Ein zylindrisches Koordinatensystem ist ein dreidimensionales Koordinatensystem

das gibt Punkt-Positionen durch die Entfernung von einer gewählten Bezugsachse, die Richtung von der Achse hinsichtlich einer gewählten Bezugsrichtung und die Entfernung von einer gewählten Bezugsflugzeug-Senkrechte bis die Achse an. Die letzte Entfernung wird als eine positive oder negative Zahl gegeben, abhängig von der die Seite des Bezugsflugzeugs dem Punkt gegenübersteht.

Der Ursprung des Systems ist der Punkt, wo alle drei Koordinaten als Null gegeben werden können. Das ist die Kreuzung zwischen dem Bezugsflugzeug und der Achse.

Die Achse wird die zylindrische oder längs gerichtete Achse verschiedenartig genannt, um es von zu unterscheiden

die polare Achse, die der Strahl ist, der im Bezugsflugzeug, liegt

das Starten am Ursprung und das Hinweisen in der Bezugsrichtung.

Die Entfernung von der Achse kann die radiale Entfernung oder den Radius, genannt werden

während die winkelige Koordinate manchmal die winkelige Position oder als der Azimut genannt wird.

Der Radius und der Azimut werden die Polarkoordinaten zusammen genannt, weil sie einem zweidimensionalen Polarkoordinate-System im Flugzeug durch den Punkt, die Parallele zum Bezugsflugzeug entsprechen.

Die dritte Koordinate kann die Höhe oder Höhe genannt werden (wenn das Bezugsflugzeug horizontal betrachtet wird),

Längsposition,

oder axiale Position.

Zylindrische Koordinaten sind im Zusammenhang mit Gegenständen und Phänomenen nützlich, die etwas Rotationssymmetrie über die Längsachse wie Wasserfluss in einer geraden Pfeife mit dem runden Querschnitt haben, Vertrieb in einem Metallzylinder, elektromagnetische Felder heizen, die durch einen elektrischen Strom in einer langen, geraden Leitung und so weiter erzeugt sind.

Es wird manchmal "zylindrische Polarkoordinate" und "polare zylindrische Koordinate" genannt, und wird einmal verwendet, um die Position von Sternen in einer Milchstraße ("galactocentric zylindrische Polarkoordinate") anzugeben.

Definition

Die drei Koordinaten (ρ, φ, z) eines Punkts P werden als definiert:

• Die radiale Entfernung ρ ist die Euklidische Entfernung von der z Achse bis den Punkt P.
• Der Azimut φ ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung auf dem gewählten Flugzeug und der Linie vom Ursprung bis den Vorsprung von P auf dem Flugzeug.
• Die Höhe z ist die unterzeichnete Entfernung vom gewählten Flugzeug bis den Punkt P.

Einzigartige zylindrische Koordinaten

Als in Polarkoordinaten hat derselbe Punkt mit zylindrischen Koordinaten (ρ, φ, z) ungeheuer viele gleichwertige Koordinaten nämlich, und wo n jede ganze Zahl ist. Außerdem, wenn der Radius ρ Null ist, ist der Azimut willkürlich.

In Situationen, wo man einen einzigartigen Satz von Koordinaten für jeden Punkt braucht, kann man den Radius einschränken um (ρ  0) und der Azimut φ nichtnegativ zu sein, um in einem spezifischen Zwischenraum zu liegen, der 360 °, solcher als (−180°,+180°] oder [0,360 °) abmisst.

Vereinbarung

Die Notation für zylindrische Koordinaten ist nicht gleichförmig. Die ISO normalen 31-11 empfehlen (ρ, φ, z), wo ρ die radiale Koordinate, φ der Azimut und z die Höhe ist. Jedoch wird der Radius auch häufig r, der Azimut durch θ oder t und die dritte Koordinate durch h oder angezeigt (wenn die zylindrische Achse horizontal betrachtet wird) x, oder jeder mit dem Zusammenhang spezifische Brief.

In konkreten Situationen, und in vielen mathematischen Illustrationen wird eine positive winkelige Koordinate, gegen den Uhrzeigersinn wie gesehen, von jedem Punkt mit der positiven Höhe gemessen.

Koordinatensystemkonvertierungen

Das zylindrische Koordinatensystem ist eines von vielen dreidimensionalen Koordinatensystemen. Die folgende Formel kann verwendet werden, um sich zwischen ihnen umzuwandeln.

Kartesianische Koordinaten

Für die Konvertierung zwischen zylindrischen und Kartesianischen Koordinatensystemen ist es günstig anzunehmen, dass das Bezugsflugzeug vom ersteren das Kartesianische x-y Flugzeug (mit der Gleichung z = 0) ist, und die zylindrische Achse die Kartesianische z Achse ist. Dann ist die Z-Koordinate dasselbe in beiden Systemen, und die Ähnlichkeit zwischen dem zylindrischen (ρ,φ) und Kartesianisch (x, y) sind dasselbe bezüglich Polarkoordinaten, nämlich

::

in einer Richtung und

:

:

\begin {Fälle }\

0 & \mbox {wenn} x = 0 \mbox {und} y = 0 \\

\arcsin (\frac {y} {\\rho}) & \mbox {wenn} x \geq 0 \\

- \arcsin (\frac {y} {\\rho}) + \pi & \mbox {wenn} x

im anderen. Die Arcsin-Funktion ist das Gegenteil der Sinusfunktion und wird angenommen, einen Winkel in der Reihe [−/2,+/2] = [−90°,+90°] zurückzugeben. Diese Formeln geben einen Azimut φ in der Reihe [90 °, + 270 °] nach. Für andere Formeln, sieh den Polarkoordinate-Artikel.

Viele moderne Programmiersprachen stellen eine Funktion zur Verfügung, die den richtigen Azimut φ in der Reihe schätzen wird (−, π], gegeben x und y, ohne das Bedürfnis, eine Fall-Analyse als oben durchzuführen. Zum Beispiel wird diese Funktion durch (y, x) auf der C Programmiersprache, und (y, x) im allgemeinen Lispeln genannt.

Kugelförmige Koordinaten

Kugelförmige Koordinaten (Radius r, Erhebung oder Neigung θ, Azimut φ), kann in zylindrische Koordinaten umgewandelt werden durch:

</tr>

</tr> </tr> </tr>

</Tisch>

Zylindrische Koordinaten können in kugelförmige Koordinaten umgewandelt werden durch:

</tr> </tr> </tr> </tr></Tisch>

Linie und Volumen-Elemente

:See vielfaches Integral für Details der Volumen-Integration in zylindrischen Koordinaten und Del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten für Vektor-Rechnungsformeln.

In vielen Problemen, die zylindrische Polarkoordinaten einschließen, ist es nützlich, die Linie und Volumen-Elemente zu wissen; diese werden in der Integration verwendet, um Probleme zu beheben, die Pfade und Volumina einschließen.

Das Linienelement ist

:

Das Volumen-Element ist

:

Das Oberflächenelement in einer Oberfläche des unveränderlichen Radius (ein vertikaler Zylinder) ist

:

Das Oberflächenelement in einer Oberfläche des unveränderlichen Azimuts (ein vertikales Halbflugzeug) ist

:

Das Oberflächenelement in einer Oberfläche der unveränderlichen Höhe (eine Horizontalebene) ist

:

Der del Maschinenbediener in diesem System wird als geschrieben

:

und der Maschinenbediener von Laplace wird durch definiert

:

{1 \over \rho} {\\teilweiser \over \partial \rho }\

\left (\rho {\\teilweiser f \over \partial \rho} \right)

+ {1 \over \rho^2} {\\partial^2 f \over \partial \varphi^2 }\

+ {\\partial^2 f \over \partial z^2}.

</Mathematik>

Zylindrische Obertöne

Die Lösungen der Gleichung von Laplace in einem System mit der zylindrischen Symmetrie werden zylindrische Obertöne genannt.

Siehe auch

• Liste von kanonischen Koordinatentransformationen
• Vektorfelder in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten

Weiterführende Literatur

Links

• Beschreibung von MathWorld von zylindrischen Koordinaten
• Zylindrische Koordinatenzeichentrickfilme, die zylindrische Koordinaten durch Frank Wattenberg illustrieren