In der geradlinigen Algebra stellt der Lehrsatz von Cayley-Hamilton (genannt nach den Mathematikern Arthur Cayley und William Hamilton) fest, dass jede Quadratmatrix über einen Ersatzring (wie das echte oder komplizierte Feld) seine eigene charakteristische Gleichung befriedigt.

Genauer:

Wenn A ein gegebener n×n Matrix ist und ich n×n Identitätsmatrix bin, dann wird das charakteristische Polynom von A als definiert

:

wo "det" die bestimmende Operation ist. Da die Einträge der Matrix (geradlinig oder unveränderlich) Polynome in λ sind, ist die Determinante auch ein Polynom in λ. Der Lehrsatz von Cayley-Hamilton stellt fest, dass "das Ersetzen" der Matrix für λ in diesem Polynom auf die Nullmatrix hinausläuft:

:

Die Mächte von λ, die Mächte durch den Ersatz geworden sind, sollten durch die wiederholte Matrixmultiplikation geschätzt werden, und der unveränderliche Begriff sollte mit der Identitätsmatrix multipliziert werden (die zeroth Macht von A), so dass es zu den anderen Begriffen hinzugefügt werden kann.

Der Lehrsatz erlaubt, als eine geradlinige Kombination der niedrigeren Matrixmächte von A ausgedrückt zu werden.

Wenn der Ring ein Feld ist, ist der Lehrsatz von Cayley-Hamilton zur Behauptung gleichwertig, dass das minimale Polynom einer Quadratmatrix sein charakteristisches Polynom teilt.

Beispiel

Als ein konkretes Beispiel, lassen Sie

:.

Sein charakteristisches Polynom wird durch gegeben

:

-3& \lambda-4\end {pmatrix} = (\lambda-1) (\lambda-4) - (-2) (-3) = \lambda^2-5\lambda-2. </math>

Der Lehrsatz von Cayley-Hamilton behauptet das, wenn wir definieren

:

dann

:

den leicht nachprüfen kann.

Illustration für spezifische Dimensionen und praktische Anwendungen

Für 1×1 Matrix = (a) wird das charakteristische Polynom durch p (λ) =λ  a gegeben, und so ist p (A) = (a) a (1) = (0) offensichtlich.

Für 2×2 Matrix,

:

das charakteristische Polynom wird durch p (λ) =λ  (a+d) λ + (adbc) gegeben, so setzt der Lehrsatz von Cayley-Hamilton das fest

:

der tatsächlich immer der Fall ist, der dadurch offensichtlich ist, die Einträge von A auszuarbeiten.

Für einen allgemeinen n×n invertible Matrix A, d. h., ein mit der Nichtnulldeterminante, kann A so geschrieben werden, weil (n1)-th polynomischen Ausdruck in A bestellen: Wie angezeigt, beläuft sich der Lehrsatz von Cayley-Hamilton auf die Identität

:

mit c =  tr (A), usw., wo tr (A) die Spur der Matrix A ist.

Das kann dann als geschrieben werden

:

und, indem sie beide Seiten damit multiplizieren, wird eine nach dem Kompaktausdruck für das Gegenteil geführt

:

Für größeren matrices werden die Ausdrücke für die Koeffizienten c des charakteristischen Polynoms in Bezug auf die Matrixbestandteile zunehmend kompliziert; aber sie können auch in Bezug auf Spuren von Mächten der Matrix A mit der Identität von Newton ausgedrückt werden (mindestens, wenn der Ring die rationalen Zahlen enthält), so auf kompaktere Ausdrücke hinauslaufend (aber schließen die Abteilungen durch bestimmte ganze Zahlen ein).

Zum Beispiel, im obengenannten 2×2 Matrixbeispiel, ist der Koeffizient c=a+d λ oben gerade die Spur von A, trA, während der unveränderliche Koeffizient c=adbc als ½ (trA) tr (A) geschrieben werden kann). (Natürlich ist es auch die Determinante in diesem Fall.)

Tatsächlich, dieser Ausdruck, ½ (trA) tr (A)), immer gibt den Koeffizienten c von λ im charakteristischen Polynom jeder n×n Matrix; so, für 3×3 Matrix A, kann die Behauptung des Lehrsatzes von Cayley-Hamilton auch als geschrieben werden

:

wo die Rechte 3×3 Matrix mit allen auf die Null reduzierten Einträgen benennt.

Ähnlich kann man für 4×4 Matrix A schreiben:

:

und so weiter für größeren matrices, mit den immer komplizierteren Ausdrücken für die von der Identität von Newton ableitbaren Koeffizienten.

Eine abwechselnde, praktische Methode, um diese Koeffizienten c für eine allgemeine n×n Matrix zu erhalten, die obengenannten eigentlich durch die Inspektion nachgebend, verlässt sich auf

:.

Folglich,

:

wo der Exponential-nur ausgebreitet werden muss, um λ zu bestellen, da p (λ) vom Auftrag n ist. (Wieder verlangt das einen Ring, der die rationalen Zahlen enthält.)

Der Lehrsatz von Cayley-Hamilton stellt immer eine Beziehung zwischen den Mächten zur Verfügung (obwohl nicht immer der einfachste), der erlaubt, Ausdrücke zu vereinfachen, die solche Mächte einschließen, und sie zu bewerten, ohne die Macht A oder irgendwelche höheren Mächte von A schätzen zu müssen.

Zum Beispiel kann der Beton 2×2 Beispiel oben als geschrieben werden

:

Dann, zum Beispiel, um A zu berechnen, beobachten

:::

Der Beweis des Lehrsatzes im Allgemeinen

Als die Beispiele über der Show, die Behauptung des Lehrsatzes von Cayley-Hamilton für eine n×n Matrix erhaltend, verlangt zwei Schritte: Zuerst werden die Koeffizienten c des charakteristischen Polynoms durch die Entwicklung als ein Polynom in t der Determinante bestimmt

:

\begin {vmatrix} t-a_ {1,1} &-a_ {1,2} &\\cdots&-a_ {1, n }\\\

- a_ {2,1} &t-a_ {2,2} &\\cdots&-a_ {2, n }\\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

- a_ {n, 1} &-a_ {n, 2} & \cdots& t-a_ {n, n }\\\\end {vmatrix} = T^n+c_ {n-1} T^ {n-1} + \cdots+c_1t+c_0, </Mathematik>

und dann werden diese coeffcients in einer geradlinigen Kombination von Mächten verwendet, der zur n×n ungültigen Matrix ausgeglichen wird:

:

Die linke Seite kann zu einer n×n Matrix ausgearbeitet werden, deren Einträge (enorme) polynomische Ausdrücke im Satz von Einträgen von A sind, so stellt der Lehrsatz von Cayley-Hamilton fest, dass jeder dieser Ausdrücke zu 0 gleichwertig ist. Für jeden festen Wert von n kann diese Identität durch langweilige, aber völlig aufrichtige algebraische Manipulationen erhalten werden. Keine dieser Berechnung kann jedoch zeigen, warum der Lehrsatz von Cayley-Hamilton für matrices aller möglichen Größen n gültig sein sollte, so ist ein gleichförmiger Beweis für den ganzen n erforderlich.

Einleitungen

Wenn ein Vektor v der Größe n zufällig ein Eigenvektor mit eigenvalue λ, mit anderen Worten wenn, dann ist

:

\begin {richten }\aus

p (A) \cdot v & = A^n\cdot v+c_ {n-1} A^ {n-1 }\\cdot v +\cdots+c_1A\cdot v+c_0I_n\cdot v \\[3pt]

& = \lambda^nv+c_ {n-1 }\\Lambda^ {n-1} v +\cdots+c_1\lambda v+c_0 v=p (\lambda) v,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

der der ungültige Vektor seitdem ist (die eigenvalues von A sind genau die Wurzeln von p (t)). Das hält für den ganzen möglichen eigenvalues λ, so geben die zwei matrices, die durch den Lehrsatz sicher ausgeglichen sind, dasselbe (ungültige) Ergebnis, wenn angewandt, auf jeden Eigenvektoren. Jetzt, wenn A eine Basis von Eigenvektoren mit anderen Worten zulässt, wenn A diagonalizable ist, dann muss der Lehrsatz von Cayley-Hamilton für A halten, da zwei matrices, die dieselben Werte, wenn angewandt, auf jedes Element einer Basis geben, gleich sein müssen. Nicht alle matrices sind diagonalizable, aber für matrices mit komplizierten Koeffizienten sind viele von ihnen: Der Satz des diagonalizable komplizierten Quadrats matrices einer gegebenen Größe ist im Satz des ganzen Quadrats matrices dicht (für eine Matrix, um diagonalizable zu sein es genügt zum Beispiel, dass sein charakteristisches Polynom nicht vielfache Wurzeln hat). Jetzt, wenn einige der Ausdrücke, die der Lehrsatz zu 0 ausgleicht, zu einem ungültigen Ausdruck mit anderen Worten nicht abnehmen würde, wenn es ein Nichtnullpolynom in den Koeffizienten der Matrix, dann der Satz des Komplexes matrices sein würde, für den dieser Ausdruck zufällig 0 gibt, würde im Satz des ganzen matrices nicht dicht sein, der der Tatsache widersprechen würde, dass der Lehrsatz für den ganzen diagonalizable matrices hält. So kann man sehen, dass der Lehrsatz von Cayley-Hamilton wahr sein muss.

Während das einen gültigen Beweis zur Verfügung stellt (für matrices über die komplexen Zahlen), ist das Argument nicht sehr befriedigend, da die durch den Lehrsatz vertretene Identität von der Natur der Matrix (diagonalizable oder nicht), noch auf der Art von erlaubten Einträgen nicht in jedem Fall abhängt (für matrices mit echten Einträgen, bilden die diagonizable keinen dichten Satz, und es scheint, dass fremder würde denken müssen, dass Komplex matrices sieht, dass der Lehrsatz von Cayley-Hamilton für sie hält). Wir werden deshalb jetzt nur Argumente denken, die den Lehrsatz direkt für jede Matrix mit algebraischen Manipulationen nur beweisen; diese haben auch den Vorteil des Arbeitens für matrices mit Einträgen in jedem Ersatzring.

Es gibt eine große Vielfalt solcher Beweise des Lehrsatzes von Cayley-Hamilton, von dem mehrere hier gegeben werden. Sie ändern sich im Betrag von abstrakten algebraischen Begriffen, die erforderlich sind, den Beweis zu verstehen. Der einfachste Probegebrauch gerade mussten jene Begriffe den Lehrsatz (matrices, Polynome mit numerischen Einträgen, Determinanten) formulieren, aber technische Berechnung einschließen, die etwas mysteriös die Tatsache macht, dass sie genau zum richtigen Beschluss führen. Es ist möglich, solche Details, aber zum Preis zu vermeiden, feinere algebraische Begriffe einzuschließen: Polynome mit Koeffizienten in einem Nichtersatzring oder matrices mit ungewöhnlichen Arten von Einträgen.

Adjugate matrices

Alle Beweise verwenden unten den Begriff der adjugate Matrix einer n×n MatrixM. Das ist eine Matrix, deren Koeffizienten durch polynomische Ausdrücke in den Koeffizienten der M (tatsächlich durch den bestimmten (n  1) × (n  1) Determinanten) auf solche Art und Weise gegeben werden, dass man die folgenden grundsätzlichen Beziehungen hat

:

Diese Beziehungen sind eine direkte Folge der grundlegenden Eigenschaften von Determinanten: Einschätzung (ich, j) der Zugang des Matrixproduktes gibt links die Vergrößerung durch die Spalte j der Determinante der bei der M erhaltenen Matrix durch das Ersetzen der Spalte i durch eine Kopie der Spalte j, die wenn und Null sonst ist; das Matrixprodukt ist rechts, aber für Vergrößerungen durch Reihen ähnlich. Eine Folge der gerade algebraischen Ausdruck-Manipulation seiend, sind diese Beziehungen für matrices mit Einträgen in jedem Ersatzring gültig (commutativity muss für Determinanten angenommen werden, an erster Stelle definiert zu werden). Das ist wichtig, um hier zu bemerken, weil um diese Beziehungen matrices mit nichtnumerischen Einträgen wie Polynome beworben wird.

Ein direkter algebraischer Beweis

Dieser Probegebrauch gerade die Art von Gegenständen musste den Lehrsatz von Cayley-Hamilton formulieren: matrices mit Polynomen als Einträge. Die Matrix, deren Determinante das charakteristische Polynom von A ist, ist solch eine Matrix, und da Polynome einen Ersatzring bilden, hat es einen adjugate

:

Dann gemäß der rechten Hand grundsätzliche Beziehung des adjugate hat man

:

Da B auch eine Matrix mit Polynomen in t als Einträge ist, kann man für jeden, wessen ich die Koeffizienten in jedem Zugang sammle, um eine Matrix B von Zahlen, solch zu bilden, dass man hat

:

(die Weise, wie die Einträge von B definiert werden, macht verständlich, dass keine Mächte höher als vorkommen). Während das wie ein Polynom mit matrices als Koeffizienten aussieht, werden wir solch einen Begriff nicht denken; es ist gerade eine Weise, eine Matrix mit polynomischen Einträgen als geradlinige Kombination von unveränderlichem matrices zu schreiben, und der Koeffizient ist links von der Matrix geschrieben worden, um diesen Gesichtspunkt zu betonen. Jetzt kann man das Matrixprodukt in unserer Gleichung durch bilinearity ausbreiten

:

p (t) I_n &= (t I_n - A) \cdot B \\

&= (t I_n - A) \cdot\sum_ {ich = 0} ^ {n - 1} t^i B_i \\

&= \sum_ {ich = 0} ^ {n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_ {ich = 0} ^ {n - 1} A\cdot t^i B_i \\

&= \sum_ {ich = 0} ^ {n - 1} t^ {ich + 1} b_i-\sum_ {ich = 0} ^ {n - 1} t^i A\cdot B_i \\

&=t^n B_ {n - 1} + \sum_ {ich = 1} ^ {n - 1} t^i (B_ {ich - 1} - A\cdot B_i) - Ein \cdot B_0.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Schreiben, man erhält eine Gleichheit von zwei matrices mit polynomischen Einträgen, schriftlich als geradlinige Kombinationen von unveränderlichem matrices mit Mächten von t als Koeffizienten. Solch eine Gleichheit kann nur halten, wenn in einer Matrixposition der Zugang, der mit einer gegebenen Macht multipliziert wird, dasselbe an beiden Seiten ist; hieraus folgt dass der unveränderliche matrices mit dem Koeffizienten in beiden Ausdrücken gleich sein muss. Das Schreiben dieser Gleichungen, weil ich von n unten zu 0 man findet

:

Wir multiplizieren die Gleichung der Koeffizienten von t vom links durch A und summieren; die linken Seiten bilden eine Telescoping-Summe und annullieren völlig, der auf die Gleichung hinausläuft

:

Das vollendet den Beweis.

Ein Beweis mit Polynomen mit Matrixkoeffizienten

Dieser Beweis ist dem ersten ähnlich, aber versucht, Bedeutung dem Begriff des Polynoms mit Matrixkoeffizienten zu geben, das durch die Ausdrücke angedeutet wurde, die in diesem Beweis vorkommen. Das verlangt beträchtliche Sorge, da es etwas ungewöhnlich ist, Polynome mit Koeffizienten in einem Nichtersatzring und nicht das ganze Denken zu denken, das für Ersatzpolynome gültig ist, kann in dieser Einstellung angewandt werden. Namentlich, während die Arithmetik von Polynomen über einen Ersatzring die Arithmetik von polynomischen Funktionen modelliert, ist das nicht der Fall über einen Nichtersatzring (tatsächlich es gibt keinen offensichtlichen Begriff der polynomischen Funktion in diesem Fall, die unter der Multiplikation geschlossen wird). So, wenn man Polynome in t mit Matrixkoeffizienten denkt, muss von der Variable t nicht als ein "unbekannter", aber als ein formelles Symbol gedacht werden, das gemäß gegebenen Regeln manipuliert werden soll; im besonderen kann t auf einen spezifischen Wert nicht gerade setzen.

Lassen Sie M = M(R) der Ring von n &times sein; n matrices mit Einträgen in einem Ring R (wie die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen), der als ein Element hat. Matrices mit als mitwirkende Polynome in t, solcher als oder sein adjugate B im ersten Beweis, sind Elemente der M (R [t]). Durch das Sammeln wie Mächte von t kann solcher matrices als "Polynome" in t mit unveränderlichem matrices als Koeffizienten geschrieben werden; schreiben Sie M [t] für den Satz solcher Polynome. Da dieser Satz in der Bijektion mit der M ist (R [t]), definiert man arithmetische Operationen darauf entsprechend, in der besonderen Multiplikation wird durch gegeben

:

das Respektieren der Ordnung des Koeffizienten matrices von den zwei operands; offensichtlich gibt das eine Nichtersatzmultiplikation. So die Identität

:

vom ersten Beweis kann als das ein Beteiligen einer Multiplikation von Elementen in der M [t] angesehen werden.

An diesem Punkt ist es verführerisch, t gleich der Matrix A unterzugehen, der den ersten Faktor links gleich der ungültigen Matrix und der rechten Seite gleich p (A) macht; jedoch ist das nicht eine erlaubte Operation, wenn Koeffizienten nicht pendeln. Es ist möglich, eine "Karte der richtigen Einschätzung" ev zu definieren: M [t]  M, die jeden t durch die Matrixmacht A ersetzt, wo man festsetzt, dass die Macht immer rechts zum entsprechenden Koeffizienten multipliziert werden soll. Jedoch ist diese Karte nicht ein Ringhomomorphismus: Die richtige Einschätzung eines Produktes unterscheidet sich im Allgemeinen vom Produkt der richtigen Einschätzungen. Das ist so, weil die Multiplikation von Polynomen mit Matrixkoeffizienten Multiplikation von Ausdrücken nicht modelliert, die unknowns enthalten: Ein Produkt wird definiert annehmend, dass t mit N pendelt, aber das kann scheitern, wenn t durch die Matrix A ersetzt wird.

Man kann um diese Schwierigkeit in der besonderen Situation in der Nähe arbeiten, da die obengenannte Karte der richtigen Einschätzung wirklich ein Ringhomomorphismus wird, wenn die Matrix A im Zentrum des Rings von Koeffizienten ist, so dass es mit allen Koeffizienten der Polynome pendelt (das Argument, das beweist, dass das genau aufrichtig ist, weil das Austauschen t mit Koeffizienten jetzt nach der Einschätzung gerechtfertigt wird). Jetzt ist A nicht immer im Zentrum der M, aber wir können M durch einen kleineren Ring ersetzen, vorausgesetzt dass es alle Koeffizienten der fraglichen Polynome enthält: A, und die Koeffizienten des Polynoms B. Die offensichtliche Wahl für solch einen Subring ist der centralizer Z A, des Subrings aller matrices, die mit A pendeln; definitionsgemäß ist A im Zentrum von Z. Dieser centralizer enthält offensichtlich, und A, aber man muss zeigen, dass es den matrices enthält. Um zu tun, verbindet dieser die zwei grundsätzlichen Beziehungen für adjugates, den adjugate B als ein Polynom ausschreibend:

:

\left (\sum_ {ich = 0} ^m B_i t^i\right) (t I_n - A) &= (tI_n - A) \sum_ {ich = 0} ^m B_i t^i \\

\sum_ {ich = 0} ^m B_i t^ {ich + 1} - \sum_ {ich = 0} ^m B_i Ein t^i &= \sum_ {ich = 0} ^m B_i t^ {ich + 1} - \sum_ {ich = 0} ^m Ein B_i t^i \\

\sum_ {ich = 0} ^m B_i Ein t^i &= \sum_ {ich = 0} ^m Ein B_i t^i.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Ausgleichen der Koeffizienten zeigt, dass für jeden ich wir Einen B = B, wie gewünscht, haben. Die richtige Einstellung gefunden, in der ev tatsächlich ein Homomorphismus von Ringen ist, kann man den Beweis, wie angedeutet, oben vollenden:

:

\operatorname {ev} _A\bigl (p (t) I_n\bigr) &= \operatorname {ev} _A ((t I_n - A) \cdot B) \\

p (A) &= \operatorname {ev} _A (t I_n - A) \cdot \operatorname {ev} _A (B) \\

p (A) &= (Ein \cdot I_n - A) \cdot \operatorname {ev} _A (B) = 0\cdot\operatorname {ev} _A (B) = 0.

\end {richten} </Mathematik> {aus}Das vollendet den Beweis.

Eine Synthese der ersten zwei Beweise

Im ersten Beweis ist man im Stande gewesen zu beschließen, dass die Koeffizienten B B rechter Hand grundsätzliche Beziehung für den adjugate nur gestützt haben. Tatsächlich können die ersten n abgeleiteten Gleichungen als Bestimmung des Quotienten B der Euklidischen Abteilung des Polynoms links durch das monic Polynom interpretiert werden, während die Endgleichung die Tatsache ausdrückt, dass der Rest Null ist. Diese Abteilung wird im Ring von Polynomen mit Matrixkoeffizienten durchgeführt. Tatsächlich, sogar über einen Nichtersatzring, wird die Euklidische Abteilung durch ein monic Polynom P definiert, und erzeugt immer einen einzigartigen Quotienten und Rest mit derselben Grad-Bedingung wie im Ersatzfall, vorausgesetzt dass es angegeben wird, an dem Partei ergreifen, möchte man, dass P ein Faktor ist (hier, der nach links ist). Um zu sehen, dass Quotient und Rest einzigartig sind (der der wichtige Teil der Behauptung hier ist) genügt es, um zu schreiben als und zu bemerken, dass da P monic ist, kann keinen Grad weniger haben als dieser von P, wenn.

Aber die Dividende und der Teiler verwendet hier beider liegen im Subring (R) [t], wo R des Subrings des Matrixrings M zu sein, durch A erzeugt hat: die R-linear Spanne aller Mächte von A. Deshalb kann die Euklidische Abteilung tatsächlich innerhalb dieses polynomischen Ersatzrings durchgeführt werden, und natürlich gibt es dann denselben Quotienten B und Rest 0 als im größeren Ring; insbesondere zeigt das, dass B tatsächlich darin liegt. Aber in dieser Ersatzeinstellung ist es gültig, um t auf in der Gleichung zu setzen, mit anderen Worten die Einschätzungskarte anzuwenden

:

der ein Ringhomomorphismus ist, gebend

:

gerade wie im zweiten Beweis, wie gewünscht.

Zusätzlich zum Beweis des Lehrsatzes sagt das obengenannte Argument uns, dass die Koeffizienten von B Polynome in A sind, während vom zweiten Beweis wir nur gewusst haben, dass sie im centralizer Z von A liegen; in General Z ist ein größerer Subring als R, und nicht notwendigerweise auswechselbar. Insbesondere liegt der unveränderliche Begriff in R. Da A eine willkürliche Quadratmatrix ist, beweist das, dass das immer als ein Polynom darin ausgedrückt werden kann (mit Koeffizienten, die abhängen), etwas, was aus der Definition der adjugate Matrix nicht offensichtlich ist. Tatsächlich erlauben die im ersten Beweis gefundenen Gleichungen nacheinander... als Polynome in A auszudrücken, der zur Identität führt

:

gültig für den ganzen n×n matrices, wo das charakteristische Polynom von A ist. Bemerken Sie, dass diese Identität die Behauptung des Lehrsatzes von Cayley-Hamilton einbezieht: Man kann sich zur rechten Seite bewegen, die resultierende Gleichung (links oder rechts) dadurch multiplizieren, und die Tatsache das verwenden

:

Ein Beweis mit matrices Endomorphismen

Wie oben erwähnt wurde, wird die Matrix in der Behauptung des Lehrsatzes durch das erste Auswerten der Determinante und dann Ersetzen der Matrix für t erhalten; das Tun dieses Ersatzes in die Matrix vor dem Auswerten der Determinante ist nicht bedeutungsvoll. Dennoch ist es möglich, eine Interpretation zu geben, wo direkt als der Wert eines bestimmten deteminant erhalten wird, aber das verlangt eine mehr komplizierte Einstellung, einen von matrices über einen Ring, in dem sowohl die Einträge von A als auch ganzen selbst interpretieren kann. Man konnte dafür den Ring M von n &times nehmen; n matrices über R, wo der Zugang als, und als selbst begriffen wird. Aber matrices mit matrices weil in Betracht ziehend, könnten Einträge Verwirrung mit dem Block matrices verursachen, der nicht beabsichtigt ist, weil das den falschen Begriff der Determinante gibt (rufen Sie zurück, dass die Determinante einer Matrix als eine Summe von Produkten seiner Einträge definiert wird, und im Fall von einer Block-Matrix das allgemein nicht dasselbe als die entsprechende Summe von Produkten seiner Blöcke ist!) . Es ist klarer, vom Endomorphismus φ eines n-dimensional Vektorraums V zu unterscheiden (oder freies R-Modul, wenn R nicht ein Feld ist) definiert dadurch in einer Basis e..., e, und matrices über den Ring End (V) aller dieser Endomorphismen zu nehmen. Dann ist ein möglicher Matrixzugang, während A das Element benennt, dessen Zugang Endomorphismus der Skalarmultiplikation dadurch ist; ähnlich werde ich als Element dessen interpretiert. Jedoch, da End (V) nicht ein Ersatzring ist, wird kein deteminant darauf definiert; das kann nur für matrices über einen Ersatzsubring von End (V). Now die Einträge der Matrix getan werden alle lügen im Subring R [φ] erzeugt durch die Identität und den φ, der auswechselbar ist. Dann wird eine bestimmende Karte definiert, und bewertet zum Wert p (φ) des charakteristischen Polynoms an φ (das hält unabhängig von der Beziehung zwischen A und φ); der Lehrsatz von Cayley-Hamilton stellt fest, dass p (φ) der ungültige Endomorphismus ist.

In dieser Form kann der folgende Beweis bei diesem erhalten werden (der tatsächlich die allgemeinere mit dem Lemma von Nakayama verbundene Behauptung ist; man nimmt für das Ideal in diesem Vorschlag den ganzen Ring R). Die Tatsache, dass A die Matrix von φ in der Basis e..., e ist, bedeutet das

:

Man kann diese als n Bestandteile einer Gleichung in V interpretieren, dessen Mitglieder mit dem Matrixvektorprodukt geschrieben werden können, das wie gewöhnlich, aber mit individuellen Einträgen definiert wird und durch das Formen "multipliziert" zu werden; das gibt:

:

wo das Element ist, dessen Bestandteil ich e bin (mit anderen Worten, ist es die Basis e..., e von V schriftlich als eine Säule von Vektoren). Das Schreiben dieser Gleichung als

:

man erkennt das Umstellen der Matrix an, die oben betrachtet ist, und seine Determinante (als Element) ist auch p (φ). Auf diese Gleichung zurückzuführen zu sein, dass man durch die adjugate Matrix dessen nach links multipliziert, der im Matrixring definiert wird, gebend

:

0&= \mbox {Adjektiv} (\varphi I_n-A^\\mathrm {tr}) \cdot ((\varphi I_n-A^\\mathrm {tr}) \cdot E) \\

&= (\mbox {Adjektiv} (\varphi I_n-A^\\mathrm {tr}) \cdot (\varphi I_n-A^\\mathrm {tr})) \cdot E \\

&= (\det (\varphi I_n-A^\\mathrm {tr}) I_n) \cdot E \\

&= (p (\varphi) I_n) \cdot E; \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

der associativity der Matrixmatrix und im ersten Schritt verwendeten Matrixvektor-Multiplikation ist ein rein formelles Eigentum jener Operationen, die der Natur der Einträge unabhängig sind. Jetzt sagt Bestandteil i dieser Gleichung das; so p verschwindet (φ) auf dem ganzen e, und da diese Elemente V hieraus folgt dass erzeugen, den Beweis vollendend.

Eine zusätzliche Tatsache, die aus diesem Beweis folgt, ist, dass die Matrix, wessen charakteristisches Polynom genommen wird, zum Wert φ eingesetzt in dieses Polynom nicht identisch zu sein braucht; es genügt, dass φ ein Endomorphismus von V Zufriedenheit der anfänglichen Gleichungen φ (e) = Σ Ae für eine Folge von Elementen e..., e ist, die V erzeugen (welcher Raum kleinere Dimension haben könnte als n, oder im Falle dass der Ring R nicht ein Feld ist, könnte es kein freies Modul überhaupt sein).

Ein gefälschter "Beweis": p (A)

det (AI &minus; A) = det (&minus; A) = 0 ===

Ein elementares, aber falsches Argument für den Lehrsatz soll "einfach" die Definition nehmen

:

und Ersatz für, vorherrschend

:

Es gibt viele Weisen zu sehen, warum dieses Argument falsch ist. Erstens, im Lehrsatz von Cayley-Hamilton, p ist (A) eine n×n Matrix. Jedoch ist die rechte Seite der obengenannten Gleichung der Wert einer Determinante, die ein Skalar ist. So können sie nicht wenn n = 1 ausgeglichen werden (d. h. A ist gerade ein Skalar). Zweitens, im Ausdruck, kommt die Variable wirklich bei den diagonalen Einträgen der Matrix vor. Um zu illustrieren, denken Sie das charakteristische Polynom im vorherigen Beispiel wieder:

:

Wenn man die komplette Matrix für in jenen Positionen einsetzt, erhält man

:

in dem der "Matrix"-Ausdruck einfach nicht ein gültiger ist., Bemerken Sie jedoch, dass wenn Skalarvielfachen der Identität matrices

statt Skalare werden im obengenannten abgezogen, d. h. wenn der Ersatz als durchgeführt wird

:

dann ist die Determinante tatsächlich Null, aber die ausgebreitete fragliche Matrix bewertet dazu nicht; noch kann seine Determinante (ein Skalar), im Vergleich zu (eine Matrix) sein. So das Argument, das noch nicht gilt.

Wirklich, wenn solch ein Argument hält, sollte es auch halten, wenn andere mehrgeradlinige Formen statt der Determinante verwendet werden. Zum Beispiel, wenn wir die dauerhafte Funktion denken und dann durch dasselbe Argument definieren, sollten wir im Stande sein, dass q (A) = 0 "zu beweisen". Aber diese Behauptung ist beweisbar falsch. Im 2-dimensionalen Fall, zum Beispiel, wird die dauerhafte von einer Matrix durch gegeben

:

Also, für die Matrix im vorherigen Beispiel,

:

Und doch kann man das nachprüfen

Einer der Beweise für den Lehrsatz von Cayley-Hamilton trägt oben etwas Ähnlichkeit zum Argument das. Indem man eine Matrix mit nichtnumerischen Koeffizienten einführt, kann man wirklich lebend innerhalb eines Matrixzugangs lassen, aber ist dann nicht gleich, und zum Schluss wird verschieden gelangen.

Abstraktion und Generalisationen

Die obengenannten Beweise zeigen, dass der Lehrsatz von Cayley-Hamilton für matrices mit Einträgen in jedem Ersatzring R hält, und dass p (φ) = 0 halten wird, wann auch immer φ ein Endomorphismus eines R Moduls ist, das durch Elemente e..., e erzeugt ist, der für j = 1..., n befriedigt. Diese allgemeinere Version des Lehrsatzes ist die Quelle des berühmten Lemmas von Nakayama in der Ersatzalgebra und algebraischen Geometrie.

Siehe auch

• Dazugehörige Matrix

Außenverbindungen

• Ein Beweis von PlanetMath.
• Der Lehrsatz von Cayley-Hamilton an MathPages