In der Mathematik und theoretischen Physik spielt die Idee von einer Darstellung einer Lüge-Gruppe eine wichtige Rolle in der Studie der dauernden Symmetrie. Sehr viel ist über solche Darstellungen, ein grundlegendes Werkzeug in ihrer Studie bekannt, die der Gebrauch der entsprechenden 'unendlich kleinen' Darstellungen von Lüge-Algebra ist. Die Physik-Literatur überträgt manchmal die Unterscheidung zwischen Lüge-Gruppendarstellungen, und Lügen Sie Algebra-Darstellungen.

Darstellungen auf einem komplizierten endlich-dimensionalen Vektorraum

Lassen Sie uns zuerst Darstellungen besprechen, die endlich-dimensionalen komplizierten Vektorräumen folgen. Eine Darstellung einer Lüge-Gruppe G auf einem endlich-dimensionalen komplizierten Vektorraum V ist ein glatter Gruppenhomomorphismus Ψ:G→Aut (V) von G bis die automorphism Gruppe von V.

Für n-dimensional V wird die automorphism Gruppe V mit einer Teilmenge des komplizierten Quadrat-Matrices des Auftrags n identifiziert. Der automorphism Gruppe V wird die Struktur einer glatten Sammelleitung mit dieser Identifizierung gegeben. Die Bedingung das Ψ ist in der Definition oben, Mittel das &Psi glatt; ist eine glatte Karte von der glatten Sammelleitung G zu glattem mannigfaltigem Aut (V).

Wenn eine Basis für den komplizierten Vektorraum V gewählt wird, kann die Darstellung als ein Homomorphismus in GL (n, C) ausgedrückt werden. Das ist als eine Matrixdarstellung bekannt.

Darstellungen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum über ein willkürliches Feld

Eine Darstellung einer Lüge-Gruppe G auf einem Vektorraum V (über ein Feld K) ist ein glatter (d. h. das Respektieren der Differenzialstruktur) Gruppenhomomorphismus G→Aut (V) von G bis die automorphism Gruppe V. Wenn eine Basis für den Vektorraum V gewählt wird, kann die Darstellung als ein Homomorphismus in GL (n, K) ausgedrückt werden. Das ist als eine Matrixdarstellung bekannt.

Zwei Darstellungen von G auf Vektorräumen V, W sind gleichwertig, wenn sie den haben

dieselben Matrixdarstellungen in Bezug auf einige Wahlen von Basen

für V und W.

Auf dem Lüge-Algebra-Niveau gibt es von der Lüge-Algebra von G entsprechend geradlinig kartografisch darzustellen um (V) Bewahrung der Lüge-Klammer Zu enden []. Sieh Darstellung von Lüge-Algebra für die Lüge-Algebra-Theorie.

Wenn der Homomorphismus tatsächlich ein monomorphism ist, wie man sagt, ist die Darstellung treu.

Eine einheitliche Darstellung wird ebenso definiert, außer dass G zu einheitlichem matrices kartografisch darstellt; die Lüge-Algebra wird dann kartografisch darstellen, um matrices zu verdrehen-hermitian.

Wenn G eine Kompaktlüge-Gruppe ist, ist jede endlich-dimensionale Darstellung zu gleichwertig

ein einheitlicher.

Darstellungen auf Räumen von Hilbert

Eine Darstellung einer Lüge-Gruppe G auf einem komplizierten Raum von Hilbert V ist ein Gruppenhomomorphismus Ψ:G → B (V) von G bis B (V), die Gruppe von begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern V, die ein begrenztes Gegenteil, solch dass die Karte G×V &rarr haben; V gegeben durch (g, v) → Ψ (g) ist v dauernd.

Diese Definition kann Darstellungen auf unendlich-dimensionalen Räumen von Hilbert behandeln. Solche Darstellungen können in z.B der Quant-Mechanik, sondern auch in der Analyse von Fourier, wie gezeigt, im folgenden Beispiel gefunden werden.

Lassen Sie G=R, und lassen Sie den komplizierten Raum von Hilbert V L(R) sein. Wir definieren die Darstellung Ψ:R → B (L(R)) durch Ψ (r) {f (x)} → f (rx).

Siehe auch die Klassifikation von Wigner für Darstellungen der Gruppe von Poincaré.

Klassifikation

Wenn G eine halbeinfache Gruppe ist, können seine endlich-dimensionalen Darstellungen als direkte Summen von nicht zu vereinfachenden Darstellungen zersetzt werden. Die irreducibles werden durch das höchste Gewicht mit einem Inhaltsverzeichnis versehen; die zulässigen (dominierenden) höchsten Gewichte befriedigen eine passende positivity Bedingung. Insbesondere dort besteht eine Reihe grundsätzlicher Gewichte, die durch die Scheitelpunkte des Diagramms von Dynkin von G mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, solch, dass dominierende Gewichte einfach natürliche Zahl geradlinige Kombinationen der grundsätzlichen Gewichte sind. Die Charaktere der nicht zu vereinfachenden Darstellungen werden durch die Charakter-Formel von Weyl gegeben.

Wenn G eine Ersatzlüge-Gruppe ist, dann sind seine nicht zu vereinfachenden Darstellungen einfach die dauernden Charaktere von G: Sieh Dualität von Pontryagin für diesen Fall.

Eine Quotient-Darstellung ist ein Quotient-Modul des Gruppenrings.

Beispiele von Formulaic

Lassen Sie F ein begrenztes Feld des Auftrags q und der Eigenschaft p sein. Lassen Sie G eine begrenzte Gruppe des Typs Lie sein, d. h. G ist die F-rational Punkte einer verbundenen reduktiven Gruppe G definiert über F. Zum Beispiel, wenn n eine positive ganze Zahl ist, sind GL (n, F) und SL (n, F) begrenzte Gruppen des Typs Lie. Lassen Sie, wo ich n×n Identitätsmatrix bin. Lassen Sie

:

Dann ist Sp (2, F) eine symplectic Gruppe der Reihe n und ist eine begrenzte Gruppe des Typs Lie. Für G = GL (n, F) oder SL (n, F) (und einige andere Beispiele), der Standard ist Untergruppe von Borel B G die Untergruppe von G, der aus den oberen Dreieckselementen in G besteht. Eine parabolische Standarduntergruppe von G ist eine Untergruppe von G, der den Standard Untergruppe von Borel B enthält. Wenn P eine parabolische Standarduntergruppe von GL ist (n, F), dann dort besteht eine Teilung (n, … n) n (eine Reihe positiver solcher ganzer Zahlen dass) solch das, wo die Form hat

:und:

wo willkürliche Einträge darin anzeigt.

Siehe auch

• Darstellungstheorie von Algebra von Hopf
• Darstellung von Adjoint einer Lüge-Gruppe
• Liste von Lüge-Gruppenthemen

. .

• . Der 2003-Nachdruck korrigiert mehrere typografische Fehler.