:This-Artikel bespricht die Geschichte des Grundsatzes von kleinster Handlung. Für die Anwendung, beziehen Sie sich bitte auf die Handlung (Physik).

In der Physik sind der Grundsatz von kleinster Handlung - oder, genauer, der Grundsatz der stationären Handlung - ein abweichender Grundsatz, der, wenn angewandt, auf die Handlung eines mechanischen Systems, verwendet werden kann, um die Gleichungen der Bewegung für dieses System zu erhalten. Der Grundsatz hat zur Entwicklung der Formulierungen von Lagrangian und Hamiltonian der klassischen Mechanik geführt.

Der Grundsatz bleibt zentral in der modernen Physik und Mathematik, in der Relativitätstheorie, Quant-Mechanik und Quant-Feldtheorie und einem Fokus der modernen mathematischen Untersuchung in der Morsezeichen-Theorie angewandt werden. Dieser Artikel befasst sich in erster Linie mit der historischen Entwicklung der Idee; eine Behandlung der mathematischen Beschreibung und Abstammung kann im Artikel über die Handlung gefunden werden. Die Hauptbeispiele des Grundsatzes der stationären Handlung sind der Grundsatz von Maupertuis und der Grundsatz von Hamilton.

Dem Handlungsgrundsatz wird durch frühere Ideen im Vermessen und der Optik vorangegangen. Die Tau-Tragbahren des alten Ägyptens haben geschnürte Taue zwischen zwei Punkten gestreckt, um den Pfad zu messen, der die Entfernung der Trennung und Claudius Ptolemy, in seinem Geographia (Bk 1, Ch 2) minimiert hat, hat betont, dass man für "Abweichungen von einem geraden Kurs" korrigieren muss; im alten Griechenland stellt Euklid in seinem Catoptrica fest, dass, für den Pfad des leichten Reflektierens von einem Spiegel, der Einfallswinkel dem Winkel des Nachdenkens gleichkommt; und der Held Alexandrias hat später gezeigt, dass dieser Pfad die kürzeste Länge und kleinste Zeit war. Aber der Kredit für die Formulierung des Grundsatzes, weil es für die Handlung gilt, wird häufig Pierre-Louis Moreau de Maupertuis gegeben, der darüber 1744 und 1746 geschrieben hat. Jedoch zeigt Gelehrsamkeit an, dass dieser Anspruch vom Vorrang nicht so klar ist; Leonhard Euler hat den Grundsatz 1744 besprochen, und es gibt Beweise, dass Gottfried Leibniz beiden um 39 Jahre vorangegangen ist.

Allgemeine Behauptung

Der Startpunkt ist die Handlung, angezeigt (caligraphic S) von einem physischen System. Es wird als das Integral des Lagrangian L zwischen zwei Momenten der Zeit t und t - technisch definiert ein funktionelle vom N hat Koordinaten q = verallgemeinert (q, q... q), die die Konfiguration des Systems definieren:

wo der Punkt die Zeitableitung anzeigt, und t Zeit ist.

Mathematisch - ist es einfach, den Grundsatz niederzuschreiben:

wo δ (griechisches Delta der unteren Umschaltung) ein Kleingeld bedeutet. In Wörtern liest das:

:The-Pfad, der vom System inzwischen t und t genommen ist, ist derjenige, für den die 'Handlung (keine Änderung) stationär ist, um zuerst zu bestellen.

In Anwendungen werden die Erklärung und Definition der Handlung zusammen genommen:

Die Handlung und Lagrangian beide enthalten die Dynamik des Systems seit allen Zeiten. Der Begriff "Pfad" bezieht sich einfach auf eine Kurve verfolgt durch das System in Bezug auf die Koordinaten im Konfigurationsraum, d. h. die Kurve q (t), parametrisiert durch die Zeit (sieh auch parametrische Gleichung für dieses Konzept).

Die Handlung ist ein funktioneller aber nicht eine Funktion, da sie vom Lagrangian abhängt, und der Lagrangian vom Pfad q (t) abhängt, so hängt die Handlung von der kompletten "Gestalt" des Pfads seit allen Zeiten (im Zeitabstand von t bis t) ab. Zwischen zwei Momenten der Zeit gibt es ungeheuer viele Pfade, aber ein, für den die Handlung stationär ist (um zuerst zu bestellen), ist der wahre Pfad. Der stationäre Wert für das komplette Kontinuum von Werten von Lagrangian entsprechend einem Pfad, nicht nur einem Wert vom Lagrangian, ist erforderlich (mit anderen Worten sein nicht so einfach wie "das Unterscheiden einer Funktion und Setzen davon zur Null, dann die Gleichungen lösend, um die Punkte von Maxima und Minima usw.", eher zu finden, wird diese Idee auf die komplette "Gestalt" der Funktion angewandt, sieh Rechnung von Schwankungen für mehr Details auf diesem Verfahren).

Ursprünge, Behauptungen und Meinungsverschiedenheit

Im 17. Jahrhundert hat Pierre de Fermat verlangt, dass "Licht zwischen zwei gegebenen Punkten entlang dem Pfad der kürzesten Zeit reist," der als der Grundsatz von kleinster Zeit oder der Grundsatz von Fermat bekannt ist.

Verschiedene Formulierungen

Maupertuis

Der Kredit für die Formulierung des Grundsatzes von kleinster Handlung wird Pierre Louis Maupertuis allgemein gegeben, der gefunden hat, dass "Natur in allen seinen Handlungen sparsam ist", und den Grundsatz weit gehend angewandt hat:

Dieser Begriff von Maupertuis, obwohl etwas deterministisch, heute, gewinnt wirklich viel von der Essenz der Mechanik.

In der Anwendung auf die Physik hat Maupertuis vorgeschlagen, dass die zu minimierende Menge das Produkt der Dauer (Zeit) der Bewegung innerhalb eines Systems durch die "Kraft viva", war

der das Integral zweimal ist, was wir jetzt die kinetische Energie T vom System nennen.

Euler

Leonhard Euler hat eine Formulierung des Handlungsgrundsatzes 1744, in sehr erkennbaren Begriffen, in Additamentum 2 zu seinem Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes gegeben. Der Anfang mit dem zweiten Paragrafen:

Wie Euler feststellt, ist Mvds das Integral des Schwungs über die gereiste Entfernung, der, in der modernen Notation, der reduzierten Handlung gleichkommt

So hat Euler eine gleichwertige und (anscheinend) unabhängige Erklärung des abweichenden Grundsatzes in demselben Jahr wie Maupertuis, obgleich ein bisschen später abgegeben. Neugierig hat Euler keinen Vorrang gefordert, weil sich die folgende Episode zeigt.

Umstrittener Vorrang

Der Vorrang von Maupertuis wurde 1751 vom Mathematiker Samuel König diskutiert, der behauptet hat, dass er von Gottfried Leibniz 1707 erfunden worden war. Obwohl ähnlich, vielen Argumenten von Leibniz ist der Grundsatz selbst in den Arbeiten von Leibniz nicht dokumentiert worden. König selbst hat eine Kopie eines 1707-Briefs von Leibniz Jacob Hermann mit dem Grundsatz gezeigt, aber der ursprüngliche Brief ist verloren worden. In streitsüchtigen Verhandlungen wurde König wegen der Fälschung angeklagt, und sogar der König Preußens ist in die Debatte eingegangen, Maupertuis verteidigend, während Voltaire König verteidigt hat.

Euler, anstatt Vorrang zu fordern, war ein treuer Verteidiger von Maupertuis, und Euler selbst hat König für die Fälschung vor der Berliner Akademie am 13. April 1752 verfolgt. Die Ansprüche der Fälschung wurden 150 Jahre später nochmals geprüft, und die archivalische Arbeit von C.I. Gerhardt 1898 und W. Kabitz 1913 hat andere Kopien des Briefs, und drei andere aufgedeckt, die von König in den Archiven von Bernoulli zitiert sind.

Weitere Entwicklung

Euler hat fortgesetzt, über das Thema zu schreiben; in seinem Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748) hat er die Menge "Anstrengung" genannt. Sein Ausdruck entspricht, was wir jetzt potenzielle Energie nennen würden, so dass seine Behauptung von kleinster Handlung in der Statik zum Grundsatz gleichwertig ist, dass ein System von Körpern ruhig eine Konfiguration annehmen wird, die potenzielle Gesamtenergie minimiert.

Lagrange und Hamilton

Viel von der Rechnung von Schwankungen wurde von Joseph Louis Lagrange 1760 festgesetzt, und er ist fortgefahren, das auf Probleme in der Dynamik anzuwenden. In Méchanique Analytique (1788) hat Lagrange die allgemeinen Gleichungen der Bewegung eines mechanischen Körpers abgeleitet. William Rowan Hamilton 1834 und 1835 hat den abweichenden Grundsatz auf die klassische Funktion von Lagrangian angewandt

die Euler-Lagrange Gleichungen in ihrer gegenwärtigen Form zu erhalten.

Jacobi und Morse

1842 hat Carl Gustav Jacobi das Problem dessen angepackt, ob der abweichende Grundsatz immer Minima im Vergleich mit anderen stationären Punkten (Maxima oder stationäre Sattel-Punkte) gefunden hat; der grösste Teil seiner Arbeit hat sich auf geodesics auf zweidimensionalen Oberflächen konzentriert. Die ersten klaren allgemeinen Behauptungen wurden durch Morsezeichen von Marston in den 1920er Jahren und 1930er Jahren gegeben, führend, was jetzt als Morsezeichen-Theorie bekannt ist. Zum Beispiel haben Morsezeichen gezeigt, dass die Zahl von verbundenen Punkten in einer Schussbahn der Zahl von negativem eigenvalues in der zweiten Schwankung von Lagrangian gleichgekommen ist.

Gauss und Hertz

Andere extremal Grundsätze der klassischen Mechanik, sind wie der Grundsatz von Gauss von kleinster Einschränkung und seiner Folgeerscheinung, der Grundsatz des Hertz von kleinster Krümmung formuliert worden.

Offenbare Teleologie

Die mathematische Gleichwertigkeit der Differenzialgleichungen der Bewegung und ihres integrierten

Kopie hat wichtige philosophische Implikationen. Die Differenzialgleichungen sind Behauptungen über Mengen, die zu einem einzelnen Punkt im einzelnen oder Raummoment der Zeit lokalisiert sind. Zum Beispiel, das zweite Gesetz des Newtons

Staaten, dass die sofortige Kraft F angewandt auf eine MassenM eine Beschleunigung in demselben Moment erzeugt. Im Vergleich wird der Handlungsgrundsatz zu einem Punkt nicht lokalisiert; eher schließt es Integrale über einen Zwischenraum der Zeit und (für Felder) ein verlängertes Gebiet des Raums ein. Außerdem, in der üblichen Formulierung von klassischen Handlungsgrundsätzen, werden die anfänglichen und endgültigen Staaten des Systems, z.B, befestigt

:Given, den die Partikel an der Position x in der Zeit t beginnt und an der Position x in der Zeit t beendet, die physische Schussbahn, die diese zwei Endpunkte verbindet, ist ein extremum der integrierten Handlung.

Insbesondere das Befestigen des Endstaates scheint, dem Handlungsgrundsatz einen teleologischen Charakter zu geben, der historisch umstritten gewesen ist. Jedoch erhalten einige Kritiker diese offenbare Teleologie aufrecht kommt wegen des Weges vor, auf den die Frage gestellt wurde. Indem wir einige, aber nicht alle Aspekte sowohl der anfänglichen als auch endgültigen Bedingungen (die Positionen, aber nicht die Geschwindigkeiten) angeben, machen wir einige Schlussfolgerungen über die anfänglichen Bedingungen von den Endbedingungen, und es ist diese "rückwärts gerichtete" Schlussfolgerung, die als ein teleologischer kausaler Einfluss gesehen werden kann.

Der spekulative Fiktionsschriftsteller, Ted Chiang, hat eine Geschichte, Geschichte Ihres Lebens, das Sehbilder des Grundsatzes von Fermat zusammen mit einer Diskussion seiner teleologischen Dimension enthält. Keith Devlin Der Matheinstinkt enthält ein Kapitel, "Elvis der walisische Welsh Corgi, Der Rechnung Tun Kann", die die in einigen Tieren "eingebettete" Rechnung bespricht, weil sie die "kleinste Zeit" Problem in wirklichen Situationen lösen.

Siehe auch

• Handlung (Physik)
• Analytische Mechanik
• Rechnung von Schwankungen
• Mechanik von Hamiltonian
• Der Grundsatz von Hamilton
• Mechanik von Lagrangian
• Grundsatz von Maupertuis
• Das Rasiermesser von Occam
• Pfad des geringen Widerstands

Zeichen und Verweisungen

Links

• Interaktive Erklärung des Grundsatzes von kleinster Handlung
• Interaktiver applet, um Schussbahnen mit dem Grundsatz von kleinster Handlung zu bauen
• Georgi Yordanov Georgiev 2012 http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1203/1203.6681.pdf, Ein quantitatives Maß, Mechanismus und attractor für die Selbstorganisation in vernetzten komplizierten Systemen, in Vortrag-Zeichen in der Informatik (LNCS 7166), F.A. Kuipers und P.E. Heegaard (Hrsg.).: IFIP Internationale Föderation für die Informationsverarbeitung, Verhandlungen der Sechsten Internationalen Werkstatt auf Selbstorganisierenden Systemen (IWSOS 2012), Seiten 90-95, Springer-Verlag (2012).
• Georgi Yordanov Georgiev und Iskren Yordanov Georgiev 2002 http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3518.pdf, kleinste Handlung und das metrische von einem organisierten System, in Offenen Systemen und Informationsdynamik, 9 (4), p. 371-380 (2002)