In der Mathematik ist die Macht-Regel eine der wichtigsten Unterscheidungsregeln in der Rechnung. Da Unterscheidung geradlinig ist, können Polynome mit dieser Regel unterschieden werden.

Die Macht-Regel hält für alle Mächte abgesehen vom unveränderlichen Wert, der durch die unveränderliche Regel bedeckt wird. Die Ableitung ist gerade, aber nicht der wenn unbestimmt ist.

Das Gegenteil der Macht-Regel ermöglicht alle Mächte einer Variable außer, integriert zu werden. Dieses Integral wird die Quadratur-Formel von Cavalieri genannt und wurde zuerst in einer geometrischen Form von Bonaventura Cavalieri dafür gefunden. Es wird als der erste allgemeine Lehrsatz der zu entdeckenden Rechnung betrachtet.

Das ist ein unbestimmtes Integral, wo die willkürliche Konstante der Integration ist.

Die Integration dessen verlangt eine getrennte Regel.

Folglich ist die Ableitung dessen, und das Integral dessen ist.

Macht-Regel

Historisch wurde die Macht-Regel als das Gegenteil der Quadratur-Formel von Cavalieri abgeleitet, die das Gebiet unter für jede ganze Zahl gegeben hat. Heutzutage wird die Macht-Regel zuerst und als sein Gegenteil betrachtete Integration abgeleitet.

Für ganze Zahlen ist die Ableitung dessen das, ist

Die Macht-Regel für die Integration

dafür ist dann eine leichte Folge. Man muss gerade die Ableitung dieser Gleichheit nehmen und die Macht-Regel und Linearität der Unterscheidung auf der rechten Seite verwenden.

Beweis

Um die Macht zu beweisen, herrschen für die Unterscheidung, wir verwenden die Definition der Ableitung als eine Grenze. Aber zuerst, bemerken Sie den factorization für:

:

Damit können wir das sehen

Seitdem die Abteilung beseitigt worden ist und wir eine dauernde Funktion haben, können wir frei vertreten, um die Grenze zu finden:

Der Gebrauch der Quotientenregel erlaubt die Erweiterung dieser Regel für n als eine negative ganze Zahl, und der Gebrauch der Gesetze von Hochzahlen und der Kettenregel erlaubt dieser Regel, zu allen vernünftigen Werten dessen erweitert zu werden. Für eine Irrationalzahl ist eine vernünftige Annäherung passend.

Unterscheidung von willkürlichen Polynomen

Um willkürliche Polynome zu unterscheiden, kann man das Linearitätseigentum des Differenzialoperatoren verwenden vorzuherrschen:

:

\sum_ {r=0} ^n \left (a_r x^r\right)' =

\sum_ {r=0} ^n a_r \left (x^r\right)' =

\sum_ {r=0} ^n Ra_rx^ {r-1}. </Mathematik>

Mit der Linearität der Integration und der Macht-Regel für die Integration zeigt man ebenso dem

Generalisation

Man kann beweisen, dass die Macht-Regel für jede Hochzahl gültig ist, die ist

so lange ist im Gebiet der Funktionen auf dem verlassenen und den rechten Seiten und ist Nichtnull. Das Verwenden dieser Formel, zusammen mit

man kann unterscheiden und geradlinige Kombinationen von Mächten integrieren, von denen nicht notwendigerweise Polynome sind.

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; und Edwards, Bruce H. (2003). Rechnung einer Einzelnen Variable: Frühe Transzendente Funktionen (3. Ausgabe). Houghton Mifflin Company. Internationale Standardbuchnummer 0 618 22307 X.