In der Mathematik sind eine Matrix von Hermitian (oder selbst adjungierte Matrix) eine Quadratmatrix mit komplizierten Einträgen, die seinem eigenen verbundenen gleich ist, stellen um - d. h. das Element in der i-th Reihe und j-th Säule ist dem Komplex gleich, der des Elements in der j-th Reihe und i-th Säule für alle Indizes i und j verbunden ist:

:

Wenn die verbundenen von einer Matrix umstellen, wird dadurch angezeigt, dann kann das Eigentum von Hermitian kurz als geschrieben werden

:

Hermitian matrices kann als die komplizierte Erweiterung von echtem symmetrischem matrices verstanden werden.

Hermitian matrices werden nach Charles Hermite genannt, der 1855 demonstriert hat, dass matrices dieser Form ein Eigentum mit echtem symmetrischem matrices teilen, immer echten eigenvalues zu haben.

Beispiele

Zum Beispiel,

:

2-i&1 \end {bmatrix} </Mathematik>

Wohl bekannte Familien von Pauli matrices, Gell-Mann matrices und verschiedene Generalisationen sind Hermitian. In der theoretischen Physik werden solche Hermitian matrices gewöhnlich mit imaginären Koeffizienten multipliziert, der hinausläuft, verdrehen matrices (sieh unten)-Hermitian.

Eigenschaften

Die Einträge auf der Hauptdiagonale (Spitze, die verlassen ist, Recht zu ergründen), von jeder Matrix von Hermitian, sind notwendigerweise echt. Eine Matrix, die nur echte Einträge hat, ist Hermitian, wenn, und nur wenn es eine symmetrische Matrix ist, d. h., wenn es in Bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch ist. Eine echte und symmetrische Matrix ist einfach ein spezieller Fall einer Matrix von Hermitian.

Jede Hermitian Matrix ist eine normale Matrix, und der endlich-dimensionale geisterhafte Lehrsatz gilt. Es sagt, dass jede Matrix von Hermitian diagonalized durch eine einheitliche Matrix sein kann, und dass die resultierende Diagonalmatrix nur echte Einträge hat. Das deutet an, dass alle eigenvalues einer Matrix von Hermitian A echt sind, und dass A n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Außerdem ist es möglich, eine orthonormale Basis von C zu finden, der aus n Eigenvektoren von A. besteht

Die Summe irgendwelcher zwei Hermitian matrices ist Hermitian, und das Gegenteil einer invertible Matrix von Hermitian ist Hermitian ebenso. Jedoch wird das Produkt von zwei Hermitian matrices A und B nur Hermitian sein, wenn sie, d. h., wenn AB = BA pendeln. So ist A Hermitian, wenn A Hermitian ist und n eine ganze Zahl ist.

Der Hermitian Komplex n-by-n matrices bildet keinen Vektorraum über die komplexen Zahlen, da die Identitätsmatrix Hermitian ist, aber nicht ist. Jedoch bilden komplizierte Hermitian matrices wirklich einen Vektorraum über die reellen Zahlen. In 2n R dimensionaler Vektorraum des Komplexes n×n matrices bilden komplizierte Hermitian matrices einen Subraum der Dimension n. Wenn E die n-by-n Matrix mit 1 im j, k Position und Nullen anderswohin anzeigt, kann eine Basis wie folgt beschrieben werden:

: für (n matrices)

zusammen mit dem Satz von matrices der Form

: dafür

und der matrices

: dafür

wo die komplexe Zahl anzeigt, die als die imaginäre Einheit bekannt ist.

Wenn n orthonormale Eigenvektoren einer Matrix von Hermitian gewählt und als die Säulen der Matrix U geschrieben werden, dann ist ein eigendecomposition von A wo

und deshalb

:

wo der eigenvalues auf der Diagonale der Diagonalmatrix sind.

Zusätzliche mit Hermitian matrices verbundene Tatsachen schließen ein:

• Die Summe einer Quadratmatrix und seines verbundenen stellt um ist Hermitian.
• Der Unterschied einer Quadratmatrix und seines verbundenen stellt um ist verdrehen-Hermitian (auch hat antihermitian genannt).
• Das deutet an, dass der Umschalter von zwei Hermitian matrices ist, verdrehen-Hermitian.
• Eine willkürliche Quadratmatrix C kann als die Summe einer Matrix von Hermitian A und einer verdrehen-Hermitian Matrix B geschrieben werden:

::

• Die Determinante einer Matrix von Hermitian ist echt:

:: Beweis:

:: Deshalb, wenn

: (Wechselweise ist die Determinante das Produkt des eigenvalues der Matrix, und wie erwähnt, vorher, die eigenvalues einer Matrix von Hermitian sind echt.)

Siehe auch

• Hermitian bilden
• Selbst adjungierter Maschinenbediener
• Trägheitsadditivitätsformel von Haynsworth

Links

Wenn sie

• sich Hermitian Matrix weil vergegenwärtigt, gibt Eine Ellipse mit Dr Geo, durch Chao-Kuei Hung von der Universität von Shu-Te, eine geometrischere Erklärung.