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Binomische Optionen, Modell bewertend

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:BOPM adressiert hier um; weil anderer Gebrauch BOPM (Begriffserklärung) sieht.

In der Finanz stellen die binomischen Optionen, Modell bewertend (BOPM) eine generalizable numerische Methode für die Schätzung von Optionen zur Verfügung. Das binomische Modell wurde zuerst vom Steuermann, Ross und Rubinstein (1979) vorgeschlagen. Im Wesentlichen verwendet das Modell eine "diskrete Zeit" (Gitter gestützt) Modell des unterschiedlichen Preises mit der Zeit des zu Grunde liegenden Finanzinstrumentes. Im Allgemeinen haben binomische Optionen, Modelle bewertend, Lösungen der geschlossenen Form nicht.

Gebrauch des Modells

Die Binomischen Optionen, Musterannäherung bewertend, werden weit verwendet, weil sie im Stande ist, eine Vielfalt von Bedingungen zu behandeln, für die andere Modelle nicht leicht angewandt werden können. Das ist größtenteils, weil der BOPM auf der Beschreibung eines zu Grunde liegenden Instrumentes über eine Zeitdauer von der Zeit aber nicht einem einzelnen Punkt basiert. Demzufolge wird es verwendet, um amerikanische Optionen zu schätzen, die exercisable jederzeit in einem gegebenen Zwischenraum sowie bermudischen Optionen sind, die exercisable an spezifischen Beispielen der Zeit sind. Relativ einfach seiend, ist das Modell sogleich implementable in der Computersoftware (einschließlich eines Spreadsheets).

Obwohl rechenbetont langsamer als die Schwarze-Scholes Formel es besonders für länger datierte Optionen auf Wertpapiere mit Dividendenzahlungen genauer ist. Aus diesen Gründen werden verschiedene Versionen des binomischen Modells von Praktikern auf den Optionsmärkten weit verwendet.

Für Optionen mit mehreren Quellen der Unklarheit (z.B, echte Optionen) und für Optionen mit komplizierten Eigenschaften (z.B, asiatische Optionen), sind binomische Methoden wegen mehrerer Schwierigkeiten weniger praktisch, und Auswahl-Modelle von Monte Carlo werden stattdessen allgemein verwendet. Wenn sie eine kleine Zahl von Zeitsprüngen vortäuschen wird, wird Simulation von Monte Carlo mehr rechenbetont zeitraubend sein als BOPM (vgl Methoden von Monte Carlo in der Finanz). Jedoch wird die Grenzfall-Durchlaufzeit von BOPM O (2) sein, wo n die Zahl von Zeitsprüngen in der Simulation ist. Simulationen von Monte Carlo werden allgemein eine polynomische Zeitkompliziertheit haben, und werden für die große Anzahl von Simulierungsschritten schneller sein. Simulationen von Monte Carlo sind auch gegen Stichprobenfehler weniger empfindlich, da binomische Techniken Einheiten der diskreten Zeit verwenden. Das wird wahrer das kleinere, das die getrennten Einheiten werden.

Methode

Das Binom, Modell bewertend, verfolgt die Evolution der Schlüsselunterliegen-Variablen der Auswahl in der diskreten Zeit. Das wird mittels eines binomischen Gitters (Baum), für mehrere Zeitsprünge zwischen der Schätzung und Verfallsdaten getan. Jeder Knoten im Gitter vertritt einen möglichen Preis des zu Grunde liegenden an einem gegebenen Punkt rechtzeitig.

Schätzung wird wiederholend durchgeführt, an jedem der Endknoten anfangend (diejenigen, die zur Zeit des Ablaufs erreicht werden können), und dann umgekehrt durch den Baum zum ersten Knoten (Schätzungsdatum) arbeitend. Der in jeder Bühne geschätzte Wert ist der Wert der Auswahl zu diesem Zeitpunkt.

Die Auswahl-Schätzung mit dieser Methode, ist wie beschrieben, ein dreistufiger Prozess:

Preisbaumgeneration,
die Berechnung der Auswahl schätzt auf jeden Endknoten,
die folgende Berechnung der Auswahl schätzt auf jeden vorhergehenden Knoten.

SCHRITT 1: Schaffen Sie den binomischen Preisbaum

Der Baum von Preisen wird durch das Arbeiten vorwärts vom Schätzungsdatum bis Ablauf erzeugt.

An jedem Schritt wird es angenommen, dass das zu Grunde liegende Instrument steigen wird oder unten durch einen spezifischen Faktor (oder) pro Schritt des Baums (wo, definitionsgemäß, und

Auf und ab in Faktoren werden mit der zu Grunde liegenden Flüchtigkeit, und der Zeitdauer eines Schritts, gemessen in Jahren berechnet (die Tagestagung der Zählung des zu Grunde liegenden Instrumentes verwendend). Von der Bedingung, dass die Abweichung des Klotzes des Preises ist, haben wir:

Der obengenannte ist ursprünglicher Cox, Ross, & Rubinstein (CRR) Methode; es gibt andere Techniken, für das Gitter, wie "die gleichen Wahrscheinlichkeiten" Baum zu erzeugen. Der Trinom-Baum ist ein ähnliches Modell, unten oder stabiler Pfad berücksichtigend.

Die CRR Methode stellt sicher, dass der Baum recombinant ist, d. h. wenn der zu Grunde liegende Aktivposten steigt und dann unten (u, d), wird der Preis dasselbe sein, als ob es heruntergestiegen war und dann (d, u) — hier die zwei Pfad-Verflechtung oder Wiedervereinigung. Dieses Eigentum vermindert die Anzahl von Baumknoten, und beschleunigt so die Berechnung des Auswahl-Preises.

Dieses Eigentum erlaubt auch, dass der Wert des zu Grunde liegenden Aktivpostens an jedem Knoten direkt über die Formel berechnet werden kann und nicht verlangt, dass der Baum zuerst gebaut wird. Der Knotenwert wird sein:

Wo die Zahl von Zecken ist und die Zahl von unten Zecken ist.

SCHRITT 2: Finden Sie Auswahl-Wert an jedem Endknoten

An jedem Endknoten des Baums — d. h. am Ablauf der Auswahl — ist der Auswahl-Wert einfach sein inneres, oder Übung, Wert.

:Max [, 0], für eine Kaufoption

:Max [(-), 0], für eine Verkaufsoption:

Wo der Schlag-Preis ist und der Kassapreis des zu Grunde liegenden Aktivpostens in der Periode ist.

SCHRITT 3: Finden Sie Auswahl-Wert an früheren Knoten

Sobald der obengenannte Schritt abgeschlossen ist, wird der Auswahl-Wert dann für jeden Knoten gefunden, am vorletzten Zeitsprung anfangend, und zurück zum ersten Knoten des Baums arbeitend (das Schätzungsdatum), wo das berechnete Ergebnis der Wert der Auswahl ist.

In der Übersicht: Der "binomische Wert" wird an jedem Knoten mit der Risikoneutralitätsannahme gefunden; sieh Gefahr neutrale Schätzung. Wenn Übung am Knoten erlaubt wird, dann nimmt das Modell das größere vom Binom und Übungswert am Knoten.

Die Schritte sind wie folgt:

(1) Unter der Risikoneutralitätsannahme ist der heutige angemessene Preis einer Ableitung dem erwarteten Wert seiner zukünftigen durch die risikolose Rate rabattierten Belohnung gleich. Deshalb wird erwarteter Wert mit den Auswahl-Werten von den späteren zwei Knoten (Auswahl und Auswahl unten) beschwert durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten — "Wahrscheinlichkeit" p Bewegung im zu Grunde liegenden, und "Wahrscheinlichkeit" (1-p) unten Bewegung berechnet. Der erwartete Wert wird dann an r, der risikolosen Rate entsprechend dem Leben der Auswahl rabattiert.

:The im Anschluss an die Formel, um den Erwartungswert zu schätzen, wird an jedem Knoten angewandt:

:Binomial-Wert = [p × Auswahl + (1-p) × Auswahl unten] × exp (-r × Δt), oder

::where

: ist der Wert der Auswahl für den Knoten in der Zeit,

: wird solch gewählt, dass der zusammenhängende binomische Vertrieb die geometrische Brownsche Bewegung des zu Grunde liegenden Lagers mit Rahmen r und σ, vortäuscht

: ist die Dividendenrendite des zu Grunde liegenden entsprechend dem Leben der Auswahl. Hieraus folgt dass in risikoneutralen Weltterminwaren ein Preis eine erwartete Wachstumsrate der Null haben sollte und deshalb wir für Terminwaren in Betracht ziehen können.

:Note, dass für, im Zwischenraum zu sein, die folgende Bedingung darauf zufrieden sein

muss

: (Bemerken Sie, dass die alternative Schätzungsannäherung, Preiskalkulation ohne Arbitragen, identische Ergebnisse nachgibt; sieh "Delta-Absicherung".)

(2) Dieses Ergebnis ist der "Binomische Wert". Es vertritt den angemessenen Preis der Ableitung an einem besonderen Punkt rechtzeitig (d. h. an jedem Knoten) in Anbetracht der Evolution im Preis des zu Grunde liegenden zu diesem Punkt. Es ist der Wert der Auswahl, wenn es — im Vergleich mit dem ausgeübten an diesem Punkt gehalten werden sollte.

(3) Abhängig vom Stil der Auswahl, bewerten Sie die Möglichkeit der frühen Übung an jedem Knoten: Wenn (1) die Auswahl, und (2) ausgeübt werden kann, überschreitet der Übungswert den Binomischen Wert, dann (3) ist der Wert am Knoten der Übungswert.

Für eine europäische Auswahl gibt es keine Auswahl der frühen Übung, und der binomische Wert gilt an allen Knoten.
Für eine amerikanische Auswahl da kann die Auswahl entweder gehalten oder vor dem Ablauf ausgeübt werden, der Wert an jedem Knoten ist: Max (Binomischer Wert, Übungswert).
Für eine bermudische Auswahl ist der Wert an Knoten, wo früher Übung erlaubt wird: Max (Binomischer Wert, Übungswert); an Knoten, wo früher Übung nur nicht erlaubt wird, gilt der binomische Wert.

Im Rechnen des Werts am folgenden Zeitsprung hat — d. h. ein Schritt gerechnet, der an der Schätzung näher ist — das Modell muss den Wert ausgewählt hier, für die "Auswahl" / "Auswahl unten" als passend in der Formel am Knoten verwenden.

Der folgende Algorithmus demonstriert die Annäherung, den Preis einer amerikanischen Verkaufsoption schätzend, obwohl für Anrufe und für europäische und bermudische Optionen leicht verallgemeinert wird:

fungieren Sie americanPut (T, S, K, r, Sigma, q, n) {\

'T... Ablauf der Frist

'S... Aktienpreis

'K... Schlag-Preis

'n... Höhe des binomischen Baums

deltaT: = T / n;

: = exp (Sigma * sqrt (deltaT));

p0: = (* exp (-r * deltaT) - exp (-q * deltaT)) * / (up^2 - 1);

p1: = exp (-r * deltaT) - p0;

'Anfangswerte in der Zeit T

weil ich: = 0 zu n {\

p [ich]: = K - S * up^ (2*i - n);

wenn p [ich]

Getrennte Dividenden

In der Praxis kann der Gebrauch der dauernden Dividendenrendite, in der Formel oben zu bedeutender Mis-Preiskalkulation der Auswahl in der Nähe von einem Ex-Dividendendatum führen. Statt dessen ist es für Musterdividenden als getrennte Zahlungen auf den vorausgesehenen zukünftigen Ex-Dividendendaten üblich.

Um getrennte Dividendenzahlungen im binomischen Modell zu modellieren, wenden Sie die folgende Regel an:

Jedes Mal rechnet Schritt, für alle

Beziehung mit dem Schwarzen-Scholes

Ähnliche Annahmen unterstützen sowohl das binomische Modell als auch das Schwarze-Scholes Modell, und das binomische Modell stellt so eine Annäherung der diskreten Zeit an den dauernden Prozess zur Verfügung, der dem Schwarzen-Scholes Modell unterliegt. Tatsächlich, für europäische Optionen ohne Dividenden, läuft der binomische Musterwert auf dem Schwarzen-Scholes Formel-Wert als die Zahl von Zeitsprung-Zunahmen zusammen. Das binomische Modell nimmt an, dass Bewegungen im Preis einem binomischen Vertrieb folgen; für viele Proben nähert sich dieser binomische Vertrieb der vom Schwarzen-Scholes angenommenen Normalverteilung.

Außerdem, wenn analysiert, als ein numerisches Verfahren, kann die CRR binomische Methode als ein spezieller Fall der ausführlichen begrenzten Unterschied-Methode für den Schwarzen-Scholes PDE angesehen werden; sieh Begrenzte Unterschied-Methoden für die Auswahl-Preiskalkulation.

2011 zeigt Georgiadis, dass die binomischen Optionen, Modell bewertend, zu einem niedrigeren Kompliziertheit binden ließen, die eine Lösung der geschlossenen Form ausschließt.

Siehe auch

Trinom-Baum — ein ähnliches Modell mit drei möglichen Pfaden pro Knoten.
Baum (Datenstruktur)
Schwarz-Scholes: Binomische Gitter sind im Stande, eine Vielfalt von Bedingungen zu behandeln, für die Schwarz-Scholes nicht angewandt werden kann.
Auswahl-Modell von Monte Carlo, das in der Schätzung von Optionen mit komplizierten Eigenschaften verwendet ist, die sie schwierig machen, durch andere Methoden zu schätzen.
Echte Optionsanalyse — wo der BOPM weit verwendet wird.
Quant-Finanz — Quant-Binom Preiskalkulation des Modells.
Mathematische Finanz, die eine Liste von zusammenhängenden Artikeln hat.
Krause Belohnungsmethode für die echte Auswahl-Schätzung

Referenzen

John C. Cox, Stephen A. Ross und Mark Rubinstein. 1979. "Auswahl-Preiskalkulation: Eine Vereinfachte Annäherung." Zeitschrift der Finanzvolkswirtschaft 7:

229-263.http://www.in-the-money.com/artandpap/Option%20Pricing%20-%20A%20Simplified%20Approach.doc