In der Zahlentheorie sind die Zahlen von Euler eine Folge E von durch die folgende Reihenentwicklung von Taylor definierten ganzen Zahlen:

:

wo Totschläger t der Cosinus hyperbolicus ist. Die Euler Zahlen erscheinen als ein spezieller Wert der Polynome von Euler.

Die sonderbar mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Zahlen von Euler sind die ganze Null. Die sogar mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen haben Wechselzeichen. Einige Werte sind:

:E = 1

:E = 1

:E = 5

:E = 61

:E = 1,385

:E = 50.521

:E = 2,702,765

:E = 199.360.981

:E = 19,391,512,145

:E = 2.404.879.675.441

Einige Autoren versehen die Folge mit einem Inhaltsverzeichnis wieder, um die ungeradzahligen Zahlen von Euler mit der Wertnull wegzulassen, und/oder alle Zeichen zum positiven zu ändern. Diese Enzyklopädie klebt an der Tagung, die oben angenommen ist.

Die Euler Zahlen erscheinen in den Reihenentwicklungen von Taylor der schneidenden und hyperbolischen schneidenden Funktionen. Der Letztere ist die Funktion in der Definition. Sie kommen auch in combinatorics spezifisch vor, wenn sie die Zahl von Wechselversetzungen eines Satzes mit einer geraden Zahl von Elementen aufzählen.

Ausführliche Formeln

Wiederholte Summe

Durch eine ausführliche Formel für Zahlen von Euler wird gegeben:

:

wo ich die imaginäre Einheit mit i=−1. anzeige

Resümieren Sie über Teilungen

Die Euler Nummer E kann als eine Summe über die gleichen Teilungen 2n, ausgedrückt werden

:

\delta_ {n, \sum mk_m} \left (\frac {-1 ~} {2!} \right) ^ {k_1} \left (\frac {-1 ~} {4!} \right) ^ {k_2 }\

\cdots \left (\frac {-1 ~} {(2n)!} \right) ^ {k_n}, </Mathematik>

sowie eine Summe über die sonderbaren Teilungen 2n &minus; 1,

:

\left (\begin {Reihe} {c} K \\k_1, \ldots, k_n \end {Reihe} \right)

\delta_ {2n-1, \sum (2m-1) k_m} \left (\frac {-1 ~} {1!} \right) ^ {k_1} \left (\frac {1} {3!} \right) ^ {k_2 }\

\cdots \left (\frac {(-1) ^n} {(2n-1)!} \right) ^ {k_n}, </Mathematik>

wo in beiden Fällen und

:

\equiv \frac {K!} {k_1! \cdots k_n!} </Mathematik>

ist ein multinomial Koeffizient. Das Kronecker Delta in den obengenannten Formeln schränkt die Summen über den k's zu und zu ein

, beziehungsweise.

Als ein Beispiel,

:

\begin {richten }\aus

E_ {10} & = 10! \left (-\frac {1} {10!} + \frac {2} {2! 8!} + \frac {2} {4! 6! }\

- \frac {3} {2! ^2 6!} - \frac {3} {2! 4! ^2} + \frac {4} {2! ^3 4!} - \frac {1} {2! ^5 }\\Recht) \\

& = 9! \left (-\frac {1} {9!} + \frac {3} {1! ^27!} + \frac {6} {1! 3! 5! }\

+ \frac {1} {3! ^3} - \frac {5} {1! ^45!}-\frac {10} {1! ^33! ^2} + \frac {7} {1! ^6 3!} - \frac {1} {1! ^9 }\\Recht) \\

& =-50.521.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Determinante

E wird auch durch die Determinante gegeben

:\begin {richten }\aus

E_ {2n} &= (-1) ^n (2n)! ~ \begin {vmatrix} \frac {1} {2!} & 1 &~& ~&~ \\

\frac {1} {4!} & \frac {1} {2!} & 1 &~&~ \\

\vdots & ~ & \ddots ~~ &\\ddots ~~ & ~ \\

\frac {1} {(2n-2)!} & \frac {1} {(2n-4)!} & ~& \frac {1} {2!} & 1 \\

\frac {1} {(2n)!} &\\frac {1} {(2n-2)!} & \cdots & \frac {1} {4!} & \frac {1} {2! }\\Ende {vmatrix}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Asymptotische Annäherung

Die Euler Zahlen wachsen ganz schnell für große Indizes als

sie haben das folgende tiefer hat gebunden

:

Siehe auch

• Zahl von Bernoulli
• Glockenzahl

Links

• Zahl-Rechenmaschine von Euler