In der Mathematik ist eine Gruppe eine algebraische Struktur, die aus einem Satz zusammen mit einer Operation besteht, die irgendwelche zwei seiner Elemente verbindet, um ein drittes Element zu bilden. Um sich als eine Gruppe zu qualifizieren, müssen der Satz und die Operation befriedigen vier Bedingungen haben die Gruppenaxiome, nämlich Verschluss, associativity, Identität und invertibility genannt. Viele vertraute mathematische Strukturen wie Zahl-Systeme folgen diesen Axiomen: Zum Beispiel bilden die mit der Hinzufügungsoperation ausgestatteten ganzen Zahlen eine Gruppe. Jedoch erlaubt die abstrakte Formalisierung der Gruppenaxiome, losgemacht, wie es nach der konkreten Natur jeder besonderen Gruppe und seiner Operation ist, Entitäten mit hoch verschiedenen mathematischen Ursprüngen in der abstrakten Algebra und darüber hinaus auf eine flexible Weise behandelt zu werden, während sie ihre wesentlichen Strukturaspekte behält. Die Allgegenwart von Gruppen in zahlreichen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik macht sie ein Hauptordnungsprinzip der zeitgenössischen Mathematik.

Gruppen teilen eine grundsätzliche Blutsverwandtschaft mit dem Begriff der Symmetrie. Zum Beispiel verschlüsselt eine Symmetrie-Gruppe Symmetrie-Eigenschaften eines geometrischen Gegenstands: Es besteht aus dem Satz von Transformationen, die den Gegenstand unverändert, und die Operation verlassen, zwei solche Transformationen durch das Durchführen nacheinander zu verbinden. Lügen Sie Gruppen sind die im Standardmodell der Partikel-Physik verwendeten Symmetrie-Gruppen; Punkt-Gruppen werden verwendet, um zu helfen, Symmetrie-Phänomene in der molekularen Chemie zu verstehen; und Gruppen von Poincaré können die physische Symmetrie ausdrücken, die spezieller Relativität unterliegt.

Das Konzept einer Gruppe ist aus der Studie von polynomischen Gleichungen entstanden, mit Évariste Galois in den 1830er Jahren anfangend. Nach Beiträgen von anderen Feldern wie Zahlentheorie und Geometrie wurde der Gruppenbegriff verallgemeinert und fest 1870 gegründet. Moderne Gruppentheorie — eine sehr aktive mathematische Disziplin — studiert Gruppen in ihrem eigenen Recht. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker verschiedene Begriffe ausgedacht, um Gruppen in kleinere, bess-verständliche Stücke, wie Untergruppen, Quotient-Gruppen und einfache Gruppen zu brechen. Zusätzlich zu ihren abstrakten Eigenschaften studieren Gruppentheoretiker auch die verschiedenen Wege, auf die eine Gruppe konkret (seine Gruppendarstellungen), sowohl von einem theoretischen als auch von einem rechenbetonten Gesichtspunkt ausgedrückt werden kann. Eine besonders reiche Theorie ist für begrenzte Gruppen entwickelt worden, die mit der kolossalen Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen kulminiert haben, hat 1983 bekannt gegeben. Seit der Mitte der 1980er Jahre ist geometrische Gruppentheorie, die begrenzt erzeugte Gruppen als geometrische Gegenstände studiert, ein besonders aktives Gebiet in der Gruppentheorie geworden.

Definition und Illustration

Das erste Beispiel: die ganzen Zahlen

Eine der vertrautesten Gruppen ist der Satz von ganzen Zahlen Z, der aus den Zahlen besteht

:... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...

Die folgenden Eigenschaften der Hinzufügung der ganzen Zahl dienen als ein Modell für die abstrakten Gruppenaxiome, die in der Definition unten gegeben sind.

1. Für irgendwelche zwei ganzen Zahlen a und b ist die Summe + b auch eine ganze Zahl. So gibt das Hinzufügen von zwei ganzen Zahlen nie einen anderen Typ der Zahl wie ein Bruchteil nach. Dieses Eigentum ist als Verschluss unter der Hinzufügung bekannt.
2. Für alle ganzen Zahlen a, b und c, (+ b) + c = + (b + c). Ausgedrückt in Wörtern, zu b zuerst beitragend, und dann das Ergebnis zu c hinzufügend, gibt dasselbe Endresultat wie das Hinzufügen zur Summe von b und c, ein Eigentum bekannt als associativity.
3. Wenn jeder ganzen Zahl, dann 0 + = + 0 = a zu sein. Null wird das Identitätselement der Hinzufügung genannt, weil beitragend es zu jeder ganzen Zahl dieselbe ganze Zahl zurückgibt.
4. Für jede ganze Zahl a gibt es eine ganze Zahl b solch dass + b = b + = 0. Die ganze Zahl b wird das umgekehrte Element der ganzen Zahl a genannt und wird a angezeigt.

Die ganzen Zahlen, zusammen mit der Operation +, bilden einen mathematischen Gegenstand, der einer breiten Klasse gehört, die ähnliche Strukturaspekte teilt. Um diese Strukturen als ein Kollektiv passend zu verstehen, wird die folgende abstrakte Definition entwickelt.

Definition

Eine Gruppe kann auf mehrere gleichwertige Weisen definiert werden; meistens wird es wie folgt definiert. Eine Gruppe ist ein Satz, G zusammen mit einer Operation · (genannt das Gruppengesetz von G), der irgendwelche zwei Elemente a und b verbindet, um ein anderes Element, angezeigt oder ab zu bilden. Um sich als eine Gruppe zu qualifizieren, müssen der Satz und die Operation vier als die Gruppenaxiome bekannte Voraussetzungen befriedigen:

Verschluss: Für den ganzen a, b in G, dem Ergebnis der Operation, a · b, ist auch in G.

Associativity: Für den ganzen a, b und c in G, (a · b) · c = a · (b · c).

Identitätselement: Dort besteht ein Element e in G, solch das für jedes Element in G, die Gleichung e · = a · e = ein Halten. Solch ein Element ist (sieh unten) einzigartig, und so spricht man vom Identitätselement. Das Identitätselement einer Gruppe G wird häufig als 1 oder 1, eine von der multiplicative Identität geerbte Notation geschrieben.

Umgekehrtes Element: Für jeden in G, dort besteht ein Element b in solchem G dass a · b = b · = e.

Eine alternative Definition wird in der universalen Algebra gegeben, wo eine Gruppe als ein Satz G mit drei Operationen - ein nullary, entsprechend der Identität, einem unärem, entsprechend der Einnahme des Gegenteils und eines binären entsprechend der Multiplikation definiert wird. Diese Definition ist in verallgemeinernden Gruppen wichtig, um Gegenstände in der Kategorie-Theorie, namentlich topologischen Gruppen zu gruppieren. Andere axiomatizations sind auch - zum Beispiel möglich, eine Gruppe kann durch eine einzelne binäre Operation x/y, entsprechend der Abteilung (xy) definiert werden, passende Eigenschaften befriedigend.

Die Ordnung, in der die Gruppenoperation ausgeführt wird, kann bedeutend sein. Mit anderen Worten braucht das Ergebnis des sich verbindenden Elements mit dem Element b nicht dasselbe Ergebnis wie sich verbindendes Element b mit dem Element a nachzugeben; die Gleichung

:a · b = b · ein

kann nicht immer wahr sein. Diese Gleichung hält immer in der Gruppe von ganzen Zahlen unter der Hinzufügung, weil + b = b + für irgendwelche zwei ganzen Zahlen (commutativity der Hinzufügung). Jedoch hält es in der Symmetrie-Gruppe unten nicht immer. Gruppen für der die Gleichung a · b = b · immer hält werden abelian (zu Ehren von Niels Abel) genannt. So ist die Hinzufügungsgruppe der ganzen Zahl abelian, aber die Symmetrie-Gruppe in der folgenden Abteilung ist nicht.

Der Satz G wird den zu Grunde liegenden Satz der Gruppe genannt. Häufig wird der zu Grunde liegende Satz der Gruppe G als ein Kurzwort für die Gruppe verwendet. Entlang denselben Linien werden Schnellschrift-Ausdrücke wie "eine Teilmenge der Gruppe G" oder "eines Elements der Gruppe G" verwendet, wenn, was wirklich gemeint wird, "eine Teilmenge des zu Grunde liegenden Satzes G der Gruppe" oder "eines Elements des zu Grunde liegenden Satzes G der Gruppe" ist. Gewöhnlich ist es vom Zusammenhang klar, ob sich ein Symbol wie G auf eine Gruppe oder auf einen zu Grunde liegenden Satz bezieht.

Das zweite Beispiel: eine Symmetrie-Gruppe

Zwei Zahlen im Flugzeug sind kongruent, wenn man ins andere Verwenden einer Kombination von Folgen, Nachdenken und Übersetzungen geändert werden kann. Jede Zahl ist zu sich kongruent. Jedoch sind einige Zahlen zu sich auf mehr als eine Weise kongruent, und diese Extrakongruenzen werden symmetries genannt. Ein Quadrat hat acht symmetries. Diese sind:

:* die Identitätsoperation, alles unveränderten, angezeigten id verlassend;

:* Folgen des Quadrats um sein Zentrum durch 90 ° Recht, 180 ° Recht und 270 ° Recht, das durch r, r und r beziehungsweise angezeigt ist;

:* Nachdenken über die vertikale und horizontale mittlere Linie (f und f), oder durch die zwei Diagonalen (f und f).

Diese symmetries werden durch Funktionen vertreten. Jede dieser Funktionen sendet einen Punkt im Quadrat zum entsprechenden Punkt unter der Symmetrie. Zum Beispiel sendet r einen Punkt an seine Folge 90 ° Recht um das Zentrum des Quadrats, und f sendet einen Punkt an sein Nachdenken über die vertikale mittlere Linie des Quadrats. Das Bestehen von zwei dieser Symmetrie-Funktionen gibt eine andere Symmetrie-Funktion. Diese symmetries beschließen, dass eine Gruppe die zweiflächige Gruppe des Grads 4 genannt hat und D angezeigt hat. Der zu Grunde liegende Satz der Gruppe ist der obengenannte Satz von Symmetrie-Funktionen, und die Gruppenoperation ist Funktionszusammensetzung. Zwei symmetries werden durch das Bestehen von ihnen als Funktionen, d. h. die Verwendung der ersten auf das Quadrat und der zweiten zum Ergebnis der ersten Anwendung verbunden. Das Ergebnis, den ersten a und dann b durchzuführen, wird symbolisch vom Recht bis linken als geschrieben

:b · ("wenden die Symmetrie b nach dem Durchführen der Symmetrie" an).

Die Notation des Rechts-zu-link ist dieselbe Notation, die für die Zusammensetzung von Funktionen verwendet wird.

Der Gruppentisch auf dem Recht verzeichnet die Ergebnisse aller dieser möglichen Zusammensetzungen. Zum Beispiel sind das Drehen durch 270 ° Recht (r) und dann das Schnipsen horizontal (f) dasselbe als das Durchführen eines Nachdenkens entlang der Diagonale (f). Das Verwenden der obengenannten Symbole, die im Blau im Gruppentisch hervorgehoben sind:

:f · r = f. </li>

In Anbetracht dieses Satzes von symmetries und der beschriebenen Operation können die Gruppenaxiome wie folgt verstanden werden:

:r · f = f,

d. h. das Drehen von 270 ° Recht nach dem Schnipsen kommt horizontal dem Schnipsen entlang der Gegendiagonale (f) gleich. Tatsächlich gibt jede andere Kombination von zwei symmetries noch eine Symmetrie, wie mit dem Gruppentisch überprüft werden kann.

: (a · b) · c = a · (b · c)

Mittel, dass diese zwei Wege dasselbe, d. h., ein Produkt von vielen Gruppenelementen sind, können in jeder Ordnung vereinfacht werden.

Zum Beispiel, (f · f) · r = f · (f · r) kann mit dem Gruppentisch am Recht überprüft werden

:

Während associativity für den symmetries des Quadrats und die Hinzufügung von Zahlen wahr ist, ist es für alle Operationen nicht wahr. Zum Beispiel ist die Subtraktion von Zahlen nicht assoziativ: (7 &minus; 3) &minus; 2 = 2 ist nicht dasselbe als 7 &minus; (3 &minus; 2) = 6.

: id · = a,

: a · id = a. </li>

:f · f = id,

:r · r = r · r = id. </li>

</ol>

Im Gegensatz zur Gruppe von ganzen Zahlen oben, wo die Ordnung der Operation irrelevant ist, ist es wirklich in D von Bedeutung: f · r = f, aber r · f = f. Mit anderen Worten ist D nicht abelian, der die Gruppenstruktur schwieriger macht als die ganzen Zahlen eingeführt zuerst.

Geschichte

Das moderne Konzept einer abstrakten Gruppe hat sich aus mehreren Feldern der Mathematik entwickelt. Die ursprüngliche Motivation für die Gruppentheorie war die Suche nach Lösungen polynomischer Gleichungen des Grads höher als 4. Der französische Mathematiker des 19. Jahrhunderts Évariste Galois, vorherige Arbeit von Paolo Ruffini und Joseph-Louis Lagrange erweiternd, hat ein Kriterium für die Lösbarkeit einer besonderen polynomischen Gleichung in Bezug auf die Symmetrie-Gruppe seiner Wurzeln (Lösungen) gegeben. Die Elemente solch einer Gruppe von Galois entsprechen bestimmten Versetzungen der Wurzeln. Zuerst wurden die Ideen von Galois von seinen Zeitgenossen zurückgewiesen, und nur postum veröffentlicht. Allgemeinere Versetzungsgruppen wurden insbesondere von Augustin Louis Cauchy untersucht. Arthur Cayley Auf der Theorie von Gruppen als je nachdem gibt die symbolische Gleichung θ = 1 (1854) die erste abstrakte Definition einer begrenzten Gruppe.

Geometrie war ein zweites Feld, in dem Gruppen systematisch, besonders Symmetrie-Gruppen als ein Teil des 1872-Programms von Erlangen von Felix Klein verwendet wurden. Nachdem neuartige Geometrie wie hyperbolische und projektive Geometrie erschienen war, hat Klein Gruppentheorie verwendet, um sie auf eine zusammenhängendere Weise zu organisieren. Weiter diese Ideen vorbringend, Liegen Sophus hat die Studie von Lüge-Gruppen 1884 gegründet.

Das dritte Feld, das zu Gruppentheorie beiträgt, war Zahlentheorie. Bestimmte abelian Gruppenstrukturen waren implizit in der mit der Zahl theoretischen Arbeit von Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae (1798), und ausführlicher von Leopold Kronecker verwendet worden. 1847 hat Ernst Kummer frühe Versuche geführt, den Letzten Lehrsatz von Fermat einem Höhepunkt zu beweisen, indem er Gruppen entwickelt hat, die factorization in Primzahlen beschreiben.

Die Konvergenz dieser verschiedenen Quellen in eine gleichförmige Theorie von Gruppen hat mit dem Traité des substitutions et des équations algébriques von Camille Jordan (1870) angefangen. Walther von Dyck (1882) hat die erste Behauptung der modernen Definition einer abstrakten Gruppe gegeben. Bezüglich des 20. Jahrhunderts haben Gruppen breite Anerkennung durch die Pionierarbeit von Ferdinand Georg Frobenius und William Burnside gewonnen, der an der Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen, der Moduldarstellungstheorie von Richard Brauer und den Zeitungen von Issai Schur gearbeitet hat. Die Theorie von Lüge-Gruppen und mehr allgemein lokal kompakten Gruppen wurde von Hermann Weyl, Élie Cartan und vielen anderen gestoßen. Sein algebraischer Kollege, die Theorie von algebraischen Gruppen, wurde zuerst von Claude Chevalley (vom Ende der 1930er Jahre) und später durch die Angelarbeit von Armand Borel und Jacques Tits gestaltet.

Die Universität von Chicagos 1960-61 Gruppentheorie-Jahr hat Gruppentheoretiker wie Daniel Gorenstein, John G. Thompson und Walter Feit zusammengebracht, das Fundament einer Kollaboration legend, die, mit dem Eingang von vielen anderen Mathematikern, alle begrenzten einfachen Gruppen 1982 klassifiziert hat. Dieses Projekt hat vorherige mathematische Versuche durch seine bloße Größe, sowohl in der Länge des Beweises als auch in Zahl von Forschern überschritten. Forschung ist andauernd, um den Beweis dieser Klassifikation zu vereinfachen. An diesen Tagen ist Gruppentheorie noch ein hoch aktiver mathematischer Zweig, der entscheidend viele andere Felder zusammenpresst.

Elementare Folgen der Gruppenaxiome

Grundlegende Tatsachen über alle Gruppen, die direkt bei den Gruppenaxiomen erhalten werden können, werden unter der elementaren Gruppentheorie allgemein untergeordnet. Zum Beispiel zeigen wiederholte Anwendungen des associativity Axioms dass die Unzweideutigkeit von

:a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

verallgemeinert zu mehr als drei Faktoren. Weil das andeutet, dass Parenthesen überall innerhalb solch einer Reihe von Begriffen eingefügt werden können, werden Parenthesen gewöhnlich weggelassen.

Die Axiome können geschwächt, um nur die Existenz einer linken Identität zu behaupten, und Gegenteile verlassen werden. Wie man zeigen kann, sind beide wirklich zweiseitig, so ist die resultierende Definition zu ein gegebener oben gleichwertig.

Einzigartigkeit des Identitätselements und der Gegenteile

Zwei wichtige Folgen der Gruppenaxiome sind die Einzigartigkeit des Identitätselements und die Einzigartigkeit von umgekehrten Elementen. Es kann nur ein Identitätselement in einer Gruppe geben, und jedes Element in einer Gruppe hat genau ein umgekehrtes Element. So ist es üblich, um von der Identität und dem Gegenteil eines Elements zu sprechen.

Um die Einzigartigkeit eines umgekehrten Elements von a zu beweisen, nehmen Sie an, dass ein Haben von zwei Gegenteilen, b und c in einer Gruppe angezeigt hat (G, ·). Dann

:

Die zwei extremal nennen b, und c sind gleich, da sie durch eine Kette von Gleichheiten verbunden werden. Mit anderen Worten gibt es nur ein umgekehrtes Element von a. Ähnlich, um zu beweisen, dass das Identitätselement einer Gruppe einzigartig ist, nehmen Sie an, dass G eine Gruppe mit zwei Identitätselementen 1 und e ist. Dann 1 = 1 · e = e, folglich 1 und e sind gleich.

Abteilung

In Gruppen ist es möglich, Abteilung durchzuführen: Gegebene Elemente a und b der Gruppe G, es gibt genau eine Lösung x in G zur Gleichung x · = b. Tatsächlich, richtige Multiplikation der Gleichung durch ein Geben der Lösung x = x · a · = b · a. Ähnlich gibt es genau eine Lösung y in G zur Gleichung a · y = b, nämlich y = a · b. Im Allgemeinen braucht x und y nicht zuzustimmen.

Eine Folge davon ist, dass, durch ein Gruppenelement multiplizierend, g eine Bijektion ist. Spezifisch, wenn g ein Element der Gruppe G ist, gibt es eine Bijektion von G bis sich hat verlassene Übersetzung durch g das Senden h  G zu g genannt · h. Ähnlich ist die richtige Übersetzung durch g eine Bijektion von G bis sich, h zu h sendend · g. Wenn G abelian ist, verlassen und richtige Übersetzung durch ein Gruppenelement sind dasselbe.

Grundlegende Konzepte

einen Satz X anzuzeigen, Elemente x, y, und z, oder wechselweise x  X enthaltend, um neu zu formulieren, dass x ein Element X ist. Die Notation bedeutet, dass f ein Funktionszuweisen jedem Element X ein Element von Y. ist

Um Gruppen außer dem Niveau von bloßen symbolischen Manipulationen als oben zu verstehen, müssen mehr Strukturkonzepte verwendet werden. Es gibt einen Begriffsgrundsatz, der allen folgenden Begriffen unterliegt: Um die Struktur auszunutzen, die von Gruppen angeboten ist (der untergeht, "strukturlos" seiend, haben nicht), mit Gruppen verbundene Aufbauten müssen mit der Gruppenoperation vereinbar sein. Diese Vereinbarkeit äußert sich in den folgenden Begriffen auf verschiedene Weisen. Zum Beispiel können Gruppen mit einander über Funktionen genannt Gruppenhomomorphismus verbunden sein. Durch den erwähnten Grundsatz sind sie erforderlich, die Gruppenstrukturen in einem genauen Sinn zu respektieren. Die Struktur von Gruppen kann auch durch das Brechen von ihnen in Stücke genannt Untergruppen und Quotient-Gruppen verstanden werden. Der Grundsatz, "Strukturen" — ein wiederkehrendes Thema in der Mathematik überall zu bewahren — ist ein Beispiel des Arbeitens in einer Kategorie, in diesem Fall die Kategorie von Gruppen.

Gruppenhomomorphismus

Gruppenhomomorphismus ist Funktionen diese Konserve-Gruppenstruktur. Eine Funktion a: G  H zwischen zwei Gruppen (G, ·), und (H, *) wird einen Homomorphismus wenn die Gleichung genannt

:a (g · k) = (g) * (k)

hält für alle Elemente g, k in G. Mit anderen Worten ist das Ergebnis dasselbe, wenn es die Gruppenoperation danach oder vor der Verwendung der Karte a durchführt. Diese Voraussetzung stellt dass (1) = 1, und auch (g) = (g) für den ganzen g in G sicher. So respektiert ein Gruppenhomomorphismus die ganze Struktur von durch die Gruppenaxiome zur Verfügung gestelltem G.

Zwei Gruppen G und H werden isomorph genannt, wenn dort Gruppenhomomorphismus a bestehen: G  H und b: H  G, solch, dass Verwendung der zwei Funktionen nacheinander in jeder der zwei möglichen Ordnungen die Identitätsfunktionen von G und H gibt. D. h. (b (h)) = h und b ((g)) = g für jeden g in G und h in H. Aus einem abstrakten Gesichtspunkt tragen isomorphe Gruppen dieselbe Information. Zum Beispiel, dass g beweisend · g = 1 für ein Element g G ist zum Beweis gleichwertig, der (g) * (g) = 1, weil Verwendung zur ersten Gleichheit das zweite, und Verwendung b zum zweiten nachgibt, das erste zurückgibt.

Untergruppen

Informell ist eine Untergruppe eine Gruppe H enthalten innerhalb einer größeren, G. Konkret wird das Identitätselement von G in H enthalten, und wann auch immer h und h in H sind, dann so sind und h, so bilden die Elemente von H, der mit der Gruppenoperation auf G ausgestattet ist, der auf H eingeschränkt ist, tatsächlich eine Gruppe.

Im Beispiel oben setzen die Identität und die Folgen eine Untergruppe R = {id, r, r, r}, hervorgehoben im Rot im Gruppentisch oben ein: Irgendwelche zwei zusammengesetzten Folgen sind noch eine Folge, und eine Folge kann durch aufgemacht werden (d. h. ist zu umgekehrt) die Ergänzungsfolgen 270 ° für 90 °, 180 ° für 180 ° und 90 ° für 270 ° (bemerken Sie, dass die Folge in der entgegengesetzten Richtung nicht definiert wird). Der Untergruppe-Test ist eine notwendige und genügend Bedingung für eine Teilmenge H einer Gruppe G, um eine Untergruppe zu sein: Es ist genügend, das für alle Elemente g, h  H zu überprüfen. Das Wissen der Untergruppen ist im Verstehen der Gruppe als Ganzes wichtig.

In Anbetracht jeder Teilmenge S einer Gruppe G besteht die durch S erzeugte Untergruppe aus Produkten von Elementen von S und ihren Gegenteilen. Es ist die kleinste Untergruppe von G, der S enthält. Im einleitenden Beispiel oben besteht die Untergruppe, die durch r und f erzeugt ist, aus diesen zwei Elementen, dem Identitätselement id und f = f · r. Wieder ist das eine Untergruppe, weil das Kombinieren irgendwelcher zwei dieser vier Elemente oder ihrer Gegenteile (die, in diesem besonderen Fall, diesen denselben Elementen sind) ein Element dieser Untergruppe nachgibt.

Cosets

In vielen Situationen ist es wünschenswert, zwei Gruppenelemente als dasselbe zu betrachten, wenn sie sich durch ein Element einer gegebenen Untergruppe unterscheiden. Zum Beispiel, in D oben, sobald ein Flip durchgeführt wird, kommt das Quadrat nie zur r Konfiguration zurück, indem es gerade die Folge-Operationen (und keine weiteren Flips) angewandt wird, d. h. die Folge-Operationen sind für die Frage irrelevant, ob ein Flip durchgeführt worden ist. Cosets werden verwendet, um diese Scharfsinnigkeit zu formalisieren: Eine Untergruppe H definiert verlassen und Recht cosets, vom als Übersetzungen von H durch willkürliche Gruppenelemente g gedacht werden kann. In symbolischen Begriffen sind der verlassene und das Recht cosets H, der g enthält

:gH = {g · h:h  H\und Hg = {h · g:h  H\, beziehungsweise.

Die cosets jeder Untergruppe H bilden eine Teilung von G; d. h. die Vereinigung von allen ist abgereist cosets ist G gleich, und zwei ist abgereist cosets sind entweder gleich oder haben eine leere Kreuzung. Der erste Fall gH = gH geschieht genau, wenn, d. h. wenn sich die zwei Elemente durch ein Element von H unterscheiden. Ähnliche Rücksichten gelten nach rechts cosets H. Der verlassene und das Recht cosets H können oder können nicht gleich sein. Wenn sie, d. h. für den ganzen g in G, gH = Hg sind, dann, wie man sagt, ist H eine normale Untergruppe.

In D, der einleitenden Symmetrie-Gruppe, sind die linken cosets gR der Untergruppe R, aus den Folgen bestehend, R entweder gleich, wenn g ein Element von R selbst, oder sonst gleich U = fR = {f, f, f, f} (hervorgehoben im Grün) ist. Die Untergruppe R ist auch, weil fR = U = Rf und ähnlich für jedes Element außer f normal.

Quotient-Gruppen

In einigen Situationen kann der Satz von cosets einer Untergruppe mit einem Gruppengesetz ausgestattet sein, eine Quotient-Gruppe oder Faktor-Gruppe gebend. Dafür, um möglich zu sein, muss die Untergruppe normal sein. In Anbetracht jeder normalen Untergruppe N wird die Quotient-Gruppe durch definiert

:G / N = {gN, g  G}, "G modulo N".

Dieser Satz erbt eine Gruppenoperation (hat manchmal coset Multiplikation oder coset Hinzufügung genannt) von der ursprünglichen Gruppe G: (gN) · (hN) = (gh) N für den ganzen g und h in G. Diese Definition wird durch die Idee motiviert (selbst ein Beispiel von allgemeinen Strukturrücksichten, die oben entworfen sind), dass die Karte, die zu jedem Element g seinen coset gN vereinigt, ein Gruppenhomomorphismus, oder durch allgemeine abstrakte Rücksichten sein, universale Eigenschaften genannt hat. Der coset eN = N Aufschläge als die Identität in dieser Gruppe und das Gegenteil von gN in der Quotient-Gruppe ist (gN) = (g) N.

Die Elemente der Quotient-Gruppe sind R selbst, der die Identität und U = fR vertritt. Die Gruppenoperation auf dem Quotienten wird am Recht gezeigt. Zum Beispiel, U · U = fR · fR = (f · f) R = R. Beide die Untergruppe R = {id, r, r, r}, sowie der entsprechende Quotient ist abelian, wohingegen D nicht abelian ist. Bauende größere Gruppen durch kleinere, wie D von seiner Untergruppe R und dem Quotienten werden durch das genannte halbdirekte Produkt eines Begriffs abstrahiert.

Quotient-Gruppen und Untergruppen bilden zusammen eine Weise, jede Gruppe durch seine Präsentation zu beschreiben: Jede Gruppe ist der Quotient der freien Gruppe über die Generatoren der Gruppe, quotiented durch die Untergruppe von Beziehungen. Die zweiflächige Gruppe D kann zum Beispiel durch zwei Elemente r und f erzeugt werden (zum Beispiel, r = r, die richtige Folge und f = f das vertikale (oder irgendwelcher anderer) Flip), was bedeutet, dass jede Symmetrie des Quadrats eine begrenzte Zusammensetzung dieser zwei symmetries oder ihrer Gegenteile ist. Zusammen mit den Beziehungen

:r = f = (r · f) = 1,

die Gruppe wird völlig beschrieben. Eine Präsentation einer Gruppe kann auch verwendet werden, um den Graphen von Cayley, ein Gerät zu bauen, das verwendet ist, um getrennte Gruppen grafisch festzunehmen.

Sub - und Quotient-Gruppen sind folgendermaßen verbunden: Eine Teilmenge H G kann als eine Injective-Karte gesehen werden, d. h. jedes Element des Ziels hat höchstens ein Element, das dazu kartografisch darstellt. Die Kopie zu Injective-Karten ist Surjective-Karten (jedes Element des Ziels wird auf kartografisch dargestellt), wie die kanonische Karte. Die Interpretation der Untergruppe und Quotienten im Licht dieses Homomorphismus betont, dass das zu diesen Definitionen innewohnende Strukturkonzept auf in der Einführung angespielt hat. Im Allgemeinen ist Homomorphismus weder injective noch surjective. Kern und Image des Gruppenhomomorphismus und des ersten Isomorphismus-Lehrsatzes richten dieses Phänomen.

Beispiele und Anwendungen

Beispiele und Anwendungen von Gruppen sind im Überfluss. Ein Startpunkt ist die Gruppe Z ganzer Zahlen mit der Hinzufügung als Gruppenoperation, die oben eingeführt ist. Wenn statt der Hinzufügungsmultiplikation betrachtet wird, erhält man multiplicative Gruppen. Diese Gruppen sind Vorgänger von wichtigen Aufbauten in der abstrakten Algebra.

Gruppen werden auch in vielen anderen mathematischen Gebieten angewandt. Mathematische Gegenstände werden häufig durch das Verbinden von Gruppen zu ihnen und das Studieren der Eigenschaften der entsprechenden Gruppen untersucht. Zum Beispiel hat Henri Poincaré gegründet, was jetzt algebraische Topologie durch das Einführen der grundsätzlichen Gruppe genannt wird. Mittels dieser Verbindung übersetzen topologische Eigenschaften wie Nähe und Kontinuität in Eigenschaften von Gruppen. Zum Beispiel werden Elemente der grundsätzlichen Gruppe durch Schleifen vertreten. Das zweite Image am Recht zeigt einige Schleifen in einem Flugzeug minus ein Punkt. Die blaue Schleife wird ungültig-homotopic betrachtet (und so irrelevant), weil sie unaufhörlich zu einem Punkt zusammenschrumpfen gelassen werden kann. Die Anwesenheit des Loches hält die Orangenschleife davon ab, zu einem Punkt zusammenschrumpfen gelassen zu werden. Die grundsätzliche Gruppe des Flugzeugs mit einem gelöschten Punkt erweist sich, zyklisch, erzeugt durch die Orangenschleife (oder jede andere Schleife zu sein unendlich, die sich einmal um das Loch windet). Auf diese Weise entdeckt die grundsätzliche Gruppe das Loch.

In neueren Anwendungen ist der Einfluss auch umgekehrt worden, um geometrische Aufbauten durch einen gruppentheoretischen Hintergrund zu motivieren. In einer ähnlichen Ader verwendet geometrische Gruppentheorie geometrische Konzepte zum Beispiel in der Studie von Hyperbelgruppen. Weitere Zweige, die entscheidend Gruppen anwenden, schließen algebraische Geometrie und Zahlentheorie ein.

Zusätzlich zu den obengenannten theoretischen Anwendungen bestehen viele praktische Anwendungen von Gruppen. Geheimschrift verlässt sich auf die Kombination der abstrakten Gruppentheorie-Annäherung zusammen mit algorithmical Kenntnissen, die in der rechenbetonten Gruppentheorie, insbesondere wenn durchgeführt, für begrenzte Gruppen erhalten sind. Anwendungen der Gruppentheorie werden auf die Mathematik nicht eingeschränkt; Wissenschaften wie Physik, Chemie und Informatik ziehen aus dem Konzept einen Nutzen.

Zahlen

Viele Zahl-Systeme, wie die ganzen Zahlen und der rationals genießen eine natürlich gegebene Gruppenstruktur. In einigen Fällen, solcher als mit dem rationals, verursachen sowohl Hinzufügungs-als auch Multiplikationsoperationen Gruppenstrukturen. Solche Zahl-Systeme sind Vorgänger zu allgemeineren algebraischen Strukturen, die als Ringe und Felder bekannt sind. Weitere abstrakte algebraische Konzepte wie Module, Vektorräume und Algebra bilden auch Gruppen.

Ganze Zahlen

Die Gruppe von ganzen Zahlen Z unter der Hinzufügung, angezeigt (Z, +), ist oben beschrieben worden. Die ganzen Zahlen, mit der Operation der Multiplikation statt der Hinzufügung, (Z, ·) bilden keine Gruppe. Der Verschluss, associativity und die Identitätsaxiome sind zufrieden, aber Gegenteile bestehen nicht: Zum Beispiel, = 2 ist eine ganze Zahl, aber die einzige Lösung der Gleichung a · b = 1 ist in diesem Fall b = 1/2, der eine rationale Zahl, aber nicht eine ganze Zahl ist. Folglich hat nicht jedes Element von Z ein (multiplicative) Gegenteil.

Rationals

Der Wunsch nach der Existenz von multiplicative Gegenteilen deutet an, Bruchteile zu denken

:

Bruchteile von ganzen Zahlen (mit der b Nichtnull) sind als rationale Zahlen bekannt. Der Satz aller dieser Bruchteile wird Q allgemein angezeigt. Es gibt noch ein geringes Hindernis für den rationals mit der Multiplikation, eine Gruppe seiend: Weil die rationale Zahl 0 kein multiplicative Gegenteil hat (d. h. es gibt keinen solchen x dass x · 0 = 1), (Q, ·) ist noch immer nicht eine Gruppe.

Jedoch bildet der Satz aller rationalen Nichtnullzahlen Q \{0} = {q  Q, q  0} wirklich eine abelian Gruppe unter der Multiplikation, angezeigt. Associativity und Identitätselement-Axiome folgen aus den Eigenschaften von ganzen Zahlen. Die Verschluss-Voraussetzung hält noch nach dem Entfernen der Null für wahr, weil das Produkt von zwei Nichtnull rationals nie Null ist. Schließlich ist das Gegenteil von a/b b/a, deshalb ist das Axiom des umgekehrten Elements zufrieden.

Die rationalen Zahlen (einschließlich 0) bilden auch eine Gruppe unter der Hinzufügung. Das Verflechten von Hinzufügungs- und Multiplikationsoperationen gibt mehr komplizierte Strukturen genannt Ringe nach und — wenn Abteilung, solcher als in Q — Felder möglich ist, die eine Hauptposition in der abstrakten Algebra besetzen. Gruppe theoretische Argumente unterliegt deshalb Teilen der Theorie jener Entitäten.

Ganze

Nichtnullzahlen modulo eine Blüte

Für jede Primzahl p stattet Modularithmetik die multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo p aus. Seine Elemente sind ganze Zahlen, die durch p, überlegter modulo p nicht teilbar sind, d. h. zwei Zahlen werden gleichwertig betrachtet, wenn ihr Unterschied durch p teilbar ist. Zum Beispiel, wenn p = 5, es genau vier Gruppenelemente 1, 2, 3, 4 gibt: Vielfachen 5 werden ausgeschlossen und 6, und &minus;4 sind beide zu 1 usw. gleichwertig. Die Gruppenoperation wird durch die Multiplikation gegeben. Deshalb, 4 · 4 = 1, weil das übliche Produkt 16 zu 1, für 5 gleichwertig ist, teilt sich 16 &minus; 1 = 15, angezeigter

:16  1 (mod 5).

Der primality von p stellt sicher, dass das Produkt von zwei ganzen Zahlen, von denen keine durch p teilbar ist, durch p auch nicht teilbar ist, folglich wird der angezeigte Satz von Klassen unter der Multiplikation geschlossen. Das Identitätselement ist 1 wie gewöhnlich für eine multiplicative Gruppe, und der associativity folgt aus dem entsprechenden Eigentum von ganzen Zahlen. Schließlich verlangt das umgekehrte Element-Axiom, dass gegeben eine ganze Zahl nicht teilbar durch p, dort eine ganze Zahl b solch dass besteht

:a · b  1 (mod p), d. h. p teilt den Unterschied.

Das Gegenteil b kann durch das Verwenden der Identität von Bézout und der Tatsache gefunden werden, dass der größte allgemeine Teiler 1 gleich ist. Im Fall p = 5 oben ist das Gegenteil 4 4, und das Gegenteil 3 ist 2, als 3 · 2 = 6  1 (mod 5). Folglich werden alle Gruppenaxiome erfüllt. Wirklich ist dieses Beispiel dem ähnlich (Q\{0}, ·) oben, weil es sich erweist, die multiplicative Gruppe von Nichtnullelementen im begrenzten Feld F zu sein, hat F angezeigt. Diese Gruppen sind für die Geheimschrift des öffentlichen Schlüssels entscheidend.

Zyklische Gruppen

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe alle sind dessen Elemente Mächte (wenn die Gruppenoperation zusätzlich geschrieben wird, kann der Begriff 'vielfacher' gebraucht werden), eines besonderen Elements a. In der multiplicative Notation sind die Elemente der Gruppe:

:... a, a, a, = e, a, a, a...,

wo ein Mittel a · a, und Standplätze für a · a · = (a · a · a) usw. Solch ein Element zu sein, hat einen Generator oder ein primitives Element der Gruppe genannt.

Ein typisches Beispiel für diese Klasse von Gruppen ist die Gruppe der n-ten komplizierten Wurzeln der Einheit, die durch komplexe Zahlen z gegeben ist, z = 1 befriedigend (und dessen Operation Multiplikation ist). Jede zyklische Gruppe mit n Elementen ist zu dieser Gruppe isomorph. Mit einer Feldtheorie, wie man zeigen kann, ist die Gruppe F zyklisch: Zum Beispiel, wenn p = 5, 3 ein Generator seitdem 3 = 3, 3 = 9  4, 3  2 und 3  1 ist.

Einige zyklische Gruppen haben eine unendliche Zahl von Elementen. In diesen Gruppen, für jedes Nichtnullelement a, alle Mächte, verschieden zu sein; trotz des Namens "zyklische Gruppe" fahren die Mächte der Elemente nicht Rad. Eine unendliche zyklische Gruppe ist zu (Z, +), die Gruppe von ganzen Zahlen unter der Hinzufügung isomorph, die oben eingeführt ist. Da diese zwei Prototypen beide abelian sind, so ist jede zyklische Gruppe.

Die Studie von abelian Gruppen ist einschließlich des Hauptsatzes begrenzt erzeugter abelian Gruppen ziemlich reif; und diese Lage der Dinge widerspiegelnd, beschreiben viele gruppenzusammenhängende Begriffe, wie Zentrum und Umschalter, das Ausmaß, in dem eine gegebene Gruppe nicht abelian ist.

Symmetrie-Gruppen

Symmetrie-Gruppen sind Gruppen, die aus symmetries gegebener mathematischer Gegenstände bestehen — sie der geometrischen Natur, wie die einleitende Symmetrie-Gruppe des Quadrats, oder von der algebraischen Natur, wie polynomische Gleichungen und ihre Lösungen sein. Begrifflich kann von Gruppentheorie als die Studie der Symmetrie gedacht werden. Symmetries in der Mathematik vereinfachen außerordentlich die Studie von geometrischen oder analytischen Gegenständen. Wie man sagt, folgt eine Gruppe einem anderen mathematischen Gegenstand X, wenn jedes Gruppenelement etwas Operation auf X vereinbar zum Gruppengesetz durchführt. Im niedrigstwertigen Beispiel unten ein Element des Auftrags 7 (2,3,7) folgt Dreieck-Gruppe mit Ziegeln zu decken, indem sie die hervorgehobenen verzogenen Dreiecke (und die anderen, auch) permutiert. Durch eine Gruppenhandlung wird das Gruppenmuster mit der Struktur des Gegenstands verbunden, der wird folgt.

In chemischen Feldern, wie Kristallographie, beschreiben Raumgruppen und Punkt-Gruppen molekularen symmetries und Kristall symmetries. Diese symmetries unterliegen dem chemischen und physischen Verhalten dieser Systeme, und Gruppentheorie ermöglicht Vereinfachung des Quants mechanische Analyse dieser Eigenschaften. Zum Beispiel wird Gruppentheorie verwendet, um zu zeigen, dass optische Übergänge zwischen bestimmten Quant-Niveaus einfach wegen der Symmetrie der beteiligten Staaten nicht vorkommen können.

Nicht nur sind Gruppen nützlich, um die Implikationen von symmetries in Molekülen zu bewerten, aber überraschend sagen sie auch voraus, dass Moleküle manchmal Symmetrie ändern können. Die Jahn-Erzähler-Wirkung ist eine Verzerrung eines Moleküls der hohen Symmetrie, wenn es einen besonderen Boden-Staat der niedrigeren Symmetrie von einer Reihe möglicher Boden-Staaten annimmt, die mit einander durch die Symmetrie-Operationen des Moleküls verbunden sind.

Ebenfalls hilft Gruppentheorie, die Änderungen in physikalischen Eigenschaften vorauszusagen, die vorkommen, wenn ein Material einen Phase-Übergang zum Beispiel von einem kubischen bis eine vierflächige kristallene Form erlebt. Ein Beispiel ist eisenelektrische Materialien, wo die Änderung von einem paraelektrischen bis einen eisenelektrischen Staat bei der Temperatur von Curie vorkommt und mit einer Änderung von der hohen Symmetrie paraelektrischer Staat zur niedrigeren Symmetrie ferroelectic Staat verbunden ist, der durch eine so genannte weiche phonon Weise, eine Schwinggitter-Weise begleitet ist, die zur Nullfrequenz beim Übergang geht.

Solches spontanes Symmetrie-Brechen hat weitere Anwendung in der elementaren Partikel-Physik gefunden, wo sein Ereignis mit dem Äußeren von Goldstone bosons verbunden ist.

Begrenzte Symmetrie-Gruppen wie die Gruppen von Mathieu werden im Codieren der Theorie verwendet, die der Reihe nach in der Fehlerkorrektur von übersandten Daten, und in CD-Spielern angewandt wird. Eine andere Anwendung ist Differenzialtheorie von Galois, die Funktionen charakterisiert, die Antiableitungen einer vorgeschriebenen Form haben, gruppentheoretische Kriterien dafür gebend, wenn Lösungen bestimmter Differenzialgleichungen wohl erzogen sind. Geometrische Eigenschaften, die stabil unter Gruppenhandlungen bleiben, werden in (der geometrischen) invariant Theorie untersucht.

Allgemeine geradlinige Gruppe und Darstellungstheorie

Matrixgruppen bestehen aus matrices zusammen mit der Matrixmultiplikation. Die allgemeine geradlinige Gruppe besteht GL (n, R) aus dem ganzen invertible n-by-n matrices mit echten Einträgen. Seine Untergruppen werden Matrixgruppen oder geradlinige Gruppen genannt. Das zweiflächige Gruppenbeispiel, das oben erwähnt ist, kann als eine (sehr kleine) Matrixgruppe angesehen werden. Eine andere wichtige Matrixgruppe ist die spezielle orthogonale Gruppe SO (n). Es beschreibt alle möglichen Folgen in n Dimensionen. Über Euler-Winkel wird Folge matrices in der Computergrafik verwendet.

Darstellungstheorie ist sowohl eine Anwendung des Gruppenkonzepts als auch wichtig für ein tieferes Verstehen von Gruppen. Es studiert die Gruppe durch seine Gruppenhandlungen auf anderen Räumen. Eine breite Klasse von Gruppendarstellungen ist geradlinige Darstellungen, d. h. die Gruppe folgt einem Vektorraum, wie der dreidimensionale Euklidische Raum R. Eine Darstellung von G auf einem n-dimensional echten Vektorraum ist einfach ein Gruppenhomomorphismus

:ρ: G  GL (n, R)

von der Gruppe zur allgemeinen geradlinigen Gruppe. Auf diese Weise übersetzt die Gruppenoperation, die abstrakt gegeben werden kann, zur Multiplikation von matrices das Bilden davon zugänglich für die ausführliche Berechnung.

In Anbetracht einer Gruppenhandlung gibt das weiter bedeutet, den Gegenstand zu studieren, der wird folgt. Andererseits gibt es auch Information über die Gruppe nach. Gruppendarstellungen sind ein Ordnungsprinzip in der Theorie von begrenzten Gruppen, Liegen Gruppen, algebraische Gruppen und topologische Gruppen, besonders (lokal) kompakte Gruppen.

Gruppen von Galois

Gruppen von Galois sind entwickelt worden, um zu helfen, polynomische Gleichungen zu lösen, indem sie ihre Symmetrie-Eigenschaften gewinnen. Zum Beispiel werden die Lösungen der quadratischen Gleichungsaxt + bx + c = 0 durch gegeben

:

"+" und "&minus wert seiend;" im Ausdruck, d. h. dem Permutieren der zwei Lösungen der Gleichung kann als eine (sehr einfache) Gruppenoperation angesehen werden. Ähnliche Formeln sind für kubische und quartic Gleichungen bekannt, aber bestehen im Allgemeinen für den Grad 5 und höher nicht. Abstrakte Eigenschaften von Gruppen von Galois haben mit Polynomen verkehrt (insbesondere ihre Lösbarkeit) geben ein Kriterium für Polynome, die alle ihre Lösungen expressible durch Radikale, d. h. Lösungen expressible haben, allein Hinzufügung, Multiplikation verwendend, und ähnlich der Formel oben einwurzelt.

Das Problem kann durch die Verschiebung zur Feldtheorie und das Betrachten des zerreißenden Feldes eines Polynoms befasst werden. Moderne Galois Theorie verallgemeinert den obengenannten Typ von Gruppen von Galois zu Felderweiterungen und gründet — über den Hauptsatz der Theorie von Galois — eine genaue Beziehung zwischen Feldern und Gruppen, wieder die Allgegenwart von Gruppen in der Mathematik unterstreichend.

Begrenzte Gruppen

Eine Gruppe wird begrenzt genannt, wenn sie eine begrenzte Zahl der Elemente hat. Die Zahl der Elemente wird die Ordnung der Gruppe genannt. Eine wichtige Klasse ist die symmetrischen Gruppen S, die Gruppen von Versetzungen von N Briefen. Zum Beispiel ist die symmetrische Gruppe auf 3 Briefen S die Gruppe, die aus der ganzen möglichen Einrichtung des drei Brief-Abc besteht, d. h. enthält das Element-Abc, ACB..., bis zu CBA, in ganzen 6 (oder 3 factorial) Elemente. Diese Klasse ist grundsätzlich, insofern als jede begrenzte Gruppe als eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe S für eine passende ganze Zahl N (der Lehrsatz von Cayley) ausgedrückt werden kann. Die Parallele zur Gruppe von symmetries des Quadrats oben, S kann auch als die Gruppe von symmetries eines gleichseitigen Dreiecks interpretiert werden.

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d. h. Anwendung der Operation · zu n Kopien von a. (Wenn · vertritt Multiplikation, dann ein Entsprechen zur n Macht von a.) In unendlichen Gruppen kann solch ein n nicht, in welchem Fall die Ordnung bestehen, zu sein, der gesagt ist, um Unendlichkeit zu sein. Die Ordnung eines Elements kommt der Ordnung der zyklischen durch dieses Element erzeugten Untergruppe gleich. </cite>

Hoch entwickeltere zählende Techniken, zum Beispiel cosets zählend, geben genauere Behauptungen über begrenzte Gruppen nach: Der Lehrsatz von Lagrange stellt fest, dass für eine begrenzte Gruppe G die Ordnung jeder begrenzten Untergruppe H die Ordnung von G teilt. Die Sylow Lehrsätze geben einen teilweisen gegenteiligen.

Die zweiflächige Gruppe (besprochen oben) ist eine begrenzte Gruppe des Auftrags 8. Die Ordnung von r ist 4, wie die Ordnung der Untergruppe R ist, erzeugt es (sieh oben). Die Ordnung der Nachdenken-Elemente f ist usw. 2. Beide Ordnungen teilen sich 8, wie vorausgesagt, durch den Lehrsatz von Lagrange. Die Gruppen F haben oben Ordnung.

Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen

Mathematiker kämpfen häufig um eine ganze Klassifikation (oder Liste) von einem mathematischen Begriff. Im Zusammenhang von begrenzten Gruppen führt dieses Ziel schnell zu schwieriger und tiefer Mathematik. Gemäß dem Lehrsatz von Lagrange sind begrenzte Gruppen des Auftrags p, einer Primzahl, notwendigerweise zyklische (abelian) Gruppen Z. Wie man auch zeigen kann, sind Gruppen des Auftrags p abelian, eine Behauptung, die zum Auftrag p, als die non-abelian Gruppe D des Auftrags 8 = 2 über Shows nicht verallgemeinert. Computeralgebra-Systeme können verwendet werden, um kleine Gruppen zu verzeichnen, aber es gibt keine Klassifikation aller begrenzten Gruppen. Eine Zwischenstufe ist die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen. Eine nichttriviale Gruppe wird einfach genannt, wenn seine einzigen normalen Untergruppen die triviale Gruppe und die Gruppe selbst sind. Der Lehrsatz des Jordans-Hölder stellt begrenzte einfache Gruppen als die Bausteine für alle begrenzten Gruppen aus. Auflistung aller begrenzten einfachen Gruppen war ein Hauptzu-Stande-Bringen in der zeitgenössischen Gruppentheorie. 1998 Feldmedaille-Sieger Richard Borcherds ist erfolgreich gewesen, um die monströsen Mondschein-Vermutungen, ein Überraschen und tiefe Beziehung der größten begrenzten einfachen sporadischen Gruppe — der "Ungeheuer-Gruppe" — mit bestimmten Modulfunktionen, einem Stück der klassischen komplizierten Analyse, und Schnur-Theorie, einer Theorie zu beweisen, die angenommen ist, die Beschreibung von vielen physischen Phänomenen zu vereinigen.

Gruppen mit der zusätzlichen Struktur

Viele Gruppen sind gleichzeitig Gruppen und Beispiele anderer mathematischer Strukturen. Auf der Sprache der Kategorie-Theorie sind sie Gruppengegenstände in einer Kategorie, bedeutend, dass sie Gegenstände sind (d. h. Beispiele einer anderen mathematischen Struktur), die mit Transformationen kommen (hat morphisms genannt), die die Gruppenaxiome nachahmen. Zum Beispiel ist jede Gruppe (wie definiert, oben) auch ein Satz, so ist eine Gruppe ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Sätzen.

Topologische Gruppen

Einige topologische Räume können mit einem Gruppengesetz ausgestattet sein. In der Größenordnung vom Gruppengesetz und der Topologie, um zu verweben, so, müssen die Gruppenoperationen dauernde Funktionen sein, d. h. und g muss sich wild nicht ändern, wenn sich g und h nur wenig ändern. Solche Gruppen werden topologische Gruppen genannt, und sie sind die Gruppengegenstände in der Kategorie von topologischen Räumen. Die grundlegendsten Beispiele sind der reals R unter der Hinzufügung, und ähnlich mit jedem anderen topologischen Feld wie die komplexen Zahlen oder p-adic Zahlen. Alle diese Gruppen sind lokal kompakt, so haben sie Maßnahmen von Haar und können über die harmonische Analyse studiert werden. Das ehemalige Angebot ein abstrakter Formalismus von invariant Integralen. Mittel von Invariance, im Fall von reellen Zahlen zum Beispiel:

:

für jeden unveränderlichen c. Matrixgruppen über diese Felder fallen unter diesem Regime, wie Adele-Ringe und adelic algebraische Gruppen tun, die zur Zahlentheorie grundlegend sind. Gruppen von Galois von unendlichen Felderweiterungen wie die absolute Gruppe von Galois können auch mit einer Topologie, der so genannten Topologie von Krull ausgestattet werden, die der Reihe nach zentral ist, um die obengenannte kurz gefasste Verbindung von Feldern und Gruppen zu unendlichen Felderweiterungen zu verallgemeinern. Eine fortgeschrittene Generalisation dieser Idee, die an die Bedürfnisse nach der algebraischen Geometrie angepasst ist, ist die étale grundsätzliche Gruppe.

Lügen Sie Gruppen

Lügen Sie Gruppen (zu Ehren von Sophus Liegen) sind Gruppen, die auch eine mannigfaltige Struktur haben, d. h. sie Räume sind, die lokal einem Euklidischen Raum der passenden Dimension ähnlich sind. Wieder muss die zusätzliche Struktur, hier die mannigfaltige Struktur, vereinbar sein, d. h. die Karten entsprechend der Multiplikation und dem Gegenteil müssen glatt sein.

Ein Standardbeispiel ist die allgemeine geradlinige Gruppe, die oben vorgestellt ist: Es ist eine offene Teilmenge des Raums des ganzen n-by-n matrices, weil es durch die Ungleichheit gegeben wird

:det (A)  0,

wo A eine n-by-n Matrix anzeigt.

Lügen Sie Gruppen sind von grundsätzlicher Wichtigkeit in der Physik: Der Lehrsatz von Noether verbindet dauernden symmetries mit erhaltenen Mengen. Folge, sowie Übersetzungen in der Zeit und Raum ist grundlegender symmetries der Gesetze der Mechanik. Sie können zum Beispiel verwendet werden, um einfache Modelle zu bauen —, sagen wir, axiale Symmetrie einer Situation auferlegend, wird normalerweise zu bedeutender Vereinfachung in den Gleichungen führen, die man lösen muss, um eine physische Beschreibung zur Verfügung zu stellen. Ein anderes Beispiel ist die Transformationen von Lorentz, die Maße der Zeit und Geschwindigkeit von zwei Beobachtern in der Bewegung hinsichtlich einander verbinden. Sie können auf eine rein gruppentheoretische Weise abgeleitet werden, indem sie die Transformationen als eine Rotationssymmetrie des Raums von Minkowski ausdrücken. Die letzten Aufschläge — ohne bedeutende Schwerkraft — als ein Modell der Raumzeit mit der speziellen Relativität. Die volle Symmetrie-Gruppe des Raums von Minkowski, d. h. einschließlich Übersetzungen, ist als die Gruppe von Poincaré bekannt. Durch das obengenannte spielt es eine Angelrolle in der speziellen Relativität und als natürliche Folgerung für Quant-Feldtheorien. Symmetries, die sich mit der Position ändern, sind zur modernen Beschreibung von physischen Wechselwirkungen mit der Hilfe der Maß-Theorie zentral.

Generalisationen

In der abstrakten Algebra werden allgemeinere Strukturen durch das Entspannen von einigen der Axiome definiert, die eine Gruppe definieren. Zum Beispiel, wenn die Voraussetzung, dass jedes Element ein Gegenteil hat, beseitigt wird, wird die resultierende algebraische Struktur einen monoid genannt. Die natürlichen Zahlen N (einschließlich 0) unter der Hinzufügung bilden einen monoid, wie die ganzen Nichtnullzahlen unter der Multiplikation tun, sieh oben. Es gibt eine allgemeine Methode, Gegenteile zu Elementen zu jedem (abelian) monoid, ziemlich gleicher Weg formell hinzuzufügen, wie abgeleitet, als die Gruppe von Grothendieck bekannt wird.

Groupoids sind Gruppen außer dass die Zusammensetzung a ähnlich · b braucht für den ganzen a und b nicht definiert zu werden. Sie entstehen in der Studie von mehr komplizierten Formen der Symmetrie, häufig in topologischen und analytischen Strukturen, wie der grundsätzliche groupoid oder die Stapel. Schließlich ist es möglich, einige dieser Konzepte durch das Ersetzen der binären Operation durch einen willkürlichen n-stufigen ein (d. h. einer Operation zu verallgemeinern, die n Argumente nimmt). Mit der richtigen Generalisation der Gruppenaxiome verursacht das eine n-stufige Gruppe. Der Tisch gibt eine Liste von mehreren verallgemeinernden Struktur-Gruppen.

Siehe auch

• Gruppe von Abelian
• Gruppenring
• Gruppenalgebra
• Euklidische Gruppe
• Freie Gruppe
• Begrenzt präsentierte Gruppe
• Grundsätzliche Gruppe
• Non-abelian Gruppe
• Gruppe von Grothendieck
• Symmetrie in der Physik

Referenzen

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Zitate

Allgemeine Verweisungen

• Kapitel 2 enthält eine Studentenniveau-Ausstellung der in diesem Artikel bedeckten Begriffe.

• Kapitel 5 stellt eine für den Laien zugängliche Erklärung von Gruppen zur Verfügung.

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• eine elementare Einführung.

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Spezielle Verweisungen

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Historische Verweisungen

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• (Arbeit von Galois wurde zuerst von Joseph Liouville 1843 veröffentlicht).

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