsargument und diesem eines Pfeils im Flug - werden im Detail unten präsentiert.

Die Argumente von Zeno sind vielleicht die ersten Beispiele einer Methode der genannten reductio Anzeige des Beweises absurdum auch bekannt als Beweises durch den Widerspruch. Sie werden auch als eine Quelle der dialektischen von Sokrates verwendeten Methode kreditiert.

Einige Mathematiker, wie Carl Boyer, meinen, dass die Paradoxe von Zeno einfach mathematische Probleme sind, für die moderne Rechnung eine mathematische Lösung zur Verfügung stellt.

Einige Philosophen sagen jedoch, dass die Paradoxe von Zeno und ihre Schwankungen (sieh die Lampe von Thomson), relevante metaphysische Probleme bleiben.

Die Ursprünge der Paradoxe sind etwas unklar. Diogenes Laertius, eine vierte Quelle für die Information über Zeno und seine Lehren, Favorinus zitierend, sagt, dass der Lehrer von Zeno Parmenides erst war, um den Achilles und das Schildkröte-Argument vorzustellen. Aber in einem späteren Durchgang schreibt Laertius den Ursprung des Paradoxes Zeno zu, erklärend, dass Favorinus nicht übereinstimmt.

Die Paradoxe der Bewegung

Achilles und die Schildkröte

Im Paradox von Achilles und der Schildkröte ist Achilles in einem Wettlauf mit der Schildkröte. Achilles erlaubt der Schildkröte einen Vorsprung von 100 Metern zum Beispiel. Wenn wir annehmen, dass jeder Renner anfängt, mit etwas unveränderlicher Geschwindigkeit zu laufen (ein sehr schneller und ein sehr langsamer), dann nach einer endlichen Zeit wird Achilles 100 Meter geführt haben, ihm zum Startpunkt der Schildkröte bringend. Während dieser Zeit hat die Schildkröte eine viel kürzere Entfernung, sagen wir, 10 Meter geführt. Achilles wird dann eine weitere Zeit brauchen, um diese Entfernung zu führen, durch die Zeit die Schildkröte weiter vorwärts gegangen sein wird; und dann mehr Zeit noch, um diesen dritten Punkt zu erreichen, während die Schildkröte vorangeht. So, wann auch immer Achilles irgendwo reicht, ist die Schildkröte gewesen, er muss weiter noch gehen. Deshalb, weil es eine unendliche Zahl von Punkten gibt, die Achilles erreichen muss, wo die Schildkröte bereits gewesen ist, kann er die Schildkröte nie einholen.

Das Zweiteilungsparadox

Nehmen Sie an, dass Homer einen stationären Bus fangen will. Bevor er hierher kommen kann, muss er auf halbem Weg dort werden. Bevor er auf halbem Weg dort werden kann, muss er ein Viertel des Weges dort bekommen. Vor dem Reisen eines Viertels muss er ein achter reisen; vor einem achten, einem sechzehntem; und so weiter.

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Die resultierende Folge kann als vertreten werden:

:

Diese Beschreibung verlangt, dass eine unendliche Zahl von Aufgaben vollendet, die Zeno aufrechterhält, ist eine Unmöglichkeit.

Diese Folge wirft auch ein zweites Problem auf, in dem sie keine erste Entfernung zum geführten, für irgendwelchen möglich enthält , konnte die erste Entfernung entzweit werden, und würde folglich schließlich nicht erst sein. Folglich kann die Reise nicht sogar beginnen. Der paradoxe Beschluss würde dann darin bestehen, dass das Reisen über jede begrenzte Entfernung weder vollendet noch begonnen werden kann, und so muss die ganze Bewegung ein Trugbild sein.

Dieses Argument wird die Zweiteilung genannt, weil es wiederholt das Aufspalten einer Entfernung in zwei Teile einschließt. Es enthält einige derselben Elemente wie der Achilles und das Schildkröte-Paradox, aber mit einem mehr offenbaren Beschluss der Regungslosigkeit. Es ist auch bekannt als das Rennbahn-Paradox. Einige, wie Aristoteles, betrachten die Zweiteilung als eine wirklich gerade andere Version von Achilles und der Schildkröte.

Es gibt zwei Versionen des Zweiteilungsparadoxes. In der anderen Version bevor konnte Homer den stationären Bus erreichen, er muss Hälfte der Entfernung dazu erreichen. Vor dem Erreichen der letzten Hälfte muss er das folgende Viertel der Entfernung vollenden. Das folgende Viertel erreichend, muss er dann die folgende achte von der Entfernung, dann das folgende sechzehnte und so weiter bedecken. Es gibt so eine unendliche Zahl von Schritten, die zuerst vollbracht werden müssen, bevor er den Bus ohne Weise erreichen konnte, die Größe jedes "letzten" Schritts zu gründen. Ausgedrückt dieser Weg, das Zweiteilungsparadox ist sehr viel diesem von Achilles und der Schildkröte analog.

Das Pfeil-Paradox

Im Pfeil-Paradox (auch bekannt als dem Paradox des Pfeilmachers) stellt Zeno fest, dass für die Bewegung, vorzukommen, ein Gegenstand die Position ändern muss, die es besetzt. Er führt ein Beispiel eines Pfeils im Flug an. Er stellt fest, dass in irgendwelchem (durationless) Moment der Zeit sich der Pfeil dazu weder bewegt, wo es, noch dazu ist, wo es nicht ist.

Es kann sich dazu nicht bewegen, wo es nicht ist, weil keine Zeit dafür vergeht, um sich dorthin zu bewegen; es kann sich dazu nicht bewegen, wo es ist, weil es bereits dort ist. Mit anderen Worten in jedem Moment der Zeit gibt es kein Bewegungsauftreten. Wenn alles in jedem Moment unbeweglich ist, und Zeit aus Momenten völlig zusammengesetzt wird, dann ist Bewegung unmöglich.

Wohingegen die ersten zwei präsentierten Paradoxe Raum, dieses Paradox Anfänge durch das Teilen der Zeit — und nicht in Segmente, aber in Punkte teilen.

Drei andere Paradoxe, wie gegeben, durch Aristoteles

Paradox des Platzes:

: "…, wenn alles, was besteht, einen Platz hat, wird Platz auch einen Platz und so weiter ad infinitum haben."

Paradox des Kornes von Flattergras:

: "… gibt es keinen Teil des Flattergrases, das keinen Ton macht: Weil es keinen Grund gibt, warum jeder solcher Teil nicht in jeder Zeitdauer sollte scheitern, die Luft zu bewegen, die der ganze Scheffel im Fallen bewegt. Tatsächlich tut es nicht sich bewegen sogar solch eine Menge der Luft, wie es sich bewegen würde, wenn dieser Teil allein wäre: Weil kein Teil sogar sonst besteht als potenziell."

Die bewegenden Reihen (oder Stadion):

: "Das vierte Argument ist, dass bezüglich der zwei Reihen von Körpern, jede Reihe, die aus einer gleichen Anzahl von Körpern der gleichen Größe wird zusammensetzt, einander auf einer Rennbahn passierend, weil sie mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzten Richtungen, eine Reihe fortfahren, die ursprünglich den Raum zwischen der Absicht und dem mittleren Punkt des Kurses und des anderen das zwischen dem mittleren Punkt und dem Startposten besetzt. Das schließt... den Beschluss ein, dass eine halbe gegebene Zeit gleich ist, um diese Zeit zu verdoppeln."

Auf eine ausgebreitete Rechnung der Argumente von Zeno, wie präsentiert, durch Aristoteles, sieh den Kommentar von Simplicius Zu Aristoteles Physik.

Vorgeschlagene Lösungen

Gemäß Simplicius Diogenes hat der Zyniker nichts auf das Hören der Argumente von Zeno gesagt, aber ist aufgestanden und ist spazieren gegangen, um die Unehrlichkeit der Beschlüsse von Zeno zu demonstrieren. Um einige der Paradoxe jedoch völlig zu lösen, muss man sich was ist los mit dem Argument, nicht nur die Beschlüsse zeigen. Durch die Geschichte sind mehrere Lösungen unter dem frühsten registrierten vorgeschlagen worden, das diejenigen von Aristoteles und Archimedes ist.

Aristoteles (384 BC322 v. Chr.) hat bemerkt, dass weil die Entfernung abnimmt, musste die Zeit jene Entfernungen bedecken auch nimmt ab, so dass die erforderliche Zeit auch immer kleiner wird.

Aristoteles hat auch "in der Rücksicht auf die Teilbarkeit unendliche Dinge" unterschieden (wie eine Einheit des Raums, der in jemals kleinere Einheiten geistig geteilt werden kann, während man räumlich dasselbe bleibt) von Dingen (oder Entfernungen), die in der Erweiterung ("in Bezug auf ihre äußersten Enden") unendlich sind.

Vorher 212 v. Chr. hatte Archimedes eine Methode entwickelt, eine begrenzte Antwort für die Summe von ungeheuer vielen Begriffen abzuleiten, die progressiv kleiner werden. (Sieh: Geometrische Reihe, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ··· Die Quadratur der Parabel.) Erreicht moderne Rechnung dasselbe Ergebnis mit strengeren Methoden (sieh konvergente Reihe, wo die "Gegenstücke von Mächten von 2" Reihen, die zum Zweiteilungsparadox gleichwertig sind, als konvergent verzeichnet werden). Diese Methoden erlauben den Aufbau von Lösungen, die auf den Bedingungen gestützt sind, die von Zeno festgesetzt sind, d. h. die an jedem Schritt genommene Zeitdauer nimmt geometrisch ab.

Aristoteles Einwand gegen das Pfeil-Paradox bestand darin, dass "Zeit aus unteilbarem nows nicht mehr zusammengesetzt wird, als jeder andere Umfang aus indivisibles zusammengesetzt wird."

Heiliger Thomas Aquinas, sich über Aristoteles Einwand äußernd, hat geschrieben, dass "Momente nicht Teile der Zeit sind, weil Zeit aus Momenten nicht mehr zusammengesetzt wird, als ein Umfang aus Punkten gemacht wird, weil wir uns bereits erwiesen haben. Folglich folgt es dem nicht ein Ding ist nicht in der Bewegung in einer gegebenen Zeit gerade, weil es nicht in der Bewegung in jedem Moment dieser Zeit ist."

Bertrand Russell hat angeboten, was als "an - an der Theorie der Bewegung" bekannt ist. Es gibt zu, dass es keine Bewegung "während" eines durationless Moments geben kann und behauptet, dass alles, was für die Bewegung erforderlich ist, ist, dass der Pfeil einmal auf einmal, an einem anderen Punkt eine andere Zeit, und an passenden Punkten zwischen jenen zwei Punkten seit vorläufigen Zeiten ist. In dieser Ansicht ist Bewegung eine Funktion der Position in Bezug auf die Zeit.

Nick Huggett behauptet, dass Zeno die Antwort auf eine Frage schuldig bleibt, wenn er sagt, dass einwendet, dass denselben Raum besetzen, wie sie tun, ruhig muss beruhigt sein.

Eine andere vorgeschlagene Lösung ist, eine der Annahmen in seinen Paradoxen verwendeter Zeno infrage zu stellen (besonders die Zweiteilung), der ist, dass zwischen irgendwelchen zwei verschiedenen Punkten im Raum (oder Zeit) es immer einen anderen Punkt gibt. Ohne diese Annahme gibt es nur eine begrenzte Zahl von Entfernungen zwischen zwei Punkten, folglich gibt es keine unendliche Folge von Bewegungen, und das Paradox wird aufgelöst. Die Ideen von der Länge von Planck und Zeit von Planck mit der modernen Physik legen eine Grenze auf dem Maß der Zeit und Raums, wenn nicht rechtzeitig und Raum selbst. Gemäß Hermann Weyl ist die Annahme, dass Raum aus begrenzten und getrennten Einheiten gemacht wird, einem weiteren Problem unterworfen, das durch das "Ziegel-Argument" oder "Entfernungsfunktionsproblem" gegeben ist.

Gemäß dem hat die Länge der Hypotenuse eines Rechts geangelt das Dreieck im discretized Raum ist immer der Länge von einer der zwei Seiten im Widerspruch zur Geometrie gleich. Jean Paul van Bendegem hat behauptet, dass das Ziegel-Argument aufgelöst werden kann, und dass discretization deshalb das Paradox entfernen kann.

Hans Reichenbach hat vorgeschlagen, dass das Paradox daraus entstehen kann, Zeit und Raum als getrennte Entitäten zu betrachten. In einer Theorie wie allgemeine Relativität, die ein einzelnes Raum-Zeit-Kontinuum wagt, kann das Paradox blockiert werden.

Die Paradoxe in modernen Zeiten

Unendliche Prozesse sind theoretisch lästig in der Mathematik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts geblieben. Die Version des Epsilon-Deltas von Weierstrass und Cauchy hat eine strenge Formulierung der Logik und beteiligten Rechnung entwickelt. Diese Arbeiten haben die Mathematik aufgelöst, die mit unendlichen Prozessen verbunden ist.

Während Mathematik verwendet werden kann, um zu rechnen, wo und wenn der bewegende Achilles die Schildkröte des Paradoxes von Zeno, Philosophen wie Brown und Moorcroft einholen wird

behaupten Sie, dass Mathematik den Mittelpunkt im Argument von Zeno nicht richtet, und dass das Lösen der mathematischen Probleme jedes Thema nicht löst, das die Paradoxe aufbringen.

Die Argumente von Zeno werden häufig in der populären Literatur falsch dargestellt. D. h. wie man häufig sagt, hat Zeno behauptet, dass die Summe einer unendlichen Zahl von Begriffen selbst - mit dem Ergebnis unendlich sein muss, dass nicht nur die Zeit, sondern auch die zu reisende Entfernung, unendlich werden. Jedoch hat keine der ursprünglichen alten Quellen Zeno, der die Summe jeder unendlichen Reihe bespricht. Simplicius hat Zeno, der sagt, dass "es unmöglich ist, eine unendliche Zahl von Dingen in einer endlichen Zeit zu überqueren". Das wirft das Problem von Zeno nicht mit der Entdeckung der Summe, aber eher mit dem Vollenden einer Aufgabe mit einer unendlichen Zahl von Schritten auf: Wie kann man jemals von bis B kommen, wenn eine unendliche Zahl von (nichtsofortigen) Ereignissen identifiziert werden kann, der muss der Ankunft an B vorangehen, und man sogar den Anfang eines "letzten Ereignisses" nicht erreichen kann?

Heute gibt es noch eine Debatte über die Frage dessen, ob die Paradoxe von Zeno aufgelöst worden sind. In Der Geschichte der Mathematik schreibt Burton, "Obwohl das Argument von Zeno seine Zeitgenossen verwechselt hat, vereinigt eine befriedigende Erklärung eine jetzt vertraute Idee, den Begriff einer 'konvergenten unendlichen Reihe.'"

Bertrand Russell hat eine "Lösung" der auf der modernen Physik gestützten Paradoxe angeboten, aber Brown hört "Gegeben die Geschichte 'Endentschlossenheiten' von Aristoteles vorwärts auf, es ist wahrscheinlich tollkühn, um zu denken, dass wir das Ende erreicht haben. Es kann sein, dass die Argumente von Zeno auf der Bewegung, wegen ihrer Einfachheit und Allgemeinheit, immer als eine Art 'Image von Rorschach' dienen werden, auf das Leute ihre grundsätzlichsten phänomenologischen Sorgen planen können (wenn sie irgendwelchen haben)."

Das Quant Wirkung von Zeno

1977,

Physiker E. C. G. Sudarshan und B. Misra, der Quant-Mechanik studiert, haben entdeckt, dass die dynamische Evolution (Bewegung) eines Quant-Systems gehindert (oder sogar gehemmt werden kann) durch die Beobachtung des Systems.

Diese Wirkung wird gewöhnlich das "Quant Wirkung von Zeno" genannt, weil es an das Pfeil-Paradox von Zeno stark erinnernd ist.

Diese Wirkung wurde zuerst 1958 theoretisiert.

Verhalten von Zeno

Im Feld der Überprüfung und Design von zeitlich festgelegten und hybriden Systemen wird das Systemverhalten Zeno genannt, wenn es eine unendliche Zahl von getrennten Schritten in einer begrenzten Zeitdauer einschließt.

Einige formelle Überprüfungstechniken schließen diese Handlungsweisen von der Analyse aus, wenn sie zum Verhalten von non-Zeno nicht gleichwertig sind.

Im Systemdesign werden diese Handlungsweisen auch häufig von Systemmodellen ausgeschlossen, da sie mit einem Digitalkontrolleur nicht durchgeführt werden können.

Ein einfaches Beispiel eines Systems, Verhalten von Zeno zeigend, ist ein strammer Ball, der zum Rest kommt. Die Physik eines strammen Balls kann auf solche Art und Weise mathematisch analysiert werden, Faktoren außer dem Rückprall ignorierend, um eine unendliche Zahl von Schlägen vorauszusagen.

Schriften über die Paradoxe von Zeno

Die Paradoxe von Zeno haben viele Schriftsteller begeistert

• Leo Tolstoy im Krieg und Frieden (Teil 11, Kapitel I) bespricht die Rasse von Achilles und der Schildkröte, wenn er "historische Wissenschaft" kritisiert.
• Im Dialog, "Was die Schildkröte Achilles Gesagt hat", beschreibt Lewis Carroll, was am Ende der Rasse geschieht. Die Schildkröte bespricht mit Achilles ein einfaches deduktives Argument. Achilles scheitert im Demonstrieren des Arguments, weil die Schildkröte ihn in ein unendliches rückwärts Gehen führt.
• In durch Douglas Hofstadter werden die verschiedenen Kapitel durch Dialoge zwischen Achilles und der Schildkröte getrennt, die durch die Arbeiten von Lewis Carroll begeistert ist.
• Der argentinische Schriftsteller Jorge Luis Borges bespricht die Paradoxe von Zeno oft in seiner Arbeit, ihre Beziehung mit der Unendlichkeit zeigend. Borges hat auch die Paradoxe von Zeno als eine Metapher für einige von Kafka beschriebene Situationen verwendet. Spuren von Borges, in einem Aufsatz betitelt "Avatars der Schildkröte", die vielen Wiederauftreten dieses Paradoxes in Arbeiten der Philosophie. Die aufeinander folgenden Verweisungen, die er verfolgt, sind Agrippa der Skeptiker, Thomas Aquinas, Hermann Lotze, F.H. Bradley und William James.
• In den Spiel-Springern von Tom Stoppard versucht der Philosoph George Moore eine praktische Widerlegung mit dem Bogen und Pfeil des Zweiteilungsparadoxes, mit unglückseligen Folgen für den Hasen und die Schildkröte.
• Das philosophische Anderthalbliterflasche-Opus von Harry Mulisch, De compositie van de wereld (Amsterdam, 1980) basiert auf den Paradoxen von Zeno größtenteils. Zusammen mit den Gedanken von Herakleitos und dem coincidentia von Cusanus oppositorum setzen sie das Fundament für sein eigenes System der 'Oktave' ein.
• In den neuartigen Kleinen Göttern durch Terry Pratchett stößt der Hellseher Brutha auf mehrere Ephebian (Griechisch) Philosophen im Land, versuchend, das Paradox von Zeno zu widerlegen, indem er Pfeile an einer Folge von Schildkröten schießt. Bis jetzt hat das nur in einer Folge von "Schildkröte-Kebabs" resultiert.
• Im Cartoon von Scott Adams Dilbert vom 13. August 2005 sagt Dilbert, dass niemand mehr als Hälfte dessen nehmen will, was vom letzten Krapfen verlassen wird, den er "den Krapfen von Xeno" nennt
• Im Cartoon von Randall Munroe xkcd vom 23. Dezember 2011 bedeckt ein Advent-Kalender die Entfernung vom 23. Dezember zu Weihnachten. Jedoch ist es "der Advent-Kalender von Zeno": Jedes Fenster, das entzwei die Zeit schneidet, um zu warten. Im tooltip bemerkt Munroe nach 23:59:57 Uhr am Weihnachtsabend, Sie würden Schwierigkeiten haben, die Pralinen schnell genug zu schlucken, um anzuhalten, "liquify-chug Apparat vorhabend, um über die Barriere der 11:59:59 Uhr aufzustehen."

Siehe auch

• Paradox von Ross-Littlewood
• Nicht vergleichbare Umfänge
• Philosophie der Zeit und Raums
• Solvitur ambulando
• Superaufgabe
• Was die Schildkröte Achilles gesagt

hat

• Maschine von Zeno

Referenzen

• Kirk, G. S., J. E. Raven, M Schofield (1984) Die Vorsokratischen Philosophen: Eine Kritische Geschichte mit einer Auswahl an Texten, 2. Hrsg. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0521274559.
• Plato (1926) Plato: Cratylus. Parmenides. Größerer Hippias. Kleinerer Hippias, H. N. Fowler (Übersetzer), Loeb Klassische Bibliothek. Internationale Standardbuchnummer 0674991850.
• Sainsbury, R.M. (2003) Paradoxe, 2. Hrsg. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0521483476.

Außenverbindungen

• Silagadze, Z. K. "Zeno entspricht moderne Wissenschaft,"
• Das Paradox von Zeno: Achilles und die Schildkröte durch Jon McLoone, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Kevin Brown auf Zeno und dem Paradox der Bewegung