In der Physik ist die geschirmte Gleichung von Poisson eine teilweise Differenzialgleichung, die in (zum Beispiel) der Theorie von Yukawa von Mesonen und elektrischem Feld entsteht, das sich in plasmas filmen lässt.

Behauptung der Gleichung

:

\left [\Delta - \lambda^2 \right] u (\mathbf {r}) = - f (\mathbf {r})

</Mathematik>

Wo der Maschinenbediener von Laplace ist, ist λ eine Konstante, f ist eine willkürliche Funktion der Position (bekannt als die "Quellfunktion"), und u ist die Funktion, bestimmt zu werden.

Im homogenous Fall (f=0) ist die geschirmte Gleichung von Poisson dasselbe als die zeitunabhängige Gleichung von Klein-Gordon. Im inhomogeneous Fall ist die geschirmte Gleichung von Poisson der inhomogeneous Gleichung von Helmholtz, der einzige Unterschied sehr ähnlich, der das Zeichen innerhalb der Klammern ist.

Lösungen

Drei Dimensionen

Ohne Verlust der Allgemeinheit werden wir λ nehmen, um nichtnegativ zu sein. Wenn λ Null ist, nimmt die Gleichung zur Gleichung von Poisson ab. Deshalb, wenn λ, die Lösungsannäherungen diese der unabgeschirmten Gleichung von Poisson sehr klein ist, die, in der Dimension, eine Überlagerung von 1/r-Funktionen ist, die durch die Quellfunktion f beschwert sind:

:

u (\mathbf {r}) _ {(\text {Poisson})} = \iiint \mathrm {d} ^3r' \frac {f (\mathbf {r} ')} {4\pi | \mathbf {r} - \mathbf {r}' |}.

</Mathematik>

Andererseits, wenn λ äußerst groß ist, nähert sich u dem Wert f/λ ², der zur Null geht, wie λ zur Unendlichkeit geht. Wie wir sehen werden, benimmt sich die Lösung für Zwischenwerte von λ als eine Überlagerung von geschirmten (oder befeuchtet) 1/r Funktionen mit λ, der sich als die Kraft der Abschirmung benimmt.

Die geschirmte Gleichung von Poisson kann für allgemeinen f das Verwenden der Methode der Funktionen von Green gelöst werden. Die Funktion von Green G wird durch definiert

:

\left [\Delta - \lambda^2 \right] G (\mathbf {r}) = - \delta^3 (\mathbf {r}).

</Mathematik>

Das Annehmen u und seine Ableitungen verschwinden an großem r, wir können leisten ein dauernder Fourier verwandeln sich in Raumkoordinaten:

:

G (\mathbf {k}) = \iiint \mathrm {d} ^3r \; G (\mathbf {r}) e^ {-i \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\

</Mathematik>

wo das Integral der ganze Raum übernommen wird. Es ist dann aufrichtig, um dem zu zeigen

:

\left [k^2 + \lambda^2 \right] G (\mathbf {k}) = 1.

</Mathematik>

Die Funktion des Grüns in r wird deshalb durch das Gegenteil gegeben, das Fourier, umgestaltet

:

G (\mathbf {r}) = \frac {1} {(2\pi) ^3} \; \iiint \mathrm {d} ^3 \! k \; \frac {e^ {ich \mathbf {k} \cdot \mathbf {r}}} {k^2 + \lambda^2}.

</Mathematik>

Dieses Integral kann mit kugelförmigen Koordinaten im K-Raum bewertet werden. Die Integration über die winkeligen Koordinaten ist aufrichtig, und das Integral nimmt zu einem über den radialen wavenumber ab:

:

G (\mathbf {r}) = \frac {1} {2\pi^2 r} \; \int_0^ {+ \infty} \mathrm {d} k_r \; \frac {k_r \, \sin k_r r} {k_r^2 + \lambda^2}.

</Mathematik>

Das kann mit der Kontur-Integration bewertet werden. Das Ergebnis ist:

:

G (\mathbf {r}) = \frac {e^ {-\lambda r}} {4\pi r}.

</Mathematik>

Die Lösung des vollen Problems wird dann durch gegeben

:

u (\mathbf {r}) = \int \mathrm {d} ^3r' G (\mathbf {r} - \mathbf {r} ') f (\mathbf {r}')

\int \mathrm {d} ^3r' \frac {e^ {-\lambda \mathbf {r} - \mathbf {r} '}} {4\pi \mathbf {r} - \mathbf {r}'} f (\mathbf {r} ').

</Mathematik>

Wie oben angegeben ist das eine Überlagerung von geschirmten 1/r-Funktionen, die durch die Quellfunktion f und mit λ beschwert sind, der als die Kraft der Abschirmung handelt. Auf die geschirmte 1/r-Funktion wird häufig in der Physik als ein geschirmtes Ampere-Sekunde-Potenzial, auch genannt ein "Potenzial von Yukawa" gestoßen.

Zwei Dimensionen

In zwei Dimensionen:

Im Fall von einem magnetisierten Plasma ist die geschirmte Gleichung von Poisson Quasi2.:

:

mit und, mit dem magnetischen Feld und ist (Ion) Radius von Larmor.

Der zweidimensionale Fourier Verwandelt Sich von der Funktion des verbundenen Greens ist:

:

Die 2. geschirmten Gleichungserträge von Poisson:

:.

Die Funktion des Grüns wird deshalb durch das Gegenteil gegeben, das Fourier umgestaltet:

:

G (\mathbf {r} _ \perp) = \frac {1} {4\pi^2} \; \iint \mathrm {d} ^2 \! k \; \frac {e^ {ich \mathbf {k} _ \perp \cdot \mathbf {r} _ \perp}} {k_\perp^2 + 1 / \rho^2}.

</Mathematik>

Dieses Integral kann mit Polarkoordinaten im K-Raum berechnet werden:

:

Die Integration über die winkelige Koordinate ist aufrichtig, und das Integral nimmt zu einem über den radialen wavenumber ab:

:

G (\mathbf {r} _ \perp) = \frac {1} {2\pi} \; \int_ {0} ^ {+ \infty} \mathrm {d} k_r \; \frac {k_r e^ {ich k_r r_\perp}} {k_r^2 + 1 / \rho^2}.

</Mathematik>

Siehe auch

• Wechselwirkung von Yukawa