In der Mathematik ist compactification der Prozess oder das Ergebnis, einen topologischen Raum kompakt zu machen. Die Methoden von compactification sind verschieden, aber jeder ist eine Weise, Punkte davon zu kontrollieren, bis Unendlichkeit "abzugehen", indem er irgendwie "Punkte an der Unendlichkeit" hinzufügt oder solch eine "Flucht" verhindert.

Ein Beispiel

Denken Sie die echte Linie mit seiner gewöhnlichen Topologie. Dieser Raum ist nicht kompakt; gewissermaßen können Punkte zur Unendlichkeit nach links oder nach rechts abgehen. Es ist möglich, die echte Linie in einen Kompaktraum durch das Hinzufügen eines einzelnen "Punkts an der Unendlichkeit" zu verwandeln, die wir durch  anzeigen werden. Vom resultierenden compactification kann als ein Kreis gedacht werden (der als eine geschlossene und begrenzte Teilmenge des Euklidischen Flugzeugs kompakt ist). Jede Folge, die zur Unendlichkeit in der echten Linie abgelaufen ist, wird dann zu  in diesem compactification zusammenlaufen.

Intuitiv kann der Prozess wie folgt geschildert werden: Lassen Sie zuerst die echte Linie zum offenen Zwischenraum (-π,π) auf der X-Achse zusammenschrumpfen; dann biegen Sie die Enden dieses Zwischenraums aufwärts (in der positiven Y-Richtung) und bewegen Sie sie zu einander, bis Sie einen Kreis mit einem Punkt (der höchste) Vermisste bekommen. Dieser Punkt ist unser neuer Punkt  "an der Unendlichkeit"; das Hinzufügen davon darin vollendet den Kompaktkreis.

Ein bisschen mehr formell: Wir vertreten einen Punkt auf dem Einheitskreis durch seinen Winkel in radians, von-π bis π für die Einfachheit gehend. Identifizieren Sie jeden solchen Punkt θ auf dem Kreis mit dem entsprechenden Punkt auf der echten Linienlohe (θ/2). Diese Funktion ist am Punkt π unbestimmt, da Lohe (π/2) unbestimmt ist; wir werden diesen Punkt mit unserem Punkt  identifizieren.

Da Tangenten und umgekehrte Tangenten sowohl dauernd sind, ist unsere Identifizierungsfunktion ein homeomorphism zwischen der echten Linie als auch dem Einheitskreis ohne . Was wir gebaut haben, wird den einen Punkt von Alexandroff compactification der echten Linie genannt, hat in mehr Allgemeinheit unten besprochen. Es ist auch zu compactify die echte Linie durch das Hinzufügen von zwei Punkten, +  und -  möglich; das läuft auf die verlängerte echte Linie hinaus.

Definition

Ein Einbetten eines topologischen Raums X als eine dichte Teilmenge eines Kompaktraums wird einen compactification X genannt. Es ist häufig nützlich, topologische Räume in Kompakträumen wegen der speziellen Eigenschaften einzubetten, die Kompakträume haben.

Embeddings in Kompakträume von Hausdorff kann von besonderem Interesse sein. Da jeder Kompaktraum von Hausdorff ein Raum von Tychonoff ist, und jeder Subraum eines Raums von Tychonoff Tychonoff ist, beschließen wir, dass jeder Raum, der Hausdorff compactification besitzt, ein Raum von Tychonoff sein muss. Tatsächlich ist das gegenteilige auch wahr; ein Raum von Tychonoff zu sein, ist sowohl notwendig als auch genügend, für Hausdorff compactification zu besitzen.

Die Tatsache, dass große und interessante Klassen von Nichtkompakträumen wirklich tatsächlich compactifications von besonderen Sorten haben, macht compactification eine allgemeine Technik in der Topologie.

Ein Punkt von Alexandroff compactification

Für jeden topologischen Raum X (Alexandroff) wird ein Punkt compactification αX X durch das Hinzufügen eines Extrapunkts  erhalten (häufig hat einen Punkt an der Unendlichkeit genannt), und das Definieren der offenen Sätze des neuen Raums, um die offenen Sätze X zusammen mit den Sätzen der Form G {} zu sein, wo G eine offene Teilmenge X solch ist, dass X \G geschlossen und kompakt wird. Der ein Punkt compactification X ist Hausdorff, wenn, und nur wenn X Hausdorff und lokal kompakt ist.

Stein-Čech compactification

Vom besonderen Interesse sind Hausdorff compactifications, d. h., compactifications, in dem der Kompaktraum Hausdorff ist. Ein topologischer Raum hat Hausdorff compactification, wenn, und nur wenn es Tychonoff ist. In diesem Fall gibt es einen einzigartigen (bis zu homeomorphism) "allgemeinster" Hausdorff compactification, Stein-Čech compactification X, angezeigt durch βX; formell stellt das die Kategorie von Hausdorff Kompakträumen und dauernden Karten als eine reflektierende Unterkategorie der Kategorie von Räumen von Tychonoff und dauernden Karten aus.

"Am allgemeinsten" oder formell "reflektierend" bedeutet, dass der Raum βX durch das universale Eigentum charakterisiert wird, dass jede dauernde Funktion von X bis einen Kompaktraum von Hausdorff K zu einer dauernden Funktion von βX bis K auf eine einzigartige Weise erweitert werden kann. Ausführlicher ist βX ein Kompaktraum von Hausdorff, der X solch enthält, dass die veranlasste Topologie auf X durch βX dasselbe als die gegebene Topologie auf X, und für jede dauernde Karte f:X  K ist, wo K ein Kompaktraum von Hausdorff ist, gibt es eine einzigartige dauernde Karte g:βX  K, für den g, der auf X eingeschränkt ist, identisch f ist.

Stein-Čech compactification kann ausführlich wie folgt gebaut werden: Lassen Sie C der Satz von dauernden Funktionen von X bis den geschlossenen Zwischenraum [0,1] sein. Dann kann jeder Punkt in X mit einer Einschätzungsfunktion auf C. Thus X identifiziert werden kann mit einer Teilmenge [0,1], dem Raum aller Funktionen von C bis [0,1] identifiziert werden. Da der Letztere durch den Lehrsatz von Tychonoff, den Verschluss X kompakt ist, wie eine Teilmenge dieses Raums auch kompakt sein wird. Das ist Stein-Čech compactification.

Projektiver Raum

Echter projektiver Raum-RP ist ein compactification des Euklidischen Raums R. Für jede mögliche "Richtung", in der Punkte in R "flüchten" können, wird ein neuer Punkt an der Unendlichkeit hinzugefügt (aber jede Richtung wird mit seinem Gegenteil identifiziert). Der ein Punkt von Alexandroff compactification R, den wir im Beispiel oben gebaut haben, ist tatsächlich homeomorphic zu RP. Bemerken Sie jedoch, dass das projektive Flugzeug RP ist nicht der ein Punkt compactification des Flugzeugs R seit mehr als einem Punkt, hinzugefügt wird.

Kompliziertes projektives Raum-BEDIENUNGSFELD ist auch ein compactification von C; der ein Punkt von Alexandroff compactification des Flugzeugs C ist (homeomorphic zu) das komplizierte projektive Linien-BEDIENUNGSFELD, das der Reihe nach mit einem Bereich, dem Bereich von Riemann identifiziert werden kann.

Der Übergang zum projektiven Raum ist ein allgemeines Werkzeug in der algebraischen Geometrie, weil die zusätzlichen Punkte an der Unendlichkeit zu einfacheren Formulierungen von vielen Lehrsätzen führen. Zum Beispiel schneiden sich irgendwelche zwei verschiedenen Linien in RP in genau einem Punkt, eine Behauptung, die in R nicht wahr ist. Mehr allgemein hält der Lehrsatz von Bézout, der in der Kreuzungstheorie grundsätzlich ist, im projektiven Raum, aber nicht affine Raum. Dieses verschiedene Verhalten von Kreuzungen im affine projektiven und Raumraum wird in der algebraischen Topologie in den Cohomology-Ringen widerspiegelt - der cohomology des affine Raums ist trivial, während der cohomology des projektiven Raums nichttrivial ist und die Hauptmerkmale der Kreuzungstheorie (Dimension und Grad einer Subvielfalt mit der Kreuzung widerspiegelt Poincaré zu sein, der zum Tasse-Produkt Doppel-ist).

Compactification von Modul-Räumen verlangen allgemein erlaubende bestimmte Entartung - zum Beispiel, bestimmte Eigenartigkeiten oder reduzierbare Varianten erlaubend. Das wird namentlich in Deligne-Mumford compactification des Modul-Raums von algebraischen Kurven verwendet.

Compactification und getrennte Untergruppen von Lüge-Gruppen

In der Studie von getrennten Untergruppen von Lüge-Gruppen ist der Quotient-Raum von cosets häufig ein Kandidat für feineren compactification, um Struktur an einem reicheren Niveau zu bewahren, als gerade topologisch.

Zum Beispiel sind Modulkurven compactified durch die Hinzufügung einzelner Punkte für jede Spitze, sie Oberflächen von Riemann machend (und so, da sie kompakte, algebraische Kurven sind). Hier sind die Spitzen dort aus einem guten Grund: Die Kurven parametrisieren einen Raum von Gittern, und jene Gitter können degenerieren ('gehen zur Unendlichkeit' ab), häufig auf mehrere Weisen (eine Hilfsstruktur des Niveaus in Betracht ziehend). Die Spitzen stehen in für jene verschiedenen 'Richtungen zur Unendlichkeit'.

Das ist alles für Gitter im Flugzeug. Im n-dimensional Euklidischen Raum können dieselben Fragen, zum Beispiel über SO (n) \SL (R)/SL (Z) gestellt werden. Das ist zu compactify härter. Es gibt eine Vielfalt von compactifications, wie der Borel-Serre compactification, der reduktive Borel-Serre compactification und Satake compactifications, der gebildet werden kann.

Andere compactification Theorien

• Die Theorien von Enden eines Raums und Hauptenden.
• Einige 'Grenz'-Theorien wie das Festnehmen einer offenen Sammelleitung, Grenze von Martin, Grenze von Shilov und Grenze von Fürstenberg.
• Der Bohr compactification einer topologischen Gruppe entsteht aus der Rücksicht von fast periodischen Funktionen.
• Man kann compactify ein topologischer Ring, indem man eine projektive Linie mit der umkehrenden Ringgeometrie bildet.
• Der Baily-Borel compactification eines Quotienten eines hermitean symmetrischen Raums.