In der Geometrie, einem Ikosaeder (oder) ist ein regelmäßiges Polyeder mit 20 identischen gleichseitigen Dreiecksgesichtern, 30 Rändern und 12 Scheitelpunkten. Es ist einer der fünf Platonischen Festkörper.

Es hat fünf Dreiecksgesichter, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Es kann von seiner Scheitelpunkt-Zahl als 3.3.3.3.3 oder 3, und auch durch das Symbol von Schläfli {3,5} vertreten werden. Es ist das Doppel-vom Dodekaeder, das durch {5,3} vertreten wird, drei fünfeckige Gesichter um jeden Scheitelpunkt habend.

Der Name kommt, von  (eíkosi) "zwanzig" und ἕδρα (hédra) "Sitz" her. Der Mehrzahl-kann entweder "Ikosaeder" oder "icosahedra" sein (-).

Dimensionen

Wenn die Rand-Länge eines regelmäßigen Ikosaeders a, der Radius eines umschriebenen Bereichs ist (derjenige, der sich berührt, das Ikosaeder an allen Scheitelpunkten) ist

und der Radius eines eingeschriebenen Bereichs (Tangente zu jedem der Gesichter des Ikosaeders) ist

während der midradius, der die Mitte jedes Randes berührt, ist

wo φ (hat auch τ genannt), das goldene Verhältnis ist.

Gebiet und Volumen

Die Fläche A und der Band V eines regelmäßigen Ikosaeders der Rand-Länge zu sein:

Der Letztere ist Zeiten das Volumen eines allgemeinen Tetraeders mit der Spitze am Zentrum des

eingeschriebener Bereich, wo das Volumen des Tetraeders dritte Male die Grundbereichszeiten seine Höhe ist.

Der Volumen-Füllungsfaktor des umschriebenen Bereichs ist

Kartesianische Koordinaten

Die folgenden Kartesianischen Koordinaten definieren die Scheitelpunkte eines Ikosaeders mit der Rand-Länge 2, in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung:

: (0, ±1, ±φ)

:(±1, ±φ, 0)

:(±φ, 0, ±1)

wo das goldene Verhältnis (auch schriftlicher τ) ist. Bemerken Sie, dass diese Scheitelpunkte fünf Sätze von drei konzentrischen, gegenseitig orthogonalen goldenen Rechtecken bilden, deren Ränder Ringe von Borromean bilden.

Wenn das ursprüngliche Ikosaeder Rand-Länge 1 hat, hat sein Doppeldodekaeder Rand-Länge, einen geteilten durch das goldene Verhältnis.

Die 12 Ränder eines regelmäßigen Oktaeders können im goldenen Verhältnis unterteilt werden, so dass die resultierenden Scheitelpunkte ein regelmäßiges Ikosaeder definieren. Das wird durch die ersten Stellen-Vektoren entlang den solchen Rändern des Oktaeders getan, dass jedes Gesicht durch einen Zyklus begrenzt wird, dann ähnlich jeden Rand in die goldene Mitte entlang der Richtung seines Vektoren unterteilend. Die fünf octahedra, die jedes gegebene Ikosaeder definieren, bilden eine regelmäßige polyedrische Zusammensetzung, wie die zwei icosahedra tun, die auf diese Weise von jedem gegebenen Oktaeder definiert werden können.

Kugelförmige Koordinaten

Gesehen als ein fünfeckiger gyroelongated bipyramid, mit D, zweiflächiger Symmetrie, können die Ikosaeder-Scheitelpunkte in kugelförmigen Koordinaten eingestellt werden, mit zwei Scheitelpunkten werden auf den Polen eines Bereichs gelegt, die restlichen Scheitelpunkte werden an der Breite ±arctan (1/2) gelegen. Die Längen können mit der antiprismatischen Symmetrie der restlichen zehn Scheitelpunkte gefunden werden, so einen Punkt befestigend, der dann 36 ° über die polare Achse rotieren lässt und über den Äquator nachdenkt, bis wir zum ursprünglichen Punkt zurückkehren.

Orthogonale Vorsprünge

Das Ikosaeder hat drei spezielle orthogonale Vorsprünge, in den Mittelpunkt gestellt, auf einem Gesicht, Rand und Scheitelpunkt:

Andere Tatsachen

• Ein Ikosaeder hat 43,380 verschiedene Netze.
• Das Ikosaeder, solch zu färben, dass keine zwei angrenzenden Gesichter dieselbe Farbe haben, verlangt mindestens 3 Farben.
• Wenn ein Ikosaeder in einem Bereich eingeschrieben wird, besetzt es weniger vom Volumen des Bereichs (60.54 %) als ein Dodekaeder, das in demselben Bereich (66.49 %) eingeschrieben ist.

Aufbau durch ein System von equiangular Linien

Der folgende Aufbau des Ikosaeders vermeidet langweilige Berechnung im in elementareren Annäherungen notwendigen numerischen Feld.

Die Existenz des Ikosaeders beläuft sich auf die Existenz von sechs equiangular Linien darin. Tatsächlich gibt das Schneiden solch eines Systems von equiangular Linien mit einem Euklidischen an ihrer allgemeinen Kreuzung in den Mittelpunkt gestellten Bereich die zwölf Scheitelpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders nach, wie leicht überprüft werden kann. Umgekehrt, die Existenz eines regelmäßigen Ikosaeders annehmend, bilden von seinen sechs Paaren von entgegengesetzten Scheitelpunkten definierte Linien ein equiangular System.

Um solch ein equiangular System zu bauen, fangen wir damit 6×6 Quadratmatrix an:

0&1&1&1&1&1 \\

1&0&1&-1&-1&1 \\

1&1&0&1&-1&-1 \\

1&-1&1&0&1&-1 \\

1&-1&-1&1&0&1 \\

1&1&-1&-1&1&0 \end {ordnen }\\Recht). </Mathematik>

Eine aufrichtige Berechnung trägt (wo ich 6×6 Identitätsmatrix bin). Das deutet an, dass A eigenvalues und, sowohl mit der Vielfältigkeit 3 hat, da A symmetrisch ist als auch der Spur-Null.

Die Matrix veranlasst so eine Euklidische Struktur auf dem Quotient-Raum, der dazu isomorph ist, da der Kern dessen Dimension 3 hat. Das Image unter dem Vorsprung der sechs Koordinatenäxte in Formen so ein System von sechs equiangular Linien im Schneiden pairwise in einem allgemeinen akuten Winkel dessen. Orthogonaler Vorsprung von ±v..., ±v auf den-eigenspace Erträge so die zwölf Scheitelpunkte des Ikosaeders.

Ein zweiter aufrichtiger Aufbau des Ikosaeders verwendet Darstellungstheorie der Wechselgruppe A das Handeln auf direkte Isometrien auf dem Ikosaeder.

Symmetrie

Die Rotationssymmetrie-Gruppe des regelmäßigen Ikosaeders ist zur Wechselgruppe auf fünf Briefen isomorph. Diese non-abelian einfache Gruppe ist die einzige nichttriviale normale Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf fünf Briefen. Da die Gruppe von Galois der allgemeinen quintic Gleichung zur symmetrischen Gruppe auf fünf Briefen isomorph ist, und diese normale Untergruppe einfach ist und non-abelian, hat die allgemeine quintic Gleichung keine Lösung in Radikalen. Der Beweis des Lehrsatzes von Abel-Ruffini verwendet diese einfache Tatsache, und Felix Klein hat ein Buch geschrieben, das von der Theorie von icosahedral symmetries Gebrauch gemacht hat, um eine analytische Lösung der allgemeinen quintic Gleichung abzuleiten. Sieh icosahedral Symmetrie: zusammenhängende Geometrie für die weitere Geschichte und verwandter symmetries auf sieben und elf Briefen.

Die volle Symmetrie-Gruppe des Ikosaeders (einschließlich des Nachdenkens) ist als die volle icosahedral Gruppe bekannt, und ist zum Produkt der Rotationssymmetrie-Gruppe und der Gruppe C der Größe zwei isomorph, der durch das Nachdenken durch das Zentrum des Ikosaeders erzeugt wird.

Stellations

Gemäß spezifischen Regeln, die im Buch Die Neunundfünfzig Icosahedra definiert sind, wurden 59 stellations für das regelmäßige Ikosaeder identifiziert. Die erste Form ist das Ikosaeder selbst. Man ist ein regelmäßiges Kepler-Poinsot Polyeder. Drei sind regelmäßige zusammengesetzte Polyeder.

Geometrische Beziehungen

Es gibt Verzerrungen des Ikosaeders, die, während nicht mehr nicht regelmäßig, dennoch mit dem Scheitelpunkt gleichförmig sind. Diese sind invariant unter denselben Folgen wie das Tetraeder, und sind dem stumpfen Würfel etwas analog und brüskieren Dodekaeder einschließlich einiger Formen, die chiral und einige mit der T-Symmetrie sind, d. h. verschiedene Flugzeuge der Symmetrie vom Tetraeder haben. Das Ikosaeder hat eine Vielzahl von stellations, einschließlich einen der Kepler-Poinsot Polyeder und einiger der regelmäßigen Zusammensetzungen, die hier besprochen werden konnten.

Das Ikosaeder ist unter den Platonischen Festkörpern im Besitzen eines zweiflächigen Winkels nicht weniger als 120 ° einzigartig. Sein zweiflächiger Winkel ist etwa 138.19 °. So, gerade als Sechsecke Winkel nicht weniger als 120 ° haben und als die Gesichter eines konvexen regelmäßigen Polyeders nicht verwendet werden können, weil solch ein Aufbau der Anforderung nicht entsprechen würde, die mindestens drei Gesichter an einem Scheitelpunkt entsprechen und einen positiven Defekt verlassen, um sich in drei Dimensionen, icosahedra zu falten, kann als die Zellen eines konvexen regelmäßigen polychoron nicht verwendet werden, weil ähnlich sich mindestens drei Zellen an einem Rand treffen und einen positiven Defekt verlassen müssen, um sich in vier Dimensionen zu falten (im Allgemeinen für einen konvexen polytope in n Dimensionen, müssen sich mindestens drei Seiten an einer Spitze treffen und einen positiven Defekt verlassen, um sich im N-Raum zu falten). Jedoch, wenn verbunden, mit passenden Zellen, die kleinere zweiflächige Winkel haben, kann icosahedra als Zellen in halbregelmäßigem polychora (zum Beispiel die Brüskierung 24-Zellen-) verwendet werden, wie Sechsecke als Gesichter in halbregelmäßigen Polyedern (zum Beispiel das gestutzte Ikosaeder) verwendet werden können. Schließlich tragen nichtkonvexe polytopes dieselben strengen Voraussetzungen wie konvexer polytopes nicht, und icosahedra sind tatsächlich die Zellen des icosahedral 120-Zellen-, einer der zehn nichtkonvexen regelmäßigen polychora.

Ein Ikosaeder kann auch einen gyroelongated fünfeckigen bipyramid genannt werden. Es kann in eine gyroelongated fünfeckige Pyramide und eine fünfeckige Pyramide oder in ein fünfeckiges Antiprisma und zwei gleiche fünfeckige Pyramiden zersetzt werden.

Uniform colorings und subsymmetries

Es gibt 3 Uniform colorings vom Ikosaeder. Diese colorings können als 11213, 11212, 11111 vertreten werden, die 5 Dreiecksgesichter um jeden Scheitelpunkt durch ihre Farbe nennend.

Das Ikosaeder kann als ein stumpfes Tetraeder betrachtet werden, weil snubification eines regelmäßigen Tetraeders ein regelmäßiges Ikosaeder gibt, das chiral vierflächige Symmetrie hat. Es kann auch als ein abwechseln lassenes gestutztes Oktaeder gebaut werden, pyritohedral Symmetrie habend.

Zusammenhängende Polyeder und polytopes

Das Ikosaeder kann durch eine Stutzungsfolge in seinen Doppel-, das Dodekaeder umgestaltet werden:

Dieses Polyeder ist topologisch als ein Teil der Folge von regelmäßigen Polyedern mit Symbolen von Schläfli {3, n} verbunden, ins Hyperbelflugzeug weitergehend.

Das Ikosaeder teilt seine Scheitelpunkt-Einordnung mit drei Kepler-Poinsot Festkörpern. Das große Dodekaeder hat auch dieselbe Rand-Einordnung.

Das Ikosaeder kann tessellate Hyperbelraum im Auftrag 3 icosahedral Honigwabe, mit 3 icosahedra um jeden Rand, 12 icosahedra um jeden Scheitelpunkt, mit dem Symbol von Schläfli {3,5,3}. Es ist einer von vier regelmäßigen tessellations im Hyperbel-3-Räume-.

Zusammenhängende Polyeder und tilings

Das regelmäßige Ikosaeder, das als ein stumpfes Tetraeder gesehen ist, ist ein Teil der Folge von brüskierten Polyedern und tilings mit der Scheitelpunkt-Abbildung (3.3.3.3.p) und dem Coxeter-Dynkin Diagramm. Diese gesichtstransitiven Zahlen haben (n32) Rotationssymmetrie.

Gebrauch und natürliche Formen

Viele Viren, z.B Herpes-Virus, haben Icosahedral-Schalen. Virenstrukturen werden wiederholter identischer Protein-Subeinheiten bekannt als capsomeres gebaut, und das Ikosaeder ist die leichteste Gestalt, um das Verwenden dieser Subeinheiten zu sammeln. Ein regelmäßiges Polyeder wird verwendet, weil es von einem einzelnen grundlegenden Einheitsprotein verwendet immer wieder gebaut werden kann; das spart Raum im Virengenom.

Verschiedene bakterielle organelles mit einer Icosahedral-Gestalt wurden auch gefunden. Die Icosahedral-Schale-Enzyme des kurz zusammenfassenden und labilen Zwischenglieder werden verschiedener Typen von Proteinen mit BMC Gebieten gebaut.

1904 hat Ernst Haeckel mehrere Arten von Radiolaria einschließlich Circogonia icosahedra beschrieben, dessen Skelett wie ein regelmäßiges Ikosaeder gestaltet wird. Eine Kopie der Illustration von Haeckel für diesen radiolarian erscheint im Artikel über regelmäßige Polyeder.

Die closo-carboranes sind chemische Zusammensetzungen mit der Gestalt sehr in der Nähe von isosahedron. Icosahedral twinning kommt auch in Kristallen, besonders nanoparticles vor.

In mehreren roleplaying Spielen, wie Kerker & Drachen, sterben die zwanzigseitigen (d20 für den kurzen) wird in der Bestimmung des Erfolgs oder Misserfolgs einer Handlung allgemein verwendet. Das stirbt ist in der Form eines regelmäßigen Ikosaeders. Es kann von "0" bis "9" zweimal numeriert werden (in der Form es gewöhnlich dient, weil ein zehnseitiger, oder d10 stirbt), aber modernste Versionen werden von "1" bis "20" etikettiert. Sieh d20 System.

R. Buckminster Fuller und japanischer Kartenzeichner Shoji Sadao haben eine Weltkarte in der Form eines entfalteten Ikosaeders, genannt den Vorsprung von Fuller entworfen, dessen maximale Verzerrung nur 2 % ist.

Ein Ikosaeder ist der dreidimensionale Spielausschuss für Icosagame früher bekannt als das Spiel von Ico Crystal.

Ein Ikosaeder wird im Brettspiel Scattergories verwendet, um einen Buchstaben vom Alphabet zu wählen. Sechs Briefe werden (Q, U, V, X, Y, und Z) weggelassen.

Innerhalb einer Magie werden verschiedene 8-Bälle-Antworten auf Alternativfragen auf einem regelmäßigen Ikosaeder eingeschrieben.

Der Licht-Schatten "von Sol de la Flor" besteht aus zwanzig Tafeln, die sich an den Ecken eines Ikosaeders in Rosetten treffen, die den überlappenden Blütenblättern einer frangipani Blume ähneln.

Viele borides und allotropes von Bor enthalten Bor B Ikosaeder als eine grundlegende Struktur-Einheit.

Wenn jeder Rand eines Ikosaeders durch einen Ein-Ohm-Widerstand ersetzt wird, ist der Widerstand zwischen entgegengesetzten Scheitelpunkten 0.5 Ohm, und das zwischen angrenzenden Scheitelpunkten 11/30 Ohm.

Das Firmenfirmenzeichen von TDK Corporation enthält eine geometrische Zahl, die auf dem stellation Diagramm des Ikosaeders basiert.

Siehe auch

• Gestutztes Ikosaeder
• Regelmäßiges Polyeder
• Geodätischer Bratrost verwendet ein wiederholend halbiertes Ikosaeder, um Bratrost auf einem Bereich zu erzeugen
• Das Ikosaeder von Jessen
• Unendlich verdrehen Polyeder
• Pseudoikosaeder

Links

• Die gleichförmigen Polyeder
• K.J.M. MacLean, eine geometrische Analyse der fünf platonischen Festkörper und anderen halbregelmäßigen Polyeder
• Interaktives Ikosaeder-Modell - arbeitet direkt in Ihrem WWW-Browser
• Polyeder der virtuellen Realität die Enzyklopädie von Polyedern
• Tulane.edu Eine Diskussion der Virenstruktur und des Ikosaeders
• Papiermodelle von Polyedern Viele Verbindungen
• Origami-Polyeder - Modelle, die mit dem Modulorigami gemacht sind
• Video der icosahedral Spiegelskulptur
• http://web.uct.ac.za/depts/mmi/stannard/virarch.html Grundsatz der Virus-Architektur