In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik wird ein topologischer Raum lokal kompakt genannt, wenn, grob das Sprechen, jeder kleine Teil des Raums wie ein kleiner Teil eines Kompaktraums aussieht.

Formelle Definition

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein. Der folgende ist allgemeine Definitionen für X ist lokal kompakt, und sind gleichwertig, wenn X ein Raum von Hausdorff (oder vorregelmäßig) ist. Sie sind im Allgemeinen nicht gleichwertig:

:1. jeder Punkt X hat eine Kompaktnachbarschaft.

:2. jeder Punkt X hat eine geschlossene Kompaktnachbarschaft.

:2'. jeder Punkt hat eine relativ kompakte Nachbarschaft.

:2''. jeder Punkt hat eine lokale Basis der relativ kompakten Nachbarschaft.

:3. jeder Punkt X hat eine lokale Basis der Kompaktnachbarschaft.

Logische Beziehungen unter den Bedingungen:

• Bedingungen (2), (2'), (2'') sind gleichwertig.
• Keine von Bedingungen (2), (3) bezieht den anderen ein.
• Jede Bedingung bezieht (1) ein.
• Kompaktheit bezieht Bedingungen (1) und (2), aber nicht (3) ein.

Bedingung (1) ist wahrscheinlich die meistens verwendete Definition, da es am wenigsten einschränkend ist und andere dazu gleichwertig sind, wenn X Hausdorff ist. Diese Gleichwertigkeit ist eine Folge der Tatsachen, dass Kompaktteilmengen von Räumen von Hausdorff geschlossen werden, und geschlossene Teilmengen von Kompakträumen kompakt sind.

Autoren wie Munkres und Kelley verwenden die erste Definition. Willard verwendet das dritte. In Steen und Seebach, wie man sagt, ist ein Raum, der (1) befriedigt, lokal kompakt, während, wie man sagt, ein Raum, der (2) befriedigt, stark lokal kompakt ist.

In fast allen Anwendungen sind lokal kompakte Räume auch Hausdorff, und dieser Artikel ist so in erster Linie mit Räumen des lokal kompakten Hausdorff (LCH) beschäftigt.

Beispiele und Gegenbeispiele

Hausdorff Kompakträume

Jeder Kompaktraum von Hausdorff ist auch lokal kompakt, und viele Beispiele von Kompakträumen können im Artikel Kompaktraum gefunden werden.

Hier erwähnen wir nur:

• der Einheitszwischenraum [0,1];
• jede geschlossene topologische Sammelleitung;
• der Kantor ist untergegangen;
• der Würfel von Hilbert.

Lokal kompakte Räume von Hausdorff, die nicht kompakt

sind

• Die Euklidischen Räume R (und insbesondere die echte Linie R) sind demzufolge des Lehrsatzes von Heine-Borel lokal kompakt.
• Topologische Sammelleitungen teilen die lokalen Eigenschaften von Euklidischen Räumen und sind deshalb auch alle lokal kompakt. Das schließt sogar Nonparacompact-Sammelleitungen wie die lange Linie ein.
• Alle getrennten Räume sind lokal kompakt und Hausdorff (sie sind gerade die nulldimensionalen Sammelleitungen). Diese sind nur kompakt, wenn sie begrenzt sind.
• Alle offenen oder geschlossenen Teilmengen eines lokal kompakten Raums von Hausdorff sind in der Subraumtopologie lokal kompakt. Das stellt mehrere Beispiele lokal kompakter Teilmengen von Euklidischen Räumen, wie die Einheitsscheibe (entweder der öffnen oder die geschlossene Version) zur Verfügung.
• Der Raum Q p-adic Zahlen ist lokal kompakt, weil es homeomorphic zum Kantor-Satz minus ein Punkt ist. So lokal sind Kompakträume so in der p-adic Analyse nützlich wie in der klassischen Analyse.

Räume von Hausdorff, die nicht lokal kompakt

sind

Wie erwähnt, in der folgenden Abteilung kann kein Raum von Hausdorff vielleicht lokal kompakt sein, wenn es nicht auch ein Raum von Tychonoff ist; es gibt einige Beispiele von Räumen von Hausdorff, die nicht Räume von Tychonoff in diesem Artikel sind.

Aber es gibt auch Beispiele von Räumen von Tychonoff, die scheitern, lokal kompakt zu sein, wie:

• der Raum Q rationaler Zahlen (ausgestattet mit der Topologie von R), seit seinen Kompaktteilmengen alle haben leeres Interieur und sind deshalb nicht Nachbarschaft;
• der Subraum {(0,0)} Vereinigung {(x, y): x> 0\R da hat der Ursprung keine Kompaktnachbarschaft;
• die niedrigere Grenze-Topologie oder obere Grenze-Topologie auf dem Satz R reeller Zahlen (nützlich in der Studie von einseitigen Grenzen);
• jeder T, folglich Hausdorff, topologischer Vektorraum, der wie ein unendlich-dimensionaler Raum von Hilbert unendlich-dimensional ist.

Die ersten zwei Beispiele zeigen, dass eine Teilmenge eines lokal kompakten Raumbedürfnisses nicht lokal kompakt ist, der sich vom öffnen und den geschlossenen Teilmengen in der vorherigen Abteilung abhebt.

Das letzte Beispiel hebt sich von den Euklidischen Räumen in der vorherigen Abteilung ab; um Hausdorff spezifischer zu sein, ist topologischer Vektorraum lokal kompakt, wenn, und nur wenn es endlich-dimensional ist (in welchem Fall es ein Euklidischer Raum ist).

Dieses Beispiel hebt sich auch vom Würfel von Hilbert als ein Beispiel eines Kompaktraums ab; es gibt keinen Widerspruch, weil der Würfel keine Nachbarschaft keines Punkts im Raum von Hilbert sein kann.

Non-Hausdorff Beispiele

• Der ein Punkt compactification der rationalen Zahlen Q ist kompakt und deshalb in Sinnen (1) und (2) lokal kompakt, aber es ist im Sinn (3) nicht lokal kompakt.
• Die besondere Punkt-Topologie auf jedem unendlichen Satz ist in Sinnen (1) und (3), aber nicht im Sinn (2) lokal kompakt.

Eigenschaften

Jeder lokal kompakte vorregelmäßige Raum ist tatsächlich, völlig regelmäßig. Hieraus folgt dass jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ein Raum von Tychonoff ist. Da gerade Regelmäßigkeit eine vertrautere Bedingung ist als jede Vorregelmäßigkeit (der gewöhnlich schwächer ist) oder ganze Regelmäßigkeit (der gewöhnlich stärker ist), wird auf lokal kompakte vorregelmäßige Räume normalerweise in der mathematischen Literatur als lokal kompakte regelmäßige Räume verwiesen. Ähnlich lokal kompakte Räume von Tychonoff werden gewöhnlich gerade lokal kompakte Räume von Hausdorff genannt.

Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ist ein Raum von Baire.

D. h. der Beschluss des Kategorie-Lehrsatzes von Baire hält: Das Interieur jeder Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Teilmengen ist leer.

Ein Subraum X eines lokal kompakten Raums von Hausdorff Y sind lokal kompakt, wenn, und nur wenn X als der mit dem Satz theoretische Unterschied von zwei geschlossenen Teilmengen von Y geschrieben werden kann.

Als eine Folgeerscheinung ein dichter Subraum sind X eines lokal kompakten Raums von Hausdorff Y lokal kompakt, wenn, und nur wenn X eine offene Teilmenge von Y ist.

Außerdem, wenn ein Subraum X jedes Raums von Hausdorff Y sind lokal kompakt, dann X muss noch der Unterschied von zwei geschlossenen Teilmengen von Y sein, obwohl das gegenteilige in diesem Fall nicht zu halten braucht.

Quotient-Räume lokal kompakter Räume von Hausdorff werden kompakt erzeugt.

Umgekehrt ist jeder kompakt erzeugte Raum von Hausdorff ein Quotient von einem lokal kompakten Raum von Hausdorff.

Für lokal kompakte Räume ist lokale gleichförmige Konvergenz dasselbe als Kompaktkonvergenz.

Der Punkt an der Unendlichkeit

Da jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff X Tychonoff ist, kann er in einem Kompaktraum von Hausdorff b (X) das Verwenden von Stein-Čech compactification eingebettet werden.

Aber tatsächlich gibt es eine einfachere im lokal kompakten Fall verfügbare Methode; der ein Punkt compactification wird X in einem Kompaktraum von Hausdorff (X) mit gerade einem Extrapunkt einbetten.

(Der ein Punkt compactification kann auf andere Räume angewandt werden, aber (X) wird Hausdorff sein, wenn, und nur wenn X lokal kompakt ist und Hausdorff.)

Die lokal kompakten Räume von Hausdorff können so als die offenen Teilmengen von Kompakträumen von Hausdorff charakterisiert werden.

Intuitiv kann vom Extrapunkt in (X) als ein Punkt an der Unendlichkeit gedacht werden.

Vom Punkt an der Unendlichkeit sollte als liegend außerhalb jeder Kompaktteilmenge X gedacht werden.

Viele intuitive Begriffe über die Tendenz zur Unendlichkeit können in lokal kompakten Räumen von Hausdorff mit dieser Idee formuliert werden.

Zum Beispiel, wie man sagt, verschwindet eine dauernde echte oder komplizierte geschätzte Funktion f mit dem Gebiet X an der Unendlichkeit wenn, in Anbetracht jeder positiven Zahl e, es gibt eine Kompaktteilmenge K von X solch, dass |f (x) | (X) aller dauernden Komplex-geschätzten Funktionen, die an der Unendlichkeit verschwinden, eine C* Algebra ist. Tatsächlich ist jede ErsatzC* Algebra zu C (X) für einige einzigartig (bis zu homeomorphism) lokal kompakter Raum von Hausdorff X isomorph. Genauer sind die Kategorien lokal kompakter Räume von Hausdorff und ErsatzC* Algebra Doppel-; das wird mit der Darstellung von Gelfand gezeigt. Das Formen des eines Punkts compactification (X) X entspricht unter dieser Dualität zum Angrenzen an ein Identitätselement zu C (X).

Lokal kompakte Gruppen

Der Begriff der lokalen Kompaktheit ist in der Studie von topologischen Gruppen hauptsächlich wichtig, weil jeder Hausdorff lokal kompakte Gruppe G trägt natürliche Maßnahmen, die Maßnahmen von Haar genannt hat, die erlauben, auf G definierte Funktionen zu integrieren.

Das Lebesgue-Maß auf der echten Linie R ist ein spezieller Fall davon.

Die Pontryagin Doppel-von einer topologischen abelian Gruppe A ist lokal kompakt, wenn, und nur wenn A lokal kompakt ist.

Genauer definiert Dualität von Pontryagin eine Selbstdualität der Kategorie lokal kompakter abelian Gruppen.

Die Studie lokal kompakter abelian Gruppen ist das Fundament der harmonischen Analyse, ein Feld, das zu non-abelian lokal kompakte Gruppen seitdem ausgebreitet hat.