In der Mathematik ist eine hyperkomplexe Zahl ein traditioneller Begriff für ein Element einer Algebra über ein Feld, wo das Feld die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen ist. In den Zahl-Systemen des neunzehnten Jahrhunderts genannt quaternions ist tessarines, coquaternions, biquaternions, und octonions feststehende Konzepte in der mathematischen Literatur geworden. Das Konzept einer hyperkomplexen Zahl hat sie alle bedeckt und hat aufgefordert, dass eine Wissenschaft erklärt und sie klassifiziert hat.

Das Katalogisierungsprojekt hat 1872 begonnen, als Benjamin Peirce zuerst seine Geradlinige Assoziative Algebra veröffentlicht hat, und von seinem Sohn Charles Sanders Peirce vorgetragen wurde. Am bedeutsamsten haben sie den nilpotent und den idempotent als nützliche hyperkomplexe Zahlen für Klassifikationen identifiziert. Hurwitz und Frobenius haben Lehrsätze bewiesen, die Grenzen auf die Hyperkompliziertheit stellen: Der Lehrsatz von Hurwitz (normed Abteilungsalgebra) und Lehrsatz von Frobenius (echte Abteilungsalgebra).

Es war Matrixalgebra, die die hyperkomplizierten Systeme angespannt hat. Erstens hat matrices neue hyperkomplexe Zahlen wie 2 × 2 echte matrices beigetragen. Bald hat das Matrixparadigma begonnen, andere zu erklären, als sie vertreten durch matrices und ihre Operationen geworden sind. 1907 hat Joseph Wedderburn gezeigt, dass assoziative hyperkomplizierte Systeme durch matrices oder direkte Summen von Systemen von matrices vertreten werden konnten. Von diesem Datum ist der bevorzugte Begriff für ein hyperkompliziertes System assoziative Algebra, wie gesehen, im Titel der These von Wedderburn an der Universität Edinburghs geworden. Bemerken Sie jedoch, dass nichtassoziative Systeme wie octonions und hyperbolischer quaternions einen anderen Typ der hyperkomplexen Zahl vertreten.

Wie Hawkins (1972) erklärt, sind die hyperkomplexen Zahlen Sprungbretter zum Lernen von Lüge-Gruppen und Gruppendarstellungstheorie. Zum Beispiel 1929 hat Emmy Noether an Bryn Mawr über "hyperkomplizierte Mengen und Darstellungstheorie" geschrieben.

Die Rezension der historischen Einzelheiten gibt Körper den Allgemeinheiten der modernen Theorie. 1973 haben Kantor und Soldovnikov ein Lehrbuch auf hyperkomplexen Zahlen veröffentlicht, das 1989 übersetzt wurde; ein Rezensent sagt, dass es einen "hoch klassischen Geschmack" hat. Sieh K.H. Parshall (1985) für eine ausführliche Ausstellung des Höhepunkts von hyperkomplexen Zahlen, einschließlich der Rolle solcher Leuchten wie Theodor Molien und Eduard Study. Für den Übergang zur modernen Algebra widmet Bartel van der Waerden dreißig Seiten hyperkomplexen Zahlen in seiner Geschichte der Algebra (1985).

Katalog

Durch eine Definition der hyperkomplexen Zahl wird als begrenzte dimensionale Algebra über die reals gegeben, die unital und verteilend (aber nicht notwendigerweise assoziativ) sind. Elemente werden mit Koeffizienten der reellen Zahl für eine Basis erzeugt. Es ist herkömmlich, um die Basis so dass zu normalisieren. Eine technische Annäherung an hyperkomplexe Zahlen lenkt Aufmerksamkeit zuerst zu denjenigen der Dimension zwei. Höhere Dimensionen werden als Cliffordian oder algebraische Summen anderer Algebra konfiguriert.

Zweidimensionale echte Algebra

Lehrsatz:

Bis zum Isomorphismus gibt es genau drei 2-dimensionale unital Algebra über den reals: die gewöhnlichen komplexen Zahlen, die komplexen Zahlen des Spalts und die Doppelzahlen.

:proof: Da die Algebra unter dem Quadrieren geschlossen wird, und es nur zwei Dimensionen, das nichtechte Basiselement u Quadrate zu einer willkürlichen geradlinigen Kombination 1 und u hat:

:

mit willkürlichen reellen Zahlen a und a.

Das Verwenden der üblichen Methodik, das Quadrat durch zu vollenden

wenn er

au Abstriche macht und die quadratische Ergänzung hinzufügt, gibt ein ²/4 zu beiden Seiten nach

: so dass

:

Die drei Fälle hängen von diesem echten Wert ab:

• Wenn 4a = − die obengenannte Formel gibt ũ = 0 nach. Folglich kann ũ mit dem nilpotent Element der Basis der Doppelzahlen direkt identifiziert werden.
• Wenn 4a> − die obengenannte Formel gibt ũ> 0 nach. Das führt zu den komplexen Zahlen des Spalts, die Basis damit normalisiert haben. Um j von ũ zu erhalten, müssen die Letzteren durch die positive reelle Zahl geteilt werden, die dasselbe Quadrat wie ũ hat.
• Wenn 4a damit. Um i von ũ zu tragen, muss der Letztere durch eine positive reelle Zahl der Quadrate der Verneinung von ũ geteilt werden.

Die komplexen Zahlen sind die einzige zweidimensionale hyperkomplizierte Algebra, die ein Feld ist.

Algebra wie die komplexen Zahlen des Spalts, die nichtechte Wurzeln 1 auch einschließen, enthalten idempotents und Nullteiler, so können solche Algebra nicht Abteilungsalgebra sein. Jedoch können sich diese Eigenschaften erweisen, zum Beispiel im Beschreiben der Transformationen von Lorentz der speziellen Relativität sehr bedeutungsvoll zu sein.

Höher dimensionale Beispiele (mehr als eine nichtechte Achse)

Algebra von Clifford

Algebra von Clifford ist die unital assoziative Algebra, die über einen zu Grunde liegenden mit einer quadratischen Form ausgestatteten Vektorraum erzeugt ist. Über die reellen Zahlen ist das zum im Stande Sein gleichwertig, ein symmetrisches Skalarprodukt, u.v = ½ zu definieren (uv + vu), der an orthogonalise die quadratische Form gewöhnt sein kann, um eine Reihe von Basen {e... e} solch dass zu geben:

::

0 & ich \not = j \end {Matrix} </Mathematik>

Der eindrucksvolle Verschluss unter der Multiplikation erzeugt jetzt einen Mehrvektor-Raum, der durch 2 Basen, {1, e, e, e..., ee..., eee abgemessen ist...}. Diese können als die Basen eines hyperkomplizierten Zahl-Systems interpretiert werden. Verschieden von den Basen {e... e} können die restlichen Basen oder können je nachdem nicht antipendeln, wie vieler einfacher Austausch ausgeführt werden muss, um die zwei Faktoren zu tauschen. So ee = - ee; aber e (ee) = + (ee) e.

Die Basen für der e = 0 (d. h. Richtungen im ursprünglichen Raum beiseite legend, über den die quadratische Form degeneriert war) können die restlichen Algebra von Clifford durch das Etikett C  (R) identifiziert werden anzeigend, dass die Algebra von p einfachen Basen mit e = +1, q mit e =-1 gebaut wird, und wo R anzeigt, dass das eine Algebra von Clifford über reals-d.-h. sein soll. Koeffizienten von Elementen der Algebra sollen reelle Zahlen sein.

Diese Algebra, genannt geometrische Algebra, bilden einen systematischen Satz, die sich erweisen, in Physik-Problemen sehr nützlich zu sein, die Folgen, Phasen oder Drehungen, namentlich in klassischem und Quant-Mechanik, elektromagnetischer Theorie und Relativität einschließen.

Beispiele schließen ein: die komplexen Zahlen C  (R); komplexe Zahlen des Spalts C  (R); quaternions C  (R); Spalt-biquaternions C  (R); coquaternions C  (R)  C  (R) (die natürliche Algebra des 2. Raums); C  (R) (die natürliche Algebra des 3. Raums und die Algebra von Pauli matrices); und C  (R) die Raum-Zeit-Algebra.

Die Elemente der Algebra C  (R) bilden eine gleiche Subalgebra C  (R) von der Algebra C  (R), der verwendet werden kann, um Folgen in der größeren Algebra zu parametrisieren. Es gibt so eine nahe Verbindung zwischen komplexen Zahlen und Folgen im 2. Raum; zwischen quaternions und Folgen im 3D-Raum; zwischen komplexen Zahlen des Spalts und (hyperbel)-Folgen (Transformationen von Lorentz) in 1+1 D Raum, und so weiter.

Wohingegen Cayley-Dickson und mit dem Spalt komplizierte Konstruktionen mit acht oder mehr Dimensionen mehr in Bezug auf die Multiplikation nicht assoziativ sind, behalten Algebra von Clifford associativity an jedem dimensionality.

1995 hat Ian R. Porteous über "Die Anerkennung von Subalgebra" in seinem Buch auf Algebra von Clifford geschrieben. Sein Vorschlag 11.4 fasst die hyperkomplizierten Fälle zusammen:

:Let A, eine echte assoziative Algebra mit dem Einheitselement 1 sein. Dann

• 1 erzeugt R (Algebra von reellen Zahlen),
• jede zweidimensionale Subalgebra, die durch ein Element e Eines solchen erzeugt ist, dass e = &minus;1 zu C (Algebra von komplexen Zahlen), isomorph

ist

• jede zweidimensionale Subalgebra, die durch ein Element e Eines solchen erzeugt ist, dass e = 1 zu R (Algebra von komplexen Zahlen des Spalts), isomorph

ist

• jede vierdimensionale Subalgebra, die durch einen Satz {e, e} gegenseitig antipendelnder Elemente Eines solchen erzeugt ist, der zu H (Algebra von quaternions), isomorph

ist

• jede vierdimensionale Subalgebra, die durch einen Satz {e, e} gegenseitig antipendelnder Elemente Eines solchen erzeugt ist, der zu R (2) (2 × 2 echte matrices, coquaternions), isomorph

ist

• jede achtdimensionale Subalgebra, die durch einen Satz {e, e, e} gegenseitig antipendelnder Elemente Eines solchen erzeugt ist, der zu H (Spalt-biquaternions), isomorph

ist

• jede achtdimensionale Subalgebra, die durch einen Satz {e, e, e} gegenseitig antipendelnder Elemente Eines solchen erzeugt ist, der zu C (2) (biquaternions, Algebra von Pauli, 2 × 2 Komplex matrices) isomorph ist.

Für die Erweiterung außer den klassischen Algebra, sieh Klassifikation von Algebra von Clifford.

Aufbau von Cayley-Dickson

Alle Algebra von Clifford C  (R) abgesondert von den komplexen Zahlen und dem quaternions enthalten nichtechte Elemente j dieses Quadrat zu 1; und kann nicht Abteilungsalgebra so sein. Eine verschiedene Annäherung an das Verlängern der komplexen Zahlen wird vom Aufbau von Cayley-Dickson genommen. Das erzeugt Zahl-Systeme der Dimension 2, n in {2, 3, 4...}, mit Basen, wo alle nichtechten Basen antipendeln und befriedigen. In acht oder mehr Dimensionen sind diese Algebra nichtassoziativ.

Die ersten Algebra in dieser Folge sind der vierdimensionale quaternions, achtdimensionaler octonions und 16-dimensionaler sedenions. Jedoch kommt Zufriedenheit dieser Voraussetzungen an einem Preis: Jede Zunahme in dimensionality schließt einen Verlust der algebraischen Symmetrie ein: Multiplikation von Quaternion ist nicht auswechselbar, octonion Multiplikation ist nichtassoziativ, und die Norm von sedenions ist nicht multiplicative.

Der Aufbau von Cayley-Dickson kann durch das Einfügen eines Extrazeichens in einigen Stufen modifiziert werden. Es erzeugt dann zwei der "Spalt-Algebra" in der Sammlung von Zusammensetzungsalgebra:

: Spalt-quaternions mit der Basiszufriedenheit,) und

: Spalt-octonions mit der Basiszufriedenheit,

Der Spalt-quaternions enthält nilpotents, hat eine Nichtersatzmultiplikation, und ist zu den 2 × 2 echte matrices isomorph. Spalt-octonions ist nichtassoziativ.

Tensor-Produkte

Das Tensor-Produkt irgendwelcher zwei Algebra ist eine andere Algebra, die verwendet werden kann, um noch viele Beispiele von Systemen der hyperkomplexen Zahl zu erzeugen.

In besonderen Einnahme-Tensor-Produkten mit den komplexen Zahlen (betrachtet als Algebra über den reals) führt zu vierdimensionalem tessarines, achtdimensionalem biquaternions und 16-dimensionalem Komplex octonions.

Weitere Beispiele

• Bicomplex-Zahlen - 4d Vektorraum über den reals, oder 2. über die komplexen Zahlen
• mehrkomplexe Zahlen - 2-dimensionale Vektorräume über die komplexen Zahlen
• Zusammensetzungsalgebra: Algebra mit einer quadratischen Form, die mit dem Produkt dichtet

Siehe auch

• Georg Scheffers

Zeichen und Verweisungen

• Daniel Alfsmann (2006) Auf Familien 2^N dimensionale hyperkomplizierte Algebra, die für Digitalsignalverarbeitung, 14. europäische Signalverarbeitungskonferenz, Florenz, Italien passend sind.
• Emil Artin (1928) "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen" und "Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", in Den Gesammelten Zeitungen von Emil Artin, Serge Lang und Redakteuren von John T. Tate, Seiten 301-45, Addison-Wesley, 1965.
• Redakteur von John H. Ewing (1991) Zahlen, Springer, internationale Standardbuchnummer 3-540-97497-0.
• Thomas Hawkins (1972) "Hyperkomplizierte Zahlen, Lügen Sie Gruppen und die Entwicklung der Gruppendarstellungstheorie", Archiv für die Geschichte von Genauen Wissenschaften 8:243-87.
• Kantor, I.L. Solodownikow (1978), Hyperkomplexe Zahlen, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig.
• Jeanne La Duke (1983) "Die Studie von geradlinigen assoziativen Algebra in den Vereinigten Staaten, 1870 - 1927" sieh Seiten 147-159 von Emmy Noether in Redakteuren von Bryn Mawr Bhama Srinivasan & Judith Sally, Springer Verlag.
• Theodor Molien (1893) "Über Systeme höher complexen Zahlen", Mathematische Annalen 41:83-156.
• Silviu Olariu (2002) Komplexe Zahlen in N Dimensionen, Nordhollander Mathematik-Studien #190, Elsevier internationale Standardbuchnummer 0-444-51123-7.
• K.H. Parshall (1985) "Wedderburn und die Struktur von Algebra" Archiv für die Geschichte von Genauen Wissenschaften 32:223-349.
• Ian R. Porteous (1995) Clifford Algebras und Classical Groups, Seiten 88 & 89, Universität von Cambridge internationale Pressestandardbuchnummer 0-521-55177-3.
• Irene Sabadini, Michael Shapiro & Frank Sommen, Redakteure (2009) Hyperkomplizierte Analyse und Anwendungen Birkhauser internationale Standardbuchnummer 978-3-7643-9892-7.
• Eduard Study (1898) "Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I '4 147-83.
• Henry Taber (1904) "Auf Systemen der Hyperkomplexen Zahl", Transaktionen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 5:509.
• B.L. van der Waerden (1985) Eine Geschichte der Algebra, Kapitels 10: Die Entdeckung von Algebra, Kapitel 11: Struktur von Algebra, Springer, internationaler Standardbuchnummer 3-540-10361-0.
• Joseph Wedderburn (1907) "Auf Hyperkomplexen Zahlen", Verhandlungen Londons Mathematische Gesellschaft 6:77-118.

Links

• Geschichte der Hyperkomplexe auf hyperjeff.com
• Hypercomplex.info