In der Mathematik ist eine Wurzel der Einheit oder Zahl von de Moivre, jede komplexe Zahl, die 1, wenn erhoben, zu etwas Macht der ganzen Zahl n gleich ist. Wurzeln der Einheit werden in vielen Zweigen der Mathematik verwendet, und sind in der Zahlentheorie, der Theorie von Gruppencharakteren, Feldtheorie besonders wichtig, und der getrennte Fourier verwandelt sich.

Der Begriff der Wurzel der Einheit gilt auch für jeden algebraischen Ring mit einem multiplicative Identitätselement, nämlich eine Wurzel der Einheit ist jedes Element der begrenzten Multiplicative-Ordnung.

Definition

Eine n-te Wurzel der Einheit', wo n = 1,2,3, ··· ist eine positive ganze Zahl, ist eine komplexe Zahl z Zufriedenheit der Gleichung

:

Eine n-te Wurzel der Einheit ist primitiv, wenn es nicht eine kth Wurzel der Einheit für einen kleineren k ist:

:

Elementare Tatsachen

Jede n-te Wurzel der Einheit z ist eine primitive ath Wurzel der Einheit für einige wo 1 ≤ ≤ n: Wenn z = 1 dann z eine primitive erste Wurzel der Einheit sonst ist, wenn z = 1 dann z eine primitive zweite (quadratische) Wurzel der Einheit sonst ist..., und durch die Annahme es "1" an oder vor dem n-ten Begriff in der Folge geben muss.

Wenn z eine n-te Wurzel der Einheit und &equiv ist; b (mod n) dann z = z. Durch die Definition der Kongruenz, = b + kn für eine ganze Zahl k. Aber dann,

:

Deshalb, in Anbetracht einer Macht z z, kann es dieser 1 &le angenommen werden; ≤ n. Das ist häufig günstig.

Jede Macht der ganzen Zahl einer n-ten Wurzel der Einheit ist auch eine n-te Wurzel der Einheit:

:

Hier kann k negativ sein. Insbesondere das Gegenstück einer n-ten Wurzel der Einheit ist sein Komplex verbunden, und ist auch eine n-te Wurzel der Einheit:

:

Lassen Sie z eine primitive n-te Wurzel der Einheit sein. Dann sind die Mächte z, z... z, z = z = 1 alle verschieden. Nehmen Sie das Gegenteil, dass z = z wo 1 &le an; = 1. Aber 0... z, z = z = 1 sind tatsächlich alle n-ten Wurzeln der Einheit.

Von den vorhergehenden Tatsachen hieraus folgt dass, wenn z eine primitive n-te Wurzel der Einheit ist:

:

Wenn z nicht primitiv ist, gibt es nur eine Implikation:

:

Ein Beispiel zeigend, dass die gegenteilige Implikation falsch ist, wird angeführt durch:

:

Lassen Sie z eine primitive n-te Wurzel der Einheit sein und k eine positive ganze Zahl sein zu lassen. Von der obengenannten Diskussion ist z eine primitive Wurzel der Einheit für einen a. Jetzt, wenn z = 1, ka ein Vielfache von n sein muss. Die kleinste Zahl, die sowohl durch n als auch durch k teilbar ist, ist ihr kleinstes Gemeinsames Vielfaches, das durch lcm (n, k) angezeigt ist. Es ist mit ihrem größten allgemeinen Teiler, gcd (n, k) durch die Formel verbunden:

:

d. h.

:

Deshalb ist z eine primitive ath Wurzel der Einheit wo

:

So, wenn k und n coprime z sind, ist auch eine primitive n-te Wurzel der Einheit, und deshalb gibt es φ (n) (wo φ ist die Totient-Funktion von Euler) die verschiedenen primitiven n-ten Wurzeln der Einheit. (Das deutet an, dass, wenn n eine Primzahl ist, alle Wurzeln außer +1 primitiv sind).

Mit anderen Worten, wenn R (n) der Satz aller n-ten Wurzeln der Einheit ist und P (n) der Satz von primitiven ist, R ist (n) eine zusammenhanglose Vereinigung des P (n):

:

wo die Notation bedeutet, dass d alle Teiler von n, einschließlich 1 und n durchgeht.

Seit dem cardinality von R ist (n) n, und dieser von P (n) ist φ (n), das demonstriert die klassische Formel

:

Beispiele

die Formel von de Moivre, die für den ganzen echten x und ganze Zahlen n gültig ist, ist

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Das Setzen x = 2π/n gibt eine primitive n-te Wurzel der Einheit:

:

aber für k = 1, 2...

n−1, :

Diese Formel zeigt, dass auf dem komplizierten Flugzeug die n-ten Wurzeln der Einheit an den Scheitelpunkten eines regelmäßigen n-sided Vielecks sind, das im Einheitskreis, mit einem Scheitelpunkt an 1 eingeschrieben ist. (Sieh die Anschläge für n = 3 und n = 5 rechts). Diese geometrische Tatsache ist für den Begriff "cyclotomic" in solchen Ausdrücken wie cyclotomic Feld und cyclotomic Polynom verantwortlich; es ist vom griechischen Wurzel"cyclo" (Kreis) plus "tomos" (Kürzung, teilen Sie sich).

Die Formel von Euler

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der für den ganzen echten x gültig ist, kann verwendet werden, um die Formel für die n-ten Wurzeln der Einheit in seine vertrauteste Form zu stellen

:

Es folgt aus der Diskussion in der vorherigen Abteilung, dass das eine primitive Wurzel ist, wenn, und nur wenn der Bruchteil k/n in niedrigsten Begriffen ist, d. h. dass k und n coprime sind.

Die Wurzeln der Einheit, sind definitionsgemäß, die Wurzeln einer polynomischen Gleichung und sind so algebraische Zahlen. Tatsächlich kann Theorie von Galois verwendet werden, um zu zeigen, dass sie als Ausdrücke ausgedrückt werden können, die ganze Zahlen und die Operationen der Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung und des Wurzelziehens einschließen. (Es gibt mehr Details später in diesem Artikel an Feldern von Cyclotomic.)

Die Gleichung z = 1 hat offensichtlich nur eine Lösung, +1, der deshalb die einzige primitive erste Wurzel der Einheit ist. Es ist ein Nichtprimitiver 2., 3., 4.... Wurzel der Einheit.

Die Gleichung z = 1 hat zwei Lösungen, +1 und −1. +1 ist die primitive erste Wurzel der Einheit, −1 als die einzige primitive zweite (quadratische) Wurzel der Einheit abreisend. Es ist ein Nichtprimitiver 4., 6., 8.... Wurzel der Einheit.

Die einzigen echten Wurzeln der Einheit sind ±1; ganz sind andere nichtechte komplexe Zahlen, wie von der Formel von de Moivre oder den Zahlen gesehen werden kann.

Die dritten (Würfel) Wurzeln befriedigen die Gleichung z − 1 = 0; die Nichthauptwurzel +1 kann ausgeklammert werden, gebend (z − 1) (z + z + 1) = 0. Deshalb sind die primitiven Würfel-Wurzeln der Einheit die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. (Sieh Cyclotomic Polynom unten.)

:

Die zwei primitiven vierten Wurzeln der Einheit sind die zwei Quadratwurzeln der primitiven Quadratwurzel der Einheit,

−1 :

Die vier primitiven fünften Wurzeln der Einheit sind

:

Die zwei primitiven sechsten Wurzeln der Einheit sind die Negative (und auch die Quadratwurzeln) von den zwei primitiven Würfel-Wurzeln:

:

Gauss hat dass bemerkt, wenn eine primitive n-te Wurzel der Einheit mit nur Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann, dann ist es möglich, den regelmäßigen n-gon das Verwenden nur des Lineals und Kompasses zu bauen, und dass, wenn die Wurzel der Einheit die dritten oder vierten oder höheren Radikalen verlangt, das regelmäßige Vieleck nicht gebaut werden kann. Die 7. Wurzeln der Einheit sind erst, die Würfel-Wurzeln verlangen. Bemerken Sie, dass der echte Teil und imaginäre Teil beide reelle Zahlen sind, aber komplexe Zahlen werden in den Ausdrücken begraben. Sie können nicht entfernt werden. Sieh casus irreducibilis für Details.

Eine der primitiven siebenten Wurzeln der Einheit ist

:</Mathematik>

wo ω und ω die primitiven Würfel-Wurzeln der Einheit exp (2πi/3) und exp (4πi/3) sind.

Die vier primitiven achten Wurzeln der Einheit sind ± die Quadratwurzeln der primitiven vierten Wurzeln, ±i. Einer von ihnen ist:

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Sieh heptadecagon für den echten Teil einer 17. Wurzel der Einheit.

Periodizität

Wenn z eine primitive n-te Wurzel der Einheit, dann die Folge von Mächten ist

: …, z, z, z, …

ist n-periodic (weil z = z · z = z · 1 = z für alle Werte j) und die n Folgen von Mächten

:s: …, z, z, z, …

für k = 1, …, sind n der ganze n-periodic (weil z = z). Außerdem ist der Satz {s, …, s} dieser Folgen eine Basis des geradlinigen Raums aller n-periodic Folgen. Das bedeutet dass jede n-periodic Folge von komplexen Zahlen

: …, x, x, x, …

kann als eine geradlinige Kombination von Mächten einer primitiven n-ten Wurzel der Einheit ausgedrückt werden:

:x =  X · z = X · z + ··· + X · z

für einige komplexe Zahlen X, …, X und jede ganze Zahl j.

Das ist eine Form der Analyse von Fourier. Wenn j eine (getrennte) Zeitvariable ist, dann ist k eine Frequenz, und X ist ein komplizierter Umfang.

Die Auswahl für die primitive n-te Wurzel der Einheit

:z = e = weil (2π/n) + ich · Sünde (2π/n)

erlaubt x, als eine geradlinige Kombination weil und Sünde ausgedrückt zu werden:

:x =  A · weil (2π\· j · k/n) +  B · Sünde (2π\· j · k/n).

Das ist ein getrennter Fourier verwandeln sich.

Summierung

Lassen Sie SR (n) die Summe aller n-ten Wurzeln der Einheit, primitiv sein oder nicht. Dann

:

\begin {Fälle }\

1, & n=1 \\

0, & n> 1.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Für n = 1 gibt es nichts, um sich zu erweisen. Für n> 1 ist es" von der Symmetrie der Wurzeln im komplizierten Flugzeug "intuitiv offensichtlich. Für einen strengen Beweis, lassen Sie z eine primitive n-te Wurzel der Einheit sein. Dann wird der Satz aller Wurzeln durch z, k = 0, 1..., n&minus;1 gegeben, und ihre Summe wird durch die Formel für eine geometrische Reihe gegeben:

:

Lassen Sie SP (n) die Summe aller primitiven n-ten Wurzeln der Einheit sein. Dann

:

wo &mu; (n) ist die Funktion von Mobius.

In der Abteilung Elementare Tatsachen wurde es gezeigt, dass, wenn R (n) der Satz aller n-ten Wurzeln der Einheit und P ist (n) der Satz von primitiven ist, R ist (n) eine zusammenhanglose Vereinigung des P (n):

:

Das bezieht ein

:

Die Verwendung der Inversionsformel von Mobius gibt

:

In dieser Formel, wenn d (1) der Summe von Ramanujan c (s), definiert als die Summe der sth Mächte der primitiven n-ten Wurzeln der Einheit:

:

\sum_ {a=1\atop \gcd (a, n) =1} ^n

e^ {2 \pi i \tfrac {n} s }\

.</Mathematik>

Orthogonality

Von der Summierung folgt Formel einer orthogonality Beziehung: für j = 1, ··· n und j '= 1, ··· n

:

wo das Delta von Kronecker ist und z jede primitive n-te Wurzel der Einheit ist.

Die Matrix, deren th Zugang ist

:

definiert einen getrennten Fourier verwandeln sich. Die Computerwissenschaft der umgekehrten Transformation mit gaussian Beseitigung verlangt O (n) Operationen. Jedoch folgt es aus dem orthogonality, dass U einheitlich ist. Das, ist

:

und so ist das Gegenteil von U einfach der verbundene Komplex. (Diese Tatsache wurde zuerst von Gauss bemerkt, als man das Problem der trigonometrischen Interpolation behoben hat). Die aufrichtige Anwendung von U oder seinem Gegenteil zu einem gegebenen Vektoren verlangt O (n) Operationen. Der schnelle Fourier verwandelt sich Algorithmen vermindert die Anzahl von Operationen weiter zu O (n loggen n).

Polynome von Cyclotomic

Der zeroes des Polynoms

:

sind genau die n-ten Wurzeln der Einheit, jedes mit der Vielfältigkeit 1. Das n-te cyclotomic Polynom wird durch die Tatsache definiert, dass seine Nullen genau die primitiven n-ten Wurzeln der Einheit, jedes mit der Vielfältigkeit 1 sind.

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wo z, z, z..., z die primitiven n-ten Wurzeln der Einheit, und &phi sind; (n) ist die Totient-Funktion von Euler. Das Polynom Φ (z) hat Koeffizienten der ganzen Zahl und ist ein nicht zu vereinfachendes Polynom über die rationalen Zahlen (d. h. es kann als das Produkt von zwei Polynomen des positiven Grads mit vernünftigen Koeffizienten nicht geschrieben werden). Der Fall von erstem n, der leichter ist als die allgemeine Behauptung, folgt durch die Verwendung des Kriteriums von Eisenstein auf das Polynom ((z + 1) &minus;1) / ((z + 1) &minus; 1) und die Erweiterung über den binomischen Lehrsatz.

Jede n-te Wurzel der Einheit ist eine primitive dth Wurzel der Einheit für genau einen positiven Teiler d von n. Das bezieht das ein

:

Diese Formel vertritt den factorization des Polynoms z &minus; 1 in nicht zu vereinfachende Faktoren.

:z&minus;1 =

z&minus;1

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+1)

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+z+1)

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+1) &middot; (z+1)

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+z+z+z+1)

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+1) &middot; (z+z+1) &middot; (z&minus;z+1)

:z&minus;1 = (z&minus;1) &middot; (z+z+z+z+z+z+1)

Die Verwendung der Möbius Inversion zur Formel gibt

:

\Phi_n (z) = \prod_ {d \,\mid n} (Z^ {n/d}-1) ^ {\\mu (d)} = \prod_ {d \,\mid n} (Z^ {d}-1) ^ {\\mu (n/d)},

</Mathematik>

wo μ die Funktion von Möbius ist.

So sind die ersten paar cyclotomic Polynome

:&Phi; (z) =

z&minus;1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) = z+1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) = z+z+1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) = z+1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) = z+z+z+z+1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) =

z&minus;z+1

:&Phi; (z) = (z&minus;1) &middot; (z&minus;1) = z+z+z+z+z+z+1

Wenn p eine Primzahl ist, dann sind alle pth Wurzeln der Einheit außer 1 primitive Pth-Wurzeln, und wir haben

:

Das Ersetzen jeder positiven ganzen Zahl &ge; 2 für z wird diese Summe eine Basis z repunit. So ist ein notwendiger (aber nicht genügend) Bedingung für einen repunit, um erst zu sein, dass seine Länge erst ist.

Bemerken Sie, dass, gegen den ersten Anschein, nicht alle Koeffizienten aller cyclotomic Polynome 0, 1, oder &minus;1 sind. Die erste Ausnahme ist Φ. Es ist nicht eine Überraschung es nimmt das lange, um ein Beispiel zu bekommen, weil das Verhalten der Koeffizienten nicht soviel von n abhängt wie darauf, wie viele sonderbare Hauptfaktoren in n erscheinen. Genauer kann es gezeigt werden, dass, wenn n 1 oder 2 sonderbare Hauptfaktoren (z.B, n = 150) dann hat, das n-te cyclotomic Polynom nur Koeffizienten 0, 1 oder &minus;1 hat. So ist der erste denkbare n, für den es einen Koeffizienten außerdem 0, 1, oder &minus;1 geben konnte, ein Produkt der drei kleinsten sonderbaren Blüte, und das ist 3 · 5 · 7 = 105. Das beweist allein nicht, dass das 105. Polynom einen anderen Koeffizienten hat, aber wirklich zeigt, dass es das erste ist, das sogar eine Chance hat zu arbeiten (und dann eine Berechnung der Koeffizienten zeigt, dass es tut). Ein Lehrsatz von Schur sagt, dass es cyclotomic Polynome mit im absoluten Wert willkürlich großen Koeffizienten gibt. Insbesondere wenn, wo sonderbare Blüte sind, und t dann seltsam ist, kommt 1  t als ein Koeffizient im n-ten cyclotomic Polynom vor.

Viele Beschränkungen sind über die Werte bekannt, die cyclotomic Polynome an Werten der ganzen Zahl annehmen können. Zum Beispiel, wenn p erst ist und d |  (d), dann entweder d  1 mod (p) oder d  0 mod (p).

Polynome von Cyclotomic sind in Radikalen lösbar, weil Wurzeln der Einheit selbst Radikale sind. Außerdem dort bestehen Sie informativere radikale Ausdrücke für die n-ten Wurzeln der Einheit mit dem zusätzlichen Eigentum, dass jeder Wert des erhaltenen Ausdrucks durch die Auswahl von Werten der Radikalen (zum Beispiel, Zeichen von Quadratwurzeln) eine primitive n-te Wurzel der Einheit ist. Das wurde bereits von Gauss 1797 gezeigt. Effiziente Algorithmen bestehen, um solche Ausdrücke zu berechnen.

Zyklische Gruppen

Die n-ten Wurzeln der Einheitsform unter der Multiplikation eine zyklische Gruppe des Auftrags n, und tatsächlich diese Gruppen umfassen alle begrenzten Untergruppen der multiplicative Gruppe des Feldes der komplexen Zahl. Ein Generator für diese zyklische Gruppe ist eine primitive n-te Wurzel der Einheit.

Die n-ten Wurzeln der Einheit bilden eine nicht zu vereinfachende Darstellung jeder zyklischen Gruppe des Auftrags n. Die orthogonality Beziehung folgt auch aus gruppentheoretischen Grundsätzen, wie beschrieben, in der Charakter-Gruppe.

Die Wurzeln der Einheit erscheinen als Einträge der Eigenvektoren jeder circulant Matrix, d. h. matrices, die invariant unter zyklischen Verschiebungen, eine Tatsache sind, die auch aus Gruppendarstellungstheorie als eine Variante des Lehrsatzes von Bloch folgt. Insbesondere wenn eine circulant Matrix von Hermitian betrachtet wird (zum Beispiel, discretized eindimensionaler Laplacian mit periodischen Grenzen), folgt das orthogonality Eigentum sofort aus dem üblichen orthogonality von Eigenvektoren von Hermitian matrices.

Felder von Cyclotomic

Indem

man an eine primitive n-te Wurzel der Einheit zu Q angrenzt, erhält man das n-te cyclotomic Feld F. Dieses Feld enthält alle n-ten Wurzeln der Einheit und ist das zerreißende Feld des n-ten cyclotomic Polynoms über Q. Die Felderweiterung F/Q hat Grad φ (n) und seine Gruppe von Galois, ist zur multiplicative Gruppe von Einheiten des Rings Z/nZ natürlich isomorph.

Da die Gruppe von Galois von F/Q abelian ist, ist das eine abelian Erweiterung. Jedes Teilfeld eines cyclotomic Feldes ist eine abelian Erweiterung des rationals. In diesen Fällen kann Theorie von Galois ausführlich in Bezug auf Perioden von Gaussian ausgeschrieben werden: Diese Theorie von Disquisitiones Arithmeticae von Gauss wurde viele Jahre vor Galois veröffentlicht.

Umgekehrt ist jede abelian Erweiterung des rationals solch ein Teilfeld eines cyclotomic Feldes - das ist der Inhalt eines Lehrsatzes von Kronecker, gewöhnlich genannt den Lehrsatz von Kronecker-Weber mit der Begründung, dass Weber den Beweis vollendet hat.

Siehe auch

• Kreisgruppe
• Gruppenschema von Wurzeln der Einheit
• Primitive Wurzel modulo n
• Wurzel der Einheit modulo n
• Charakter von Dirichlet
• Die Summe von Ramanujan

Referenzen