Matrixdarstellung von konischen Abteilungen

In der Mathematik ist die Matrixdarstellung von konischen Abteilungen eine Weise, eine konische Abteilung, seine Achse, Scheitelpunkte, Fokusse, Tangenten und die Verhältnisposition eines gegebenen Punkts zu studieren. Wir können auch konische Abteilungen studieren, deren Äxte zu unserem Koordinatensystem nicht parallel sind.

Konische Abteilungen haben die Form eines zweiten Grades Polynoms:

:

Q \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. \,

</Mathematik>

Das kann als geschrieben werden:

:

\mathbf {x} ^T A_Q\mathbf {x} =0

</Mathematik>

Wo der homogene Koordinatenvektor ist:

:

\begin {pmatrix} x \\y \\1 \end {pmatrix }\

</Mathematik>

Und eine Matrix:

:

A_Q =

\begin {pmatrix }\

A & B/2 & D/2 \\

B/2 & C & E/2 \\

D/2 & E/2 & F

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

Klassifikation

Regelmäßig und hat degeneriert konische Abteilungen können gestützt auf der Determinante von A bemerkenswert sein.

Wenn das konische degeneriert ist.

Wenn Q nicht degeneriert ist, können wir sehen, welche konische Abteilung es durch die Computerwissenschaft des Minderjährigen (d. h. die Determinante der Submatrix ist, die sich aus dem Entfernen der letzten Reihe und der letzten Säule von A ergibt):

:

A_ {33} =

\begin {bmatrix }\

A & B/2 \\

B/2

& C

\end {bmatrix}.

</Mathematik>
  • Wenn und nur wenn
  • Wenn, und nur wenn es eine Parabel ist.
  • Wenn, und nur wenn es eine Ellipse ist.

Im Fall von einer Ellipse können wir eine weitere Unterscheidung zwischen einer Ellipse und einem Kreis machen, indem wir die letzten zwei diagonalen Elemente entsprechend x und y vergleichen.

  • Wenn und es ein Kreis ist.

Außerdem, im Fall von einer nichtdegenerierten Ellipse (mit und), haben wir eine echte Ellipse wenn

Wenn die konische Abteilung degeneriert ist , noch erlaubt uns, seine Form zu unterscheiden:

Wenn und nur wenn
  • Wenn, und nur wenn es zwei parallele Geraden sind. Diese Linien sind verschieden und wenn, zusammenfallend wenn, und verschieden und imaginär wenn echt
  • Wenn, und nur wenn es ein einzelner Punkt ist.

Zentrum

Im Zentrum des konischen verschwindet der Anstieg der quadratischen Form, so:

\nabla Q = [\frac {\\teilweiser Q} {\\teilweise x\, \frac {\\teilweise Q\{\\teilweise y\] = [0,0].

</Mathematik>

Wir können das Zentrum berechnen, indem wir die ersten zwei Reihen des verbundenen nehmen

Matrix, jeden mit (x, y, 1) multiplizierend, beide Skalarprodukte setzend, die 0 gleich sind, und das System lösend.

:

S \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

\left\{\begin {Matrix-}\

a_ {11} + a_ {12} x + a_ {13} y & = & 0 \\

a_ {21} + a_ {22} x + a_ {23} y & = & 0

\end {Matrix} \right.

\\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

\left\{\\beginnen {Matrix-}\

D/2 + Axt + (B/2) y & = & 0 \\

E/2 + (B/2) x + Cy & = & 0

\end {Matrix} \right.

</Mathematik>

Das wird

:

\begin {pmatrix} x_c \\y_c \end {pmatrix}

= \begin {pmatrix} A & B/2 \\B/2 & C \end {pmatrix} ^ {-1 }\

\begin {pmatrix}-D/2 \\-E/2 \end {pmatrix }\

= \begin {pmatrix} (-2CD SEIN) / (4AC-B^2) \\(DB-2AE) / (4AC-B^2) \end {pmatrix }\

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass im Fall von einer Parabel, die durch (4AC-B) = 0 definiert ist, es kein Zentrum gibt, da die obengenannten Nenner Null werden.

Äxte

Die größeren und geringen Äxte sind zwei Linien, die durch das Zentrum des konischen als ein Punkt und Eigenvektoren der verbundenen Matrix als Vektoren der Richtung bestimmt sind.

:

a_ {1,2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

\left\{\\beginnen {Matrix-}\

S (x_0, y_0) &\\qquad \mbox {(Zentrum des konischen) }\\\

\vec u (u_x, u_y) &\\qquad \mbox {(Eigenvektor} A_ {33})

\end {Matrix} \right.</Mathematik>

So können wir eine kanonische Gleichung schreiben:

:

a_ {1,2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\\frac {x-x_0} {u_x} = \frac {y-y_0} {u_y }\

</Mathematik>

Weil 2x2 Matrix 2 Eigenvektoren hat, erhalten wir 2 Äxte.

Scheitelpunkte

Für einen konischen General können wir seine Scheitelpunkte bestimmen, indem wir die Kreuzung des konischen und seiner Äxte - mit anderen Worten berechnen, indem wir das System lösen:

:

V\\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

\left\{\\beginnen {Matrix-}\

& e &\\qquad \mbox {(Achse)} \\

& Q &\\qquad \mbox {(die allgemeine Gleichung des konischen) }\

\end {Matrix} \right.</Mathematik>

Tangenten

Durch einen gegebenen Punkt, P, gibt es allgemein zwei Linientangente zu einem konischen. P als ein Spaltenvektor, p ausdrückend, sind die zwei Punkte von tangency die Kreuzungen des konischen mit der Linie, deren Gleichung ist

:

\mathbf {p} ^T A_Q\mathbf {x} =0

</Mathematik>

Wenn P auf dem konischen ist, ist die Linie die Tangente dort. Wenn P innerhalb einer Ellipse ist, ist die Linie der Satz aller Punkte, deren eigene verbundene Linie P durchführt. Diese Linie wird den polaren vom Polen P in Bezug auf das konische genannt.

Ebenso P bestimmt einzigartig seine polare Linie (in Bezug auf einen gegebenen konischen), so bestimmt jede Linie einen einzigartigen P. Das ist so ein Ausdruck der geometrischen Dualität zwischen Punkten und Linien im Flugzeug.

Als spezielle Fälle ist das Zentrum eines konischen der Pol der Linie an der Unendlichkeit, und jede Asymptote einer Hyperbel ist ein polarer (eine Tangente) zu einem seiner Punkte an der Unendlichkeit.

Mit der Theorie von Polen und polars nimmt das Problem, die vier gegenseitigen Tangenten von zwei conics zu finden, zur Entdeckung der Kreuzung von zwei conics ab.

Reduzierte Gleichung

Die reduzierte Gleichung einer konischen Abteilung ist die Gleichung einer konischen Abteilung übersetzt und rotieren gelassen, so dass sein Zentrum im Zentrum des Koordinatensystems liegt und seine Äxte zu den Koordinatenäxten parallel sind. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass die Koordinaten bewegt werden, um diese Eigenschaften zu befriedigen. Sieh die Zahl.

Wenn und der eigenvalues sind

der Matrix A kann die reduzierte Gleichung als geschrieben werden

:

\lambda_1 x '^2 + \lambda_2 y '^2 + \frac {\\det A_Q} {\\det A_ {33}} = 0

</Mathematik>

Das Teilen durch erhalten uns eine reduzierte kanonische Gleichung. Zum Beispiel, für eine Ellipse:

:

\frac

\end {richten} \right {aus}.

</Mathematik>

Siehe auch

  • Konisch section#Cartesian koordiniert

ATC / Brocken
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