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! Schläfli symbol2

| {p/q }\

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! Scheitelpunkte und Ränder

|p

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! Coxeter-Dynkin Diagramm

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! Symmetrie-Gruppe

|Dihedral (D)

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! Doppelvieleck

|Self-Doppel-

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! Innerer Winkel (Grade)

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| }\

Ein Sternvieleck ist ein nichtkonvexes Vieleck, das irgendwie einem Stern ähnlich ist. Nur die regelmäßigen sind in jeder Tiefe studiert worden; Sternvielecke scheinen im Allgemeinen, nicht formell definiert worden zu sein. Sie sollten mit Sterngebieten nicht verwirrt sein.

Regelmäßige Sternvielecke

In der Geometrie ist ein "regelmäßiges Sternvieleck" ein Selbstschneiden, gleichseitiges equiangular Vieleck, das durch das Anschließen eines Scheitelpunkts eines einfachen, regelmäßigen, p-sided Vieleck zu einem anderen, nichtangrenzendem Scheitelpunkt und das Fortsetzen des Prozesses geschaffen ist, bis der ursprüngliche Scheitelpunkt wieder erreicht wird. Wechselweise für ganze Zahlen p und q kann es als betrachtet werden, durch das Anschließen jedes Qth-Punkts aus P-Punkten gebaut werden, die regelmäßig in einem kreisförmigen Stellen unter Drogeneinfluss sind. Zum Beispiel, in einem regelmäßigen Pentagon, kann ein fünfzackiger Stern durch die Zeichnung einer Linie von Anfang an zum dritten Scheitelpunkt, vom dritten Scheitelpunkt bis den fünften Scheitelpunkt, vom fünften Scheitelpunkt bis den zweiten Scheitelpunkt, vom zweiten Scheitelpunkt bis den vierten Scheitelpunkt, und vom vierten Scheitelpunkt bis den ersten Scheitelpunkt erhalten werden. Die Notation für solch ein Vieleck ist {p/q} (sieh Symbol von Schläfli), der {p/p-q} gleich ist. Regelmäßige Sternvielecke werden erzeugt, wenn p und q relativ erst sind (sie teilen keine Faktoren). Ein regelmäßiges Sternvieleck kann auch als eine Folge von stellations eines konvexen regelmäßigen Kernvielecks vertreten werden. Regelmäßige Sternvielecke wurden zuerst systematisch von Thomas Bradwardine studiert.

Beispiele

Sternzahlen

Wenn die Zahl von Seiten n durch die M gleichmäßig teilbar ist, wird das erhaltene Sternvieleck ein regelmäßiges Vieleck mit n/m Seiten sein. Eine neue Zahl wird erhalten, indem sie diese regelmäßigen n/m-gons ein Scheitelpunkt nach links auf dem ursprünglichen Vieleck rotieren lässt, bis die Zahl von rotieren gelassenen Scheitelpunkten n/m minus einer gleichkommt, und diese Zahlen verbindend. Ein äußerster Fall davon ist, wo n/m 2 ist, eine Zahl erzeugend, die aus n/2 Segmenten der Gerade besteht; das wird ein "degeneriertes Sternvieleck" genannt.

In anderen Fällen, wo n und M einen gemeinsamen Faktor haben, wird ein Sternvieleck für einen niedrigeren n erhalten, und rotieren gelassene Versionen können verbunden werden. Diese Zahlen werden "Sternzahlen" oder "unpassende Sternvielecke" oder "zusammengesetzte Vielecke" genannt. Dieselbe Notation {n/m} wird häufig für sie, obwohl Behörden wie Grünbaum (1994) Rücksicht (mit etwas Rechtfertigung) die Form k {n} als richtiger seiend, wo gewöhnlich k = M verwendet.

Eine weitere Komplikation kommt, wenn wir zwei oder mehr Sternvielecke, bezüglich des Beispiels zwei Pentagramme zusammensetzen, sich durch eine Folge von 36 ° unterscheidend, die in einem Zehneck eingeschrieben sind. Das wird in der Form k {n/m}, als 2 {5/2}, aber nicht das allgemein verwendete {10/4} richtig geschrieben.

Ein sechszackiger Stern, wie ein Sechseck, kann mit einem Kompass und einem geraden Rand geschaffen werden:

• Machen Sie einen Kreis jeder Größe mit dem Kompass.
• Ohne den Radius des Kompasses Satz zu ändern, findet seine Türangel auf dem Kreisumfang des Kreises, und einen der zwei Punkte, wo ein neuer Kreis den ersten Kreis durchschneiden würde.
• Mit der Türangel auf dem letzten gefundenen Punkt, finden Sie ähnlich einen dritten Punkt auf dem Kreisumfang und Wiederholung, bis sechs solche Punkte gekennzeichnet worden sind.
• Mit einem geraden Rand, schließen Sie sich abwechselnden Punkten auf dem Kreisumfang an, um zwei überlappende gleichseitige Dreiecke zu bilden.

Symmetrie

Von regelmäßigen Sternvielecken und Sternzahlen kann als schematisch darstellend cosets von den Untergruppen der begrenzten Gruppe gedacht werden.

Die Symmetrie-Gruppe von {n/k} ist zweiflächige Gruppe D vom Auftrag 2n, der von k unabhängig ist.

Unregelmäßige Sternvielecke

Ein Sternvieleck braucht nicht regelmäßig zu sein. Unregelmäßige zyklische Sternvielecke kommen vor, weil Scheitelpunkt für die gleichförmigen Polyeder erscheint, die durch die Folge von regelmäßigen Vieleck-Gesichtern um jeden Scheitelpunkt definiert sind, sowohl vielfache Umdrehungen als auch rückläufige Richtungen berücksichtigend. (Sieh Scheitelpunkt-Zahlen an der Liste von gleichförmigen Polyedern)

Der unicursal hexagram ist ein anderes Beispiel eines zyklischen unregelmäßigen Sternvielecks, nur D Zweiflächige Symmetrie enthaltend.

Innere von Sternvielecken

Sternvielecke verlassen eine Zweideutigkeit der Interpretation für das Innere. Dieses Diagramm demonstriert drei Interpretationen eines Pentagramms.

• Die linke Interpretation hat die 5 Scheitelpunkte eines regelmäßigen Pentagons verbunden abwechselnd auf einem zyklischen Pfad, abwechselnde Scheitelpunkte auslassend. Das Interieur ist alles sofort Verlassenes (oder Recht) von jedem Rand (bis zur folgenden Kreuzung). Das macht das fünfeckige konvexe Kerngebiet wirklich "draußen", und im Allgemeinen können Sie innen durch eine binäre gleich-sonderbare Regel des Zählens bestimmen, wie viele Ränder von einem Punkt entlang einem Strahl zur Unendlichkeit durchgeschnitten werden.
• Die mittlere Interpretation hat auch die 5 Scheitelpunkte eines regelmäßigen Pentagons verbunden abwechselnd auf einem zyklischen Pfad. Das Interieur kann auch behandelt werden:
• als das Innere einer einfachen 10-seitigen Vieleck-Umfang-Grenze, als unten.
• mit dem fünfeckigen konvexen Hauptgebiet umgeben zweimal, weil die Sternenumfang-Winde darum zweimal.
• Die rechte Interpretation schafft neue Scheitelpunkte an den Kreuzungen der Ränder (5 in diesem Fall) und definiert ein neues konkaves Zehneck (10-zackiges Vieleck) gebildet durch den Umfang-Pfad der mittleren Interpretation; es ist tatsächlich nicht mehr ein Pentagramm.

Was ist das Gebiet innen das Pentagramm? Jede Interpretation führt zu einer verschiedenen Antwort.

Beispiel-Interpretationen eines Sternprismas

{7/2} heptagrammic Prisma:

Das heptagrammic Prisma zeigt oben, dass verschiedene Interpretationen sehr verschiedenen Anschein schaffen können.

Baumeister von Polyeder-Modellen, wie Magnus Wenninger, vertreten gewöhnlich Sternvieleck-Gesichter in der konkaven Form ohne innere gezeigte Ränder.

Sternvielecke in der Kunst und Kultur

Sternvielecke zeigen prominent in der Kunst und Kultur. Solche Vielecke können oder können nicht regelmäßig sein, aber sie sind immer hoch symmetrisch. Beispiele schließen ein:

• Das {5/2} Sternpentagon ist auch bekannt als ein Pentagramm, pentalpha oder pentangle, und ist historisch durch viele magische und religiöse Kulte betrachtet worden, okkulte Bedeutung zu haben.
• Das einfachste nichtdegenerierte komplizierte Sternvieleck, das zwei {6/2} Vielecke (d. h., Dreiecke), der hexagram (Davidsstern, Siegel von Solomon) ist.
• {7/3} und {7/2} Sternvielecke, die als heptagrams bekannt sind und auch okkulte Bedeutung besonders in Kabbalah und in Wicca haben.
• Der Komplex {8/2} Sternvieleck (d. h. zwei Quadrate), der als der Stern von Lakshmi und Zahlen im Hinduismus bekannt ist;
• Das {8/3} Sternvieleck (octagram) und das komplizierte Sternvieleck von zwei {16/6} Vielecken, die häufige geometrische Motive in der Mughal islamischen Kunst und Architektur sind; das erste ist auf.
• Elf haben angespitzt, dass Stern den hendecagram genannt hat, der anscheinend auf der Grabstätte von Shah Nemat Ollah Vali verwendet wurde.

Einige auf einem Sternvieleck gestützte Symbole haben das Verflechten, durch kleine Lücken, und/oder im Fall von einer Sternzahl mit verschiedenen Farben.

Siehe auch

• Kompliziertes Vieleck
• Liste von regelmäßigem polytopes - Nichtkonvexe Formen (2.)
• Magischer Stern
• Sternpolyeder
• Stern polychoron (4-polytopes)
• Sterngeformtes Vieleck
• Stellation#Stellated Vielecke
• Cromwell, P.; Polyeder, TASSE, Hbk. 1997, internationale Standardbuchnummer 0-521-66432-2. Pbk. (1999), internationale Standardbuchnummer 0-521-66405-5.
• Grünbaum, B. und G.C. Shephard; Tilings und Patterns, New York:W. H. Freeman & Co., (1987), internationale Standardbuchnummer 0-7167-1193-1.
• Grünbaum, B.; Polyeder mit Hohlen Gesichtern, Proc der Konferenz der NATO-ASI für Polytopes... usw. (Toronto 1993), Hrsg. T. Bisztriczky u. a. Kluwer Akademisch (1994) Seiten 43-70.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Der Symmetries von Dingen 2008, internationale Standardbuchnummer 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. Seiten 404: Regelmäßige Stern-Polytopes Dimension 2)

Links

• Sternvielecke - Java applet