In der Mathematik sind Algebra von Clifford ein Typ der assoziativen Algebra. Als K-Algebra verallgemeinern sie die reellen Zahlen, komplexen Zahlen, quaternions und mehrere andere hyperkomplizierte Zahl-Systeme. Die Theorie von Algebra von Clifford wird mit der Theorie von quadratischen Formen und orthogonalen Transformationen vertraut verbunden. Algebra von Clifford haben wichtige Anwendungen in einer Vielfalt von Feldern einschließlich der Geometrie und theoretischen Physik. Sie werden nach dem englischen geometer William Kingdon Clifford genannt.

Die vertrauteste Algebra von Clifford oder orthogonale Algebra von Clifford, wird auch Algebra von Riemannian Clifford genannt.

Einführung und grundlegende Eigenschaften

Spezifisch ist eine Algebra von Clifford eine unital assoziative Algebra, die enthält und durch einen Vektorraum V ausgestattet mit einer quadratischen Form Q erzeugt wird. Die Algebra von Clifford C  (V, Q) ist die "freiste" Algebra, die durch V Thema der Bedingung erzeugt ist

:

Die Definition einer Algebra von Clifford dotiert es mit mehr Struktur als eine "bloße" K-Algebra, spezifisch hat es einen benannten oder privilegierten Subraum, der zu V isomorph ist. Solch ein Subraum kann gegeben nur eine der Algebra von Clifford isomorphe K-Algebra nicht im Allgemeinen einzigartig bestimmt werden.

Wenn die Eigenschaft des Bodens, der Feld K nicht 2 ist, dann kann man diese grundsätzliche Identität in der Form umschreiben

:

wo die symmetrische bilineare Form ist, die mit Q über die Polarisationsidentität vereinigt ist. Die Idee, das "freiste" oder "allgemeinste" Algebra-Thema dieser Identität zu sein, kann durch den Begriff eines universalen Eigentums, wie getan, unten formell ausgedrückt werden.

Quadratische Formen und Algebra von Clifford in der Eigenschaft 2 bilden einen Ausnahmefall. Insbesondere wenn es nicht wahr ist, dass eine quadratische Form eine symmetrische bilineare Form bestimmt, oder dass jede quadratische Form eine orthogonale Basis zulässt. Viele der Behauptungen in diesem Artikel schließen die Bedingung ein, dass die Eigenschaft nicht 2 ist und falsch ist, wenn diese Bedingung entfernt wird.

Als ein quantization der Außenalgebra

Algebra von Clifford sind nah mit Außenalgebra verbunden. Tatsächlich, wenn dann die Algebra von Clifford C  (V, Q) gerade die Außenalgebra Λ (V) ist. Für die Nichtnull Q dort besteht ein kanonischer geradliniger Isomorphismus zwischen Λ (V) und C  (V, Q), wann auch immer der Boden Feld K charakteristische zwei nicht hat. D. h. sie sind als Vektorräume natürlich isomorph, aber mit verschiedenen Multiplikationen (im Fall von charakteristischen zwei sind sie noch als Vektorräume, gerade nicht natürlich isomorph). Multiplikation von Clifford zusammen mit dem privilegierten Subraum ist ausschließlich reicher als das Außenprodukt, da es von der durch Q gegebenen Extraauskunft Gebrauch macht.

Genauer kann von Algebra von Clifford als quantizations (vgl quantization (Physik), Quant-Gruppe) von der Außenalgebra ebenso gedacht werden, dass die Algebra von Weyl ein quantization der symmetrischen Algebra ist.

Algebra von Weyl und Algebra von Clifford lassen eine weitere Struktur *-algebra zu, und können als sogar und sonderbare Begriffe einer Superalgebra, wie besprochen, in CCR und AUTO-Algebra vereinigt werden.

Universales Eigentum und Aufbau

Lassen Sie V ein Vektorraum über Feld K sein und zu lassen, eine quadratische Form auf V. zu sein

In den meisten Fällen von Interesse ist Feld K entweder R, C oder ein begrenztes Feld.

Eine Algebra von Clifford C  (V, Q) ist eine unital assoziative Algebra über K zusammen mit einer geradlinigen Karte, die für alle befriedigt, die durch das folgende universale Eigentum definiert sind: In Anbetracht jeder assoziativen Algebra über K und jede geradlinige solche Karte dass

:j (v) = Q (v) 1 für den ganzen v ∈ V

(wo 1 die multiplicative Identität von A anzeigt), gibt es einen einzigartigen Algebra-Homomorphismus

solch, dass das folgende Diagramm (d. h. solch dass) pendelt:

Das Arbeiten mit einer symmetrischen bilinearen Form  · ·  statt Q (in der Eigenschaft nicht 2) ist die Voraussetzung an j

:j (v) j (w) + j (w) j (v) = 2v, w  für den ganzen

Eine Algebra von Clifford, besteht wie beschrieben, oben immer und kann wie folgt gebaut werden: Fangen Sie mit der allgemeinsten Algebra an, die V, nämlich die Tensor-Algebra T (V) enthält, und dann machen Sie die grundsätzliche Identität geltend, indem Sie einen passenden Quotienten nehmen. In unserem Fall wollen wir das zweiseitige Ideal I in T (V) erzeugt durch alle Elemente der Form nehmen

: für den ganzen

und definieren Sie C  (V, Q) als die Quotient-Algebra

:C  (V, Q) = T (V)/I

Das durch diesen Quotienten geerbte Ringprodukt wird manchmal das Produkt von Clifford genannt, um es von den inneren und Außenprodukten zu unterscheiden.

Es ist dann aufrichtig, um zu zeigen, dass C  (V, Q) V enthält und das obengenannte universale Eigentum befriedigt, so dass C  bis zu einem einzigartigen Isomorphismus einzigartig ist; so spricht man von "der" Algebra von Clifford C  (V, Q). Es folgt auch aus diesem Aufbau, dass ich injective bin. Man lässt gewöhnlich mich fallen und betrachtet V als ein geradliniger Subraum von C  (V, Q).

Die universale Charakterisierung der Algebra von Clifford zeigt, dass der Aufbau von C  (V, Q) functorial in der Natur ist. Nämlich C kann  als ein functor von der Kategorie von Vektorräumen mit quadratischen Formen betrachtet werden (dessen morphisms geradlinige Karten sind, die die quadratische Form bewahren), zur Kategorie von assoziativen Algebra. Das universale Eigentum versichert, dass sich geradlinige Karten zwischen Vektorräumen (die quadratische Form bewahrend), einzigartig bis zu den Algebra-Homomorphismus zwischen den verbundenen Algebra von Clifford ausstrecken.

Basis und Dimension

Wenn die Dimension V n und {e, … ist, e} ist eine Basis V, dann der Satz

:

ist eine Basis für C  (V, Q). Das leere Produkt wird als das multiplicative Identitätselement definiert. Für jeden Wert von k gibt es n wählen k Basiselemente, so ist die Gesamtdimension der Algebra von Clifford

:

Seitdem V kommt ausgestattet mit einer quadratischen Form, es gibt eine Reihe privilegierter Basen für V: die orthogonalen. Eine orthogonale Basis ist ein solcher dass

:

wo  · ·  ist die symmetrische bilineare zu Q vereinigte Form. Die grundsätzliche Identität von Clifford deutet das für eine orthogonale Basis an

:

Das macht Manipulation von orthogonalen Basisvektoren ziemlich einfach. In Anbetracht eines Produktes von verschiedenen orthogonalen Basisvektoren V kann man sie in die Standardordnung stellen, während einschließlich eines gesamten durch die Zahl von pairwise bestimmten Zeichens der Tausch so (d. h. die Unterschrift der Einrichtungsversetzung) tun musste.

Beispiele: echt und Komplex Algebra von Clifford

Die wichtigsten Algebra von Clifford sind diejenigen über echte und komplizierte mit nichtdegenerierten quadratischen Formen ausgestattete Vektorräume.

Es stellt sich heraus, dass jede der Algebra C  (R) und C  (C) zu A oder AA isomorph ist, wo A ein voller Matrixring mit Einträgen von R, C, oder H ist. Weil eine ganze Klassifikation dieser Algebra Klassifikation von Algebra von Clifford sieht.

Reelle Zahlen

Die geometrische Interpretation von echten Algebra von Clifford ist als geometrische Algebra bekannt.

Jede nichtdegenerierte quadratische Form auf einem endlich-dimensionalen echten Vektorraum ist zur diagonalen Standardform gleichwertig:

:

wo die Dimension des Vektorraums ist. Das Paar von ganzen Zahlen (p, q) wird die Unterschrift der quadratischen Form genannt. Der echte Vektorraum mit dieser quadratischen Form wird häufig R angezeigt. Die Algebra von Clifford auf R wird C  (R) angezeigt.

Das Symbol

C  (R)

Mittel irgendein

C  (R)

oderC  (R)

je nachdem, ob der Autor positive bestimmte oder negative bestimmte Räume bevorzugt.

Eine orthonormale Standardbasis {e} für R besteht aus gegenseitig orthogonalen Vektoren, p, von denen Norm +1 haben, und dessen q Norm 1 haben. Die Algebra C  (R) wird deshalb p Vektoren dass Quadrat zu +1 und q Vektoren dieses Quadrat zu 1 haben.

Bemerken Sie, dass C  (R) zu R natürlich isomorph ist, da es keine Nichtnullvektoren gibt. C  ist (R) eine zweidimensionale Algebra, die durch einen einzelnen Vektoren e erzeugt ist, dass Quadrate zu 1, und deshalb zu C, dem Feld von komplexen Zahlen isomorph sind. Die Algebra C  (R) ist eine vierdimensionale Algebra, die durch {1, e, e, ee} abgemessen ist. Das letzte drei Element-Quadrat zu 1 und pendeln alle anti, und so ist die Algebra zum quaternions H isomorph. Die folgende Algebra in der Folge ist C  (R), und ist eine 8-dimensionale zum genannten Spalt-biquaternions der direkten Summe isomorphe Algebra.

Komplexe Zahlen

Man kann auch Algebra von Clifford auf komplizierten Vektorräumen studieren. Jede nichtdegenerierte quadratische Form auf einem komplizierten Vektorraum ist zum normalen Diagonale Form gleichwertig

:

wo, also gibt es im Wesentlichen nur eine nichtdegenerierte Algebra von Clifford für jede Dimension n. Wir werden die Algebra von Clifford auf C mit der quadratischen Standardform durch C  (C) anzeigen.

Die ersten paar Fälle sind nicht hart zu rechnen. Man findet das

:C  (C)  C, die komplexen Zahlen

:C  (C)  C  C, genannt bicomplex Zahlen

:C  (C)  M (C)

wo M (C) die Algebra von n×n matrices über C anzeigt.

Beispiele: das Konstruieren quaternions und Doppelquaternions

Quaternions

In dieser Abteilung werden die quaternions von Hamilton als die gleiche U-Boot-Algebra der Algebra von Clifford C  (R) gebaut.

Lassen Sie den Vektorraum V echter dreidimensionaler Raum R und die quadratische Form Q sein, aus dem üblichen Euklidischen metrischen abgeleitet werden. Dann, für v, w in R haben wir die quadratische Form, oder punktieren Produkt,

:

Führen Sie jetzt das Produkt von Clifford von Vektoren v und durch gegebenem w ein

:

Diese Formulierung verwendet das negative Zeichen, so wird die Ähnlichkeit mit quaternions leicht gezeigt.

Zeigen Sie eine Reihe orthogonaler Einheitsvektoren von R als e, e, und e an, dann gibt das Produkt von Clifford die Beziehungen nach

:und:

Das allgemeine Element der Algebra von Clifford C  (R) wird durch gegeben

:

Die geradlinige Kombination sogar Reihe-Elemente von C  (R) definiert die gleiche U-Boot-Algebra C  (R) mit dem allgemeinen Element

:

Die Basiselemente können mit den quaternion Basiselementen i, j, k als identifiziert werden

:

der zeigt, dass die gleiche U-Boot-Algebra C  (R) die echte quaternion Algebra von Hamilton ist.

Um das zu sehen, schätzen Sie

:und:

Schließlich,

:

Doppelquaternions

In dieser Abteilung werden Doppelquaternions als die gleiche Algebra von Clifford des echten vier dimensionalen Raums mit einer degenerierten quadratischen Form gebaut.

Lassen Sie den Vektorraum V echt sein vier dimensionaler Raum R, und die quadratische Form Q eine degenerierte Form sein zu lassen, ist auf das Euklidische metrische auf R zurückzuführen gewesen. Für v, w in R führen die degenerierte bilineare Form ein

:

Dieses degenerierte Skalarprodukt plant Entfernungsmaße in R auf das R Hyperflugzeug.

Das Produkt von Clifford von Vektoren v und w wird durch gegeben

:

Bemerken Sie, dass das negative Zeichen eingeführt wird, um die Ähnlichkeit mit quaternions zu vereinfachen.

Zeigen Sie eine Reihe orthogonaler Einheitsvektoren von R als e, e, e und e an, dann gibt das Produkt von Clifford die Beziehungen nach

:und:

Das allgemeine Element der Algebra von Clifford C  (R, d) hat 16 Bestandteile. Die geradlinige Kombination der gleichen aufgereihten Elemente definiert die gleiche U-Boot-Algebra C  (R, d) mit dem allgemeinen Element

:

Die Basiselemente können mit den quaternion Basiselementen i, j, k und die Doppeleinheit ε als identifiziert werden

:

Das stellt die Ähnlichkeit von C  (R) mit der quaternion Doppelalgebra zur Verfügung.

Um das zu sehen, schätzen Sie:und:

Der Austausch von e und E-Stellvertreter unterzeichnet eine gerade Zahl von Zeiten, und zeigen Sie, dass die Doppeleinheit ε mit den quaternion Basiselementen i, j, und k pendelt.

Eigenschaften

Beziehung zur Außenalgebra

In Anbetracht eines Vektorraums V kann man die Außenalgebra Λ (V) bauen, dessen Definition jeder quadratischen Form auf V unabhängig ist. Es stellt sich heraus, dass, wenn K Eigenschaft 2 dann nicht hat, es einen natürlichen Isomorphismus zwischen Λ (V) und C  (V, Q) betrachtet als Vektorräume gibt (und dort ein Isomorphismus in charakteristischen zwei besteht, die nicht natürlich sein können). Das ist ein Algebra-Isomorphismus wenn und nur wenn Q = 0. Man kann so die Algebra von Clifford C  (V, Q) als eine Bereicherung (oder genauer, ein quantization, vgl die Einführung) der Außenalgebra auf V mit einer Multiplikation denken, die von Q abhängt (man kann noch das Außenprodukt definieren, das von Q unabhängig ist).

Die leichteste Weise, den Isomorphismus zu gründen, soll eine orthogonale Basis {e} für V wählen und ihn zu einer Basis für C  (V, Q), wie beschrieben, oben erweitern. Die Karte wird durch bestimmt

:

Bemerken Sie, dass das nur arbeitet, wenn die Basis {e} orthogonal ist. Man kann zeigen, dass diese Karte der Wahl der orthogonalen Basis unabhängig ist und so einen natürlichen Isomorphismus gibt.

Wenn die Eigenschaft von K 0 ist, kann man auch den Isomorphismus durch antisymmetrizing einsetzen. Definieren Sie Funktionen durch

:

wo die Summe die symmetrische Gruppe auf k Elementen übernommen wird. Da f abwechselt, veranlasst er eine einzigartige geradlinige Karte. Die direkte Summe dieser Karten gibt eine geradlinige Karte zwischen Λ (V) und C  (V, Q). Wie man zeigen kann, ist diese Karte ein geradliniger Isomorphismus, und es ist natürlich.

Eine hoch entwickeltere Weise, die Beziehung anzusehen, soll ein Filtrieren auf C  (V, Q) bauen. Rufen Sie zurück, dass die Tensor-Algebra T (V) ein natürliches Filtrieren hat: Wo F Summen des Tensor mit der Reihe enthält. Projektierung davon unten zur Algebra von Clifford gibt ein Filtrieren auf C  (V, Q). Die verbundene abgestufte Algebra

:ist

zur Außenalgebra Λ (V) natürlich isomorph. Da die verbundene abgestufte Algebra einer gefilterten Algebra immer zum gefilterten isomorph

ist

Algebra als gefilterte Vektorräume (durch die Auswahl von Ergänzungen von F in F für den ganzen k), das stellt einen Isomorphismus (obwohl nicht ein natürlicher) in jeder Eigenschaft, sogar zwei zur Verfügung.

Das Sortieren

Im folgenden, nehmen Sie an, dass die Eigenschaft nicht 2 ist.

Algebra von Clifford sind Z-graded Algebra (auch bekannt als Superalgebra). Tatsächlich bewahrt die geradlinige Karte auf V definiert durch (Nachdenken durch den Ursprung) die quadratische Form Q, und so durch das universale Eigentum von Clifford strecken sich Algebra bis zu eine Algebra automorphism aus

:α: C  (V, Q) → C  (V, Q).

Da α eine Involution ist (d. h. es Quadrate zur Identität), kann man C  (V, Q) in positiven und negativen eigenspaces von α\zersetzen

:

wo C  (V, Q) = {x  C  (V, Q) | α (x) = (−1) x}. Da α ein automorphism hieraus folgt dass ist

:

wo die Exponenten modulo 2 gelesen werden. Das gibt C  (V, Q) die Struktur einer Z-graded Algebra. Der Subraum C  (V, Q) bildet eine Subalgebra von C  (V, Q), genannt die gleiche Subalgebra. Der Subraum C  (V, Q) wird den sonderbaren Teil von C  (V, Q) genannt (es ist nicht eine Subalgebra). Dieses Z-Sortieren spielt eine wichtige Rolle in der Analyse und Anwendung von Algebra von Clifford. Der automorphism α wird die Hauptinvolution oder Rang-Involution genannt. Wie man einfach sagt, sind Elemente, die in diesem Z-Sortieren rein sind, sogar oder seltsam.

Bemerkung. In der Eigenschaft nicht 2 erbt der zu Grunde liegende Vektorraum von C  (V, Q) ein N-Sortieren und ein Z-Sortieren vom kanonischen Isomorphismus mit dem zu Grunde liegenden Vektorraum der Außenalgebra Λ (V). Es ist wichtig, jedoch zu bemerken, dass das ein Vektorraum ist, der nur sortiert. D. h. Multiplikation von Clifford respektiert das N-Sortieren oder Z-Sortieren, nur das Z-Sortieren nicht: zum Beispiel, wenn, dann, aber, nicht darin. Glücklich sind die gradings auf die natürliche Weise verbunden: Z N/2N  Z/2Z. Weiter ist die Algebra von Clifford Z-filtered:

.

Der Grad einer Zahl von Clifford bezieht sich gewöhnlich auf den Grad im N-Sortieren.

Die gleiche Subalgebra C  (V, Q) einer Algebra von Clifford ist selbst zu einer Algebra von Clifford isomorph.

Wenn V die orthogonale direkte Summe eines Vektoren von der Norm Q (a) und ein Subraum U, ist

dann C  (V, Q) ist zu C  isomorph (U,−Q (a) Q),

wo −Q (a) Q die Form Q eingeschränkt auf U und multipliziert mit −Q (a) ist.

Insbesondere über den reals bezieht das das ein

: für q > 0, und

: für p > 0.

Im negativ-bestimmten Fall gibt das eine Einschließung C  (R)  C  (R), der die Folge erweitert

:R ⊂ C ⊂ H ⊂ H⊕H ⊂

…

Ebenfalls, im komplizierten Fall, kann man zeigen, dass die gleiche Subalgebra von C  (C) zu C  (C) isomorph ist.

Antiautomorphisms

Zusätzlich zum automorphism α gibt es zwei antiautomorphisms, die eine wichtige Rolle in der Analyse von Algebra von Clifford spielen. Rufen Sie zurück, dass die Tensor-Algebra T (V) mit einem antiautomorphism kommt, der die Ordnung in allen Produkten umkehrt:

:

Seit dem Ideal bin ich invariant unter dieser Umkehrung, diese Operation steigt zu einem antiautomorphism von C  hinunter (V, Q) hat die Umstellen- oder Umkehrungsoperation genannt, die durch x angezeigt ist. Das Umstellen ist ein antiautomorphism:. Die umstellen Operation macht keinen Gebrauch des Z-Sortierens, so definieren wir einen zweiten antiautomorphism, indem wir α und das Umstellen dichten. Wir nennen diese Operation Konjugation von Clifford hat angezeigt

:

Der zwei antiautomorphisms ist das Umstellen das grundsätzlichere.

Bemerken Sie, dass alle diese Operationen Involutionen sind. Man kann zeigen, dass sie als ±1 auf Elementen handeln, die im Z-Sortieren rein sind. Tatsächlich hängen alle drei Operationen nur vom Grad modulo 4 ab. D. h. wenn x mit dem Grad k dann rein

ist:

wo die Zeichen durch den folgenden Tisch gegeben werden:

Das Skalarprodukt von Clifford

Wenn die Eigenschaft nicht 2 ist, kann die quadratische Form Q auf V zu einer quadratischen Form auf allen C  (V, Q) (der wir auch angezeigt durch Q) erweitert werden. Eine Basis unabhängige Definition einer solcher Erweiterung ist

:

wo a  den Skalarteil (der Rang 0 Teil im Z-Sortieren) anzeigt. Man kann dem zeigen

:

wo die v Elemente V sind - ist diese Identität für willkürliche Elemente von C  (V, Q) nicht wahr.

Die verbundene symmetrische bilineare Form auf C  (V, Q) wird durch gegeben

:

Man kann überprüfen, dass das zur ursprünglichen bilinearen Form, wenn eingeschränkt, auf V abnimmt. Die bilineare Form auf allen C  (V, Q) ist nichtdegeneriert, wenn, und nur wenn es auf V nichtdegeneriert ist.

Es ist nicht hart nachzuprüfen, dass das Umstellen der adjoint der linken/richtigen Multiplikation von Clifford in Bezug auf dieses Skalarprodukt ist. Das, ist

: und

:

Struktur von Algebra von Clifford

In dieser Abteilung nehmen wir an, dass der Vektorraum V dimensional und begrenzt ist

dass die bilineare Form von Q nichtsingulär ist. Eine einfache Hauptalgebra über K

ist eine Matrixalgebra über (begrenzt dimensional) Abteilungsalgebra mit dem Zentrum K. Zum Beispiel sind die einfachen Hauptalgebra über den reals Matrixalgebra entweder über den reals oder über den quaternions.

• Wenn V sogar Dimension dann C  hat (V, Q) ist eine einfache Hauptalgebra über K.
• Wenn V sogar Dimension dann C  hat (V, Q) ist eine einfache Hauptalgebra über eine quadratische Erweiterung von K oder eine Summe von zwei isomorphen einfachen Hauptalgebra über K.
• Wenn V sonderbare Dimension dann C  hat (V, Q) ist eine einfache Hauptalgebra über eine quadratische Erweiterung von K oder eine Summe von zwei isomorphen einfachen Hauptalgebra über K.
• Wenn V sonderbare Dimension dann C  hat (V, Q) ist eine einfache Hauptalgebra über K.

Die Struktur von Algebra von Clifford kann ausführlich mit dem folgenden Ergebnis ausgearbeitet werden. Nehmen Sie an, dass U sogar Dimension und eine nichtsinguläre bilineare Form mit discriminant d hat, und nehmen Sie an, dass V ein anderer Vektorraum mit einer quadratischen Form ist. Die Algebra von Clifford von U+V ist zu isomorph

das Tensor-Produkt der Algebra von Clifford von U und (−1) dV, der der Raum V mit seiner quadratischen Form ist, die mit (−1) d multipliziert ist.

Über den reals bezieht das insbesondere das ein

:::

Diese Formeln können verwendet werden, um die Struktur aller echten Algebra von Clifford und des ganzen Komplexes Algebra von Clifford zu finden; sieh die Klassifikation von Algebra von Clifford.

Namentlich, die Gleichwertigkeitsklasse von Morita einer Algebra von Clifford (seine Darstellungstheorie: Die Gleichwertigkeitsklasse der Kategorie von Modulen darüber) hängt nur von der Unterschrift ab. Das ist eine algebraische Form der Periodizität von Bott.

Die Gruppe von Clifford Γ

In dieser Abteilung nehmen wir an, dass V dimensional begrenzt ist und die quadratische Form Q nichtdegeneriert ist.

Die invertible Elemente der Algebra von Clifford folgen ihm durch die gedrehte Konjugation: Konjugation durch X-Karten.

Die Gruppe von Clifford Γ wird definiert, um der Satz von invertible Elementen x zu sein, die Vektoren stabilisieren, das bedeutend

:

für den ganzen v in V.

Diese Formel definiert auch eine Handlung der Gruppe von Clifford auf dem Vektorraum V, der die Norm Q bewahrt, und so einen Homomorphismus von der Gruppe von Clifford zur orthogonalen Gruppe gibt. Die Gruppe von Clifford enthält alle Elemente r V der Nichtnullnorm, und diese folgen V durch das entsprechende Nachdenken, das v dazu nimmt (In der Eigenschaft 2, werden diese orthogonalen transvections aber nicht Nachdenken genannt.)

Die Gruppe von Clifford Γ ist die zusammenhanglose Vereinigung von zwei Teilmengen Γ und Γ, wo Γ\

ist die Teilmenge von Elementen des Grads i. Die Teilmenge Γ\

ist eine Untergruppe des Index 2 in Γ.

Wenn V ein begrenzter dimensionaler echter Vektorraum mit dem positiven bestimmt (oder negativ bestimmt) quadratische Form dann ist, bestehen die Gruppenkarten von Clifford auf die orthogonale Gruppe V in Bezug auf die Form (durch den Lehrsatz von Cartan-Dieudonné) und der Kern aus den Nichtnullelementen Feldes K. Das führt zu genauen Folgen

::

Über andere Felder oder mit unbestimmten Formen ist die Karte nicht im Allgemeinen auf, und der Misserfolg wird durch die spinor Norm gewonnen.

Norm von Spinor

In der willkürlichen Eigenschaft wird die spinor Norm Q auf der Gruppe von Clifford durch definiert

:

Es ist ein Homomorphismus von der Gruppe von Clifford zur Gruppe

K Nichtnullelemente von K. Es fällt mit der quadratischen Form Q V zusammen, wenn V mit einem Subraum der Algebra von Clifford identifiziert wird.

Mehrere Autoren definieren die spinor Norm ein bisschen verschieden, so dass sie sich von derjenigen hier durch einen Faktor −1, 2, oder −2 auf Γ unterscheidet. Der Unterschied ist in der Eigenschaft außer 2 nicht sehr wichtig.

Die Nichtnullelemente von K haben spinor Norm in der Gruppe K von Quadraten von Nichtnullelementen Feldes K. So, wenn V dimensional und nichtsingulär begrenzt ist, bekommen wir eine veranlasste Karte von der orthogonalen Gruppe V zur Gruppe K/K, auch genannt die spinor Norm. Die spinor Norm des Nachdenkens eines Vektoren

r hat Image Q(r) in K/K, und dieses Eigentum definiert es einzigartig auf der orthogonalen Gruppe. Das gibt genaue Folgen:

::

Bemerken Sie, dass in der Eigenschaft 2 die Gruppe {±1} gerade ein Element hat.

Aus dem Gesichtswinkel von Galois cohomology von algebraischen Gruppen ist die spinor Norm ein in Verbindung stehender Homomorphismus auf cohomology. Das Schreiben μ für die algebraische Gruppe von Quadratwurzeln von 1

(über ein Feld der Eigenschaft nicht 2 ist es grob dasselbe als eine Zwei-Elemente-Gruppe mit der trivialen Handlung von Galois), die kurze genaue Folge

:

gibt eine lange genaue Folge auf cohomology nach, der beginnt

:

Die 0th Gruppe von Galois cohomology einer algebraischen Gruppe mit Koeffizienten in K ist gerade die Gruppe von K-Valued-Punkten: Und, der die vorherige Folge wieder erlangt

:

wo die spinor Norm der in Verbindung stehende Homomorphismus ist

Drehung und Nadel-Gruppen

In dieser Abteilung nehmen wir an, dass V dimensional begrenzt ist und seine bilineare Form nichtsingulär ist. (Wenn K Eigenschaft 2 hat, deutet das an, dass die Dimension V gleich ist.)

Die Nadel-Gruppennadel (K) ist die Untergruppe des

Gruppe von Clifford Γ Elemente der spinor Norm 1, und ähnlich der

Drehungsgruppendrehung (K) ist die Untergruppe von Elementen von Dickson invariant 0 in der Nadel (K). Wenn die Eigenschaft nicht 2 ist, sind das die Elemente der Determinante 1. Die Drehungsgruppe hat gewöhnlich Index 2 in der Nadel-Gruppe.

Rufen Sie von der vorherigen Abteilung zurück, dass es einen Homomorphismus von der Gruppe von Clifford auf die orthogonale Gruppe gibt. Wir definieren die spezielle orthogonale Gruppe, um das Image von Γ zu sein. Wenn K Eigenschaft 2 nicht hat, ist das gerade die Gruppe von Elementen der orthogonalen Gruppe der Determinante 1. Wenn K wirklich Eigenschaft 2 hat, dann haben alle Elemente der orthogonalen Gruppe Determinante 1, und die spezielle orthogonale Gruppe ist der Satz von Elementen von Dickson invariant 0.

Es gibt einen Homomorphismus von der Nadel-Gruppe zur orthogonalen Gruppe. Das Image besteht aus den Elementen der spinor Norm 1  K/K.

Der Kern besteht aus den Elementen +1 und −1, und hat Auftrag 2

wenn K Eigenschaft 2 nicht hat. Ähnlich gibt es einen Homomorphismus von der Drehungsgruppe zur speziellen orthogonalen Gruppe V.

Im allgemeinen Fall, wenn V ein positiver oder negativer bestimmter Raum über den reals, die Drehungsgruppenkarten auf die spezielle orthogonale Gruppe ist, und einfach verbunden wird, wenn V Dimension mindestens 3 hat. Weiter besteht der Kern dieses Homomorphismus aus 1 und 1. So in diesem Fall ist die Drehungsgruppe, Drehung (n), ein doppelter Deckel SO (n). Bemerken Sie bitte jedoch, dass der einfache Zusammenhang der Drehungsgruppe im Allgemeinen nicht wahr ist: Wenn V R für p und q beide mindestens 2 dann ist, wird die Drehungsgruppe nicht einfach verbunden. In diesem Fall wird die algebraische Gruppendrehung einfach als eine algebraische Gruppe verbunden, wenn auch seine Gruppe von echten geschätzten Punkten Spin(R) nicht einfach verbunden wird. Das ist ein ziemlich feiner Punkt, der völlig die Autoren von mindestens einem Standardbuch über Drehungsgruppen verwirrt hat.

Spinors

Algebra von Clifford C  (C), mit p+q=2n sogar, sind Matrixalgebra, die einen Komplex haben

Darstellung der Dimension 2. Indem wir auf die Gruppe Pin(R) einschränken, bekommen wir eine komplizierte Darstellung der Nadel-Gruppe

derselben Dimension, genannt die Drehungsdarstellung. Wenn wir das auf die Drehungsgruppe Spin(R) dann einschränken, spaltet es sich als die Summe von zwei Hälften von Drehungsdarstellungen (oder Darstellungen von Weyl) der Dimension 2 auf.

Wenn p+q=2n+1 dann seltsam ist, ist die Algebra von Clifford C  (C) eine Summe von zwei Matrixalgebra, von denen jede eine Darstellung der Dimension 2 hat, und das sind auch beide Darstellungen der Nadel-Gruppe Pin(R). Auf der Beschränkung zur Drehungsgruppe Spin(R) werden diese isomorph, so hat die Drehungsgruppe einen Komplex spinor Darstellung der Dimension 2.

Mehr allgemein haben spinor Gruppen und Nadel-Gruppen über jedes Feld ähnlichen

Darstellungen, deren genaue Struktur von der Struktur der entsprechenden Algebra von Clifford abhängt: Wann auch immer eine Algebra von Clifford einen Faktor das hat

ist eine Matrixalgebra über eine Abteilungsalgebra, wir bekommen eine entsprechende Darstellung der Nadel und Drehungsgruppen über diese Abteilungsalgebra.

Weil Beispiele über den reals den Artikel über spinors sehen.

Echter spinors

Um die echten Drehungsdarstellungen zu beschreiben, muss man wissen, wie die Drehungsgruppe innerhalb seiner Algebra von Clifford sitzt. Die Nadel-Gruppe, Nadel ist der Satz von invertible Elementen in C , der als ein Produkt von Einheitsvektoren geschrieben werden kann:

:

Sich mit den obengenannten konkreten Verwirklichungen der Algebra von Clifford vergleichend, entspricht die Nadel-Gruppe den Produkten von willkürlich vielem Nachdenken: Es ist ein Deckel der vollen orthogonalen Gruppe O (p, q). Die Drehungsgruppe besteht aus jenen Elementen der Nadel, die Produkte einer geraden Zahl von Einheitsvektoren sind. So durch den Lehrsatz von Cartan-Dieudonné ist die Drehung ein Deckel der Gruppe von richtigen Folgen SO (p, q).

Lässt α: C   C , der automorphism sein, der durch den kartografisch darstellenden v  v das Folgen reinen Vektoren gegeben wird. Dann insbesondere ist Drehung die Untergruppe der Nadel, deren Elemente durch α befestigt werden. Lassen Sie

:

(Das sind genau die Elemente sogar des Grads in C .) Dann lügt die Drehungsgruppe innerhalb von C .

Die nicht zu vereinfachenden Darstellungen von C  schränken ein, um Darstellungen der Nadel-Gruppe zu geben. Umgekehrt, da die Nadel-Gruppe durch Einheitsvektoren erzeugt wird, wird ganze seine nicht zu vereinfachende Darstellung auf diese Weise veranlasst. So fallen die zwei Darstellungen zusammen. Aus denselben Gründen fallen die nicht zu vereinfachenden Darstellungen der Drehung mit den nicht zu vereinfachenden Darstellungen von C zusammen

Um die Nadel-Darstellungen zu klassifizieren, appelliert ein Bedürfnis nur an die Klassifikation von Algebra von Clifford. Um die Drehungsdarstellungen zu finden (die Darstellungen der gleichen Subalgebra sind) kann man zuerst von jedem des Isomorphismus Gebrauch machen (sieh oben)

:C   C , für q> 0

:C   C , für p> 0

und begreifen Sie eine Drehungsdarstellung in der Unterschrift (p, q) als eine Nadel-Darstellung in jeder Unterschrift (p, q1) oder (q, p1).

Anwendungen

Differenzialgeometrie

Eine der Hauptanwendungen der Außenalgebra ist in der Differenzialgeometrie, wo es verwendet wird, um das Bündel von Differenzialformen auf einer glatten Sammelleitung zu definieren. Im Fall von (pseudo-) Sammelleitung von Riemannian kommen die Tangente-Räume ausgestattet mit einer natürlichen quadratischen durch das metrische veranlassten Form. So kann man ein Bündel von Clifford in der Analogie mit dem Außenbündel definieren. Das hat mehrere wichtige Anwendungen in der Geometrie von Riemannian. Vielleicht wichtiger ist die Verbindung zu einer Drehungssammelleitung, seinem verbundenen Spinor-Bündel und Drehungssammelleitungen.

Physik

Algebra von Clifford haben zahlreiche wichtige Anwendungen in der Physik. Physiker denken gewöhnlich, dass eine Algebra von Clifford, um eine Algebra zu sein, die durch matrices γ, …,γ abgemessen ist, Dirac matrices genannt hat, die das Eigentum das haben

:

wo η die Matrix einer quadratischen Form der Unterschrift (1,3) ist. Das sind genau die Definieren-Beziehungen für die Algebra von Clifford C  (C) (bis zu einem unwichtigen Faktor 2),

der durch die Klassifikation von Algebra von Clifford zu isomorph

ist

die Algebra 4 durch 4 Komplex matrices.

Der Dirac matrices wurde zuerst von Paul Dirac niedergeschrieben, als er versuchte, eine relativistische Wellengleichung der ersten Ordnung für das Elektron zu schreiben, und einen ausführlichen Isomorphismus von der Algebra von Clifford bis die Algebra des Komplexes matrices zu geben. Das Ergebnis wurde verwendet, um die Gleichung von Dirac zu definieren und den Maschinenbediener von Dirac vorzustellen. Die komplette Algebra von Clifford taucht in der Quant-Feldtheorie in der Form des Feldes von Dirac bilinears auf.

Computervision

Kürzlich sind Algebra von Clifford im Problem der Handlungsanerkennung und Klassifikation in der Computervision angewandt worden. Rodriguez u. a. schlagen Sie einen Clifford vor, der einbettet, um traditionelles MACH lters zum Video (räumlich-zeitliches 3D-Volumen), und Vektor-geschätzte Daten wie optischer Fluss zu verallgemeinern. Vektor-geschätzte Daten werden mit dem Clifford Fourier analysiert verwandeln sich. Gestützt auf diesen Vektor-Handlungsfiltern werden im Gebiet von Clifford Fourier synthetisiert, und die Anerkennung von Handlungen wird mit Clifford Correlation durchgeführt. Die Autoren demonstrieren die Wirksamkeit des Cliffords, der einbettet, indem sie Handlungen anerkennen, die normalerweise in der klassischen Eigenschaft lms und dem Sportsendungsfernsehen durchgeführt sind.

Siehe auch

• Algebra des physischen Raums, APS
• Klassifikation von Algebra von Clifford
• Modul von Clifford
• Gamma matrices
• Außenalgebra
• Verallgemeinerte Algebra von Clifford
• Geometrische Algebra
• Drehungsgruppe
• Spinor
• Paravektor
• Aufbau von Cayley-Dickson
• spinor stopfen
• Maschinenbediener von Dirac
• Analyse von Clifford
• Drehungsstruktur
• quaternion
• octonion
• komplizierte Drehungsstruktur
• hyperkomplizierte Zahl

Referenzen

• Abschnitt XI.9.
• Carnahan, S. Borcherds Seminar Notes, Ungeschnitten. Woche 5, "Spinors und Clifford Algebras".
• . Ein fortgeschrittenes Lehrbuch auf Algebra von Clifford und ihre Anwendungen auf die Differenzialgeometrie.
• R. Jagannathan, Auf verallgemeinerten Algebra von Clifford und ihren physischen Anwendungen.

Links

• Zugang von Planetmath auf Algebra von Clifford
• Eine Geschichte von Algebra von Clifford (unnachgeprüfter)
• John Baez auf Algebra von Clifford