Naive Mengenlehre ist eine von mehreren Theorien von Sätzen, die in der Diskussion der Fundamente der Mathematik verwendet sind. Der informelle Inhalt dieser naiven Mengenlehre unterstützt sowohl die Aspekte von mathematischen Sätzen, die in der getrennten Mathematik (zum Beispiel Venn-Diagramme als auch das symbolische Denken über ihre Algebra von Boolean), und der tägliche Gebrauch von Mengenlehre-Konzepten in der zeitgenössischsten Mathematik vertraut sind.

Sätze sind in der Mathematik von großer Bedeutung; tatsächlich, in modernen formellen Behandlungen, werden die meisten mathematischen Gegenstände (Zahlen, Beziehungen, Funktionen, usw.) in Bezug auf Sätze definiert. Naive Mengenlehre kann als ein Sprungbrett zu mehr formellen Behandlungen gesehen werden, und genügt zu vielen Zwecken.

Voraussetzungen

Im Sinne dieses Artikels ist eine naive Theorie eine nichtformalisierte Theorie, d. h. eine Theorie, die eine natürliche Sprache verwendet, um Sätze zu beschreiben. Die Wörter und, oder, wenn... dann, nicht, für einige, für jeden der strengen Definition nicht unterworfen sind. Es ist nützlich, Sätze naiv in einer frühen Bühne der Mathematik zu studieren, um Möglichkeit zu entwickeln, um mit ihnen zu arbeiten. Außerdem ist ein fester Griff des Satzes theoretische Konzepte von einer naiven Einstellung als eine erste Stufe im Verstehen der Motivation für die formellen Axiome der Mengenlehre wichtig.

Dieser Artikel entwickelt eine naive Theorie. Sätze werden informell definiert, und einige ihrer Eigenschaften werden untersucht. Verbindungen zu diesem Artikel zu spezifischen Axiomen der Mengenlehre beschreiben einige der Beziehungen zwischen der informellen Diskussion hier und dem formellen axiomatization der Mengenlehre, aber kein Versuch wird gemacht, jede Behauptung auf solch einer Basis zu rechtfertigen. Die erste Entwicklung der Mengenlehre war eine naive Mengenlehre. Es wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor als ein Teil seiner Studie von unendlichen Sätzen geschaffen.

Da es sich erwiesen hat, annehmend, dass man leisten kann, führt jede Operation auf Sätzen ohne Beschränkung zu Paradoxen wie das Paradox von Russell und das Paradox von Berry. Einige glauben, dass die Mengenlehre von Georg Cantor durch diese Paradoxe nicht wirklich hineingezogen wurde (sieh Frápolli 1991); eine Schwierigkeit, das mit der Gewissheit zu bestimmen, besteht darin, dass Cantor keinen axiomatization seines Systems zur Verfügung gestellt hat. Es ist unbestritten, dass, vor 1900, Cantor einiger der Paradoxe bewusst war und nicht geglaubt hat, dass sie seine Theorie bezweifelt haben. Gottlob Frege hat ausführlich axiomatize eine Theorie getan, in der die formalisierte Version der naiven Mengenlehre interpretiert werden kann, und es diese formelle Theorie ist, die Bertrand Russell wirklich gerichtet hat, als er sein Paradox präsentiert hat.

Axiomatische Mengenlehre wurde als Antwort auf diese frühen Versuche entwickelt, Mengenlehre mit der Absicht der Bestimmung genau zu studieren, was Operationen erlaubt wurde und wenn. Heute, wenn Mathematiker über "die Mengenlehre" als ein Feld sprechen, haben sie gewöhnlich axiomatische Mengenlehre vor. Informelle Anwendungen der Mengenlehre in anderen Feldern werden manchmal Anwendungen der "naiven Mengenlehre" genannt, aber werden gewöhnlich verstanden, in Bezug auf ein axiomatisches System (normalerweise die Zermelo-Fraenkel Mengenlehre) gerechtfertigt zu sein.

Eine naive Mengenlehre ist nicht notwendigerweise inkonsequent, wenn sie richtig angibt, dass die Sätze erlaubt haben, betrachtet zu werden. Das kann durch die Mittel von Definitionen getan werden, die implizite Axiome sind. Es kann durch das systematische Bilden ausführlich alle Axiome, als im Fall vom wohl bekannten Buch Naive Mengenlehre von Paul Halmos getan werden, der wirklich etwas (nicht ganzes das) informelle Präsentation der üblichen axiomatischen Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ist. Es ist darin 'naiv' die Sprache und Notationen sind diejenigen der gewöhnlichen informellen Mathematik, und in dem es sich mit Konsistenz oder Vollständigkeit des Axiom-Systems nicht befasst. Jedoch wird der Begriff naive Mengenlehre auch in etwas Literatur gebraucht, um sich auf die Mengenlehren zu beziehen, die von Frege und Cantor, aber nicht zu den informellen Kopien der modernen axiomatischen Mengenlehre studiert sind; Sorge ist erforderlich zu erzählen, welcher Sinn beabsichtigt ist.

Sätze, Mitgliedschaft und Gleichheit

In der naiven Mengenlehre wird ein Satz als eine bestimmte Sammlung von Gegenständen beschrieben. Diese Gegenstände werden die Elemente oder Mitglieder des Satzes genannt. Gegenstände können irgendetwas sein: Zahlen, Leute, andere Sätze, usw. Zum Beispiel, 4 ist ein Mitglied des Satzes aller gleichen ganzen Zahlen. Klar ist der Satz von geraden Zahlen ungeheuer groß; es gibt keine Voraussetzung dass ein Satz, begrenzt sein.

Wenn x ein Mitglied von A ist, dann wird es auch gesagt, dass x A gehört, oder dass x in A ist. In diesem Fall schreiben wir x  A.

(Das Symbol  ist eine Abstammung vom griechischen Brief-Epsilon, "ε", eingeführt von Peano 1888.)

Das Symbol  wird manchmal verwendet, um zu schreiben, dass x  A, "x bedeutend, nicht in ist".

Zwei Sätze A und B werden definiert, um gleich zu sein, wenn sie genau dieselben Elemente haben, d. h. wenn jedes Element von A ein Element von B ist und jedes Element von B ein Element von A. ist (Sieh Axiom von extensionality.) So wird ein Satz durch seine Elemente völlig bestimmt; die Beschreibung ist immateriell. Zum Beispiel ist der Satz mit Elementen 2, 3, und 5 dem Satz aller Primzahlen weniger als 6 gleich.

Wenn die Sätze A und B gleich sind, wird das symbolisch als = B (wie gewöhnlich) angezeigt.

Wir berücksichtigen auch einen leeren Satz, häufig hat Ø und manchmal angezeigt: ein Satz ohne irgendwelche Mitglieder überhaupt.

Da ein Satz völlig durch seine Elemente bestimmt wird, kann es nur einen leeren Satz geben. (Sieh Axiom des leeren Satzes.) Bemerken das Ø  {Ø}.

Das Spezifizieren von Sätzen

Die einfachste Weise, einen Satz zu beschreiben, soll seine Elemente zwischen lockigen geschweiften Klammern (bekannt als das Definieren eines Satzes Verlängerungs-) verzeichnen. So {1,2} zeigt den Satz an, dessen nur Elemente 1 und 2 sind.

(Sieh Axiom der Paarung.)

Bemerken Sie die folgenden Punkte:

• Die Ordnung von Elementen ist immateriell; zum Beispiel, {1,2} = {2,1}.
• Wiederholung (Vielfältigkeit) von Elementen ist irrelevant; zum Beispiel, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

(Das sind Folgen der Definition der Gleichheit in der vorherigen Abteilung.)

Diese Notation kann durch den Ausspruch von etwas wie {Hunde} informell missbraucht werden, um den Satz aller Hunde anzuzeigen, aber dieses Beispiel würde gewöhnlich von Mathematikern als "der Satz gelesen, der die einzelnen Element-Hunde enthält".

Ein Extrem (aber richtig) das Beispiel dieser Notation ist {}, der den leeren Satz anzeigt.

Wir können auch die Notation {x verwenden: P (x)}, oder manchmal {x | P (x)}, um den Satz anzuzeigen, der alle Gegenstände enthält, für die die Bedingung P (bekannt als das Definieren eines Satzes intensionally) hält.

Zum Beispiel, {x: X ist eine reelle Zahl} zeigt den Satz von reellen Zahlen, {x an: X hat blondes Haar} zeigt den Satz von allem mit dem blonden Haar, und {x an: X ist ein Hund} zeigt den Satz aller Hunde an.

Diese Notation wird Notation des Satz-Baumeisters (oder "Satz-Verständnis", besonders im Zusammenhang der Funktionellen Programmierung) genannt.

Einige Varianten der Satz-Baumeister-Notation sind:

• {x  A: P (x)} zeigt den Satz aller x an, die bereits Mitglieder Eines solchen sind, dass die Bedingung P für x hält. Zum Beispiel, wenn Z der Satz von ganzen Zahlen, dann {x  Z ist: X ist sogar} ist der Satz aller gleichen ganzen Zahlen. (Sieh Axiom der Spezifizierung.)
• {F (x): x  zeigt A\den Satz aller erhaltenen Gegenstände durch das Stellen von Mitgliedern des Satzes in die Formel F an. Zum Beispiel, {2x: x  ist Z\wieder der Satz aller gleichen ganzen Zahlen. (Sieh Axiom des Ersatzes.)
• {F (x): P (x)} ist die allgemeinste Form der Satz-Baumeister-Notation. Zum Beispiel, {der Eigentümer von x: X ist ein Hund} ist der Satz aller Hund-Eigentümer.

Teilmengen

In Anbetracht zwei Sätze A und B sagen wir, dass A eine Teilmenge von B ist, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist.

Bemerken Sie, dass insbesondere B eine Teilmenge von sich ist; eine Teilmenge von B, der B nicht gleich ist, wird eine richtige Teilmenge genannt.

Wenn A eine Teilmenge von B ist, dann kann man auch sagen, dass B eine Obermenge von A ist, dass A in B enthalten wird, oder dass B A enthält.

In Symbolen bedeutet Ein  B, dass A eine Teilmenge von B und B  Ein Mittel ist, dass B eine Obermenge von A ist.

Einige Autoren verwenden die Symbole "" und "" für Teilmengen, und andere verwenden diese Symbole nur für richtige Teilmengen. Für die Klarheit kann man die Symbole "" und "" ausführlich verwenden, um Nichtgleichheit anzuzeigen.

Als eine Illustration, lassen Sie R der Satz von reellen Zahlen sein, Z der Satz von ganzen Zahlen sein lassen, O der Satz von sonderbaren ganzen Zahlen sein lassen, und P der Satz von aktuellen oder ehemaligen amerikanischen Präsidenten sein lassen.

Dann ist O eine Teilmenge von Z, Z ist eine Teilmenge von R, und (folglich) ist O eine Teilmenge von R, wo in allen Fällen die Teilmenge sogar als richtige Teilmenge gelesen werden kann.

Bemerken Sie, dass nicht alle Sätze auf diese Weise vergleichbar sind.

Zum Beispiel ist es nicht der Fall irgendein, dass R eine Teilmenge von P ist, noch dass P eine Teilmenge von R ist.

Es folgt sofort aus der Definition der Gleichheit von Sätzen darüber, in Anbetracht zwei Sätze A und B, = B wenn und nur wenn Ein  B und B  A. Tatsächlich wird das häufig als die Definition der Gleichheit gegeben. Gewöhnlich, wenn man versucht zu beweisen, dass zwei Sätze gleich sind, hat man zum Ziel, diese zwei Einschließungen zu zeigen. Bemerken Sie, dass der leere Satz eine Teilmenge jedes Satzes ist (die Behauptung, dass alle Elemente des leeren Satzes auch Mitglieder jedes Satzes A sind, ist ausdruckslos wahr).

Der Satz aller Teilmengen eines gegebenen ist untergegangen A wird den Macht-Satz von A genannt und wird durch angezeigt oder; der "P" ist manchmal in einer Fantasieschriftart. Wenn der Satz A n Elemente hat, dann Elemente haben wird.

Universale Sätze und absolute Ergänzungen

In bestimmten Zusammenhängen können wir alle Sätze unter der Rücksicht als seiend Teilmengen von einem gegebenen universalen Satz denken.

Zum Beispiel, wenn wir Eigenschaften der reellen Zahlen R untersuchen (und Teilmengen von R), dann können wir R als unser universaler Satz nehmen. Ein wahrer universaler Satz wird in die Standardsatz-Theorie nicht eingeschlossen (sieh Paradoxe unten), aber wird in einige Sondermengenlehren eingeschlossen.

In Anbetracht eines universalen Satzes U und einer Teilmenge U können wir die Ergänzung (in U) als definieren

:A: = {x U: x A\.

Mit anderen Worten, ("A-Ergänzung"; manchmal einfach', "A-prime") ist der Satz aller Mitglieder von U, die nicht Mitglieder von A sind.

So mit R, Z und O definiert als in der Abteilung auf Teilmengen, wenn Z der universale Satz ist, dann ist O der Satz von sogar ganzen Zahlen, während, wenn R der universale Satz ist, dann ist O der Satz aller reellen Zahlen, die entweder gleiche ganze Zahlen oder nicht ganze Zahlen überhaupt sind.

Vereinigungen, Kreuzungen und Verhältnisergänzungen

In Anbetracht zwei Sätze A und B können wir ihre Vereinigung bauen.

Das ist der Satz, der aus allen Gegenständen besteht, die Elemente von A oder von B oder von beiden sind (sieh Axiom der Vereinigung). Es wird durch Einen  B angezeigt.

Die Kreuzung von A und B ist der Satz aller Gegenstände, die sowohl in A als auch in B sind. Es wird durch Einen  B angezeigt.

Schließlich sind die Verhältnisergänzung von B hinsichtlich A, auch bekannt als der Satz theoretischer Unterschied von A und B, der Satz aller Gegenstände, die A, aber nicht B gehören. Es wird als \B oder Ein  B geschrieben.

Symbolisch sind diese beziehungsweise

:A  B: = {x: (x  A) oder (x  B)};

:A  B: = {x: (x  A) und (x  B)} = {x  A: x  B\= {x  B: x  A\;

:A \B: = {x: (x  A) und nicht (x  B)} = {x  A: nicht (x  B)}.

Bemerken Sie, dass A keine Teilmenge von B für B \sein muss, um Sinn zu haben; das ist der Unterschied zwischen der Verhältnisergänzung und der absoluten Ergänzung von der vorherigen Abteilung.

Um diese Ideen zu illustrieren, lassen Sie A der Satz von linkshändigen Leuten sein, und B der Satz von Leuten mit dem blonden Haar sein zu lassen.

Dann ist Ein  B der Satz aller linkshändigen blond-haarigen Leute, während Ein  B der Satz aller Leute ist, die linkshändig oder blond-haarig sind oder beide.

\ist B andererseits der Satz aller Leute, die linkshändig, aber nicht blond-haarig sind, während B \A der Satz aller Leute ist, die blondes Haar haben, aber nicht linkshändig sind.

Lassen Sie jetzt E der Satz aller Menschen sein, und F der Satz aller Wesen mehr als 1000 Jahre alt sein zu lassen.

Was ist E  F in diesem Fall?

Kein lebender Mensch ist mehr als 1000 Jahre alt, so muss E  F der leere Satz {} sein.

Für jeden Satz A ist der Macht-Satz eine Algebra von Boolean unter den Operationen der Vereinigung und Kreuzung.

Befohlene Paare und Kartesianische Produkte

Intuitiv ist ein befohlenes Paar einfach eine Sammlung von zwei solchen Gegenständen, dass einer als das erste Element und der andere als das zweite Element bemerkenswert sein kann, und das grundsätzliche Eigentum zu haben, dass zwei befohlene Paare gleich sind, wenn, und nur wenn ihre ersten Elemente gleich sind und ihre zweiten Elemente gleich sind.

Formell, ein befohlenes Paar mit der ersten Koordinate a und der zweiten Koordinate b, die gewöhnlich dadurch angezeigt ist (a, b), kann als der Satz definiert werden