In der Euklidischen Flugzeug-Geometrie ist ein Rechteck jedes Vierseit mit vier richtigen Winkeln. Ein anderer Name ist equiangular Vierseit, da equiangular bedeutet, dass alle seine Winkel (360 °/4 = 90 °) gleich sind. Es kann auch als ein Parallelogramm definiert werden, das einen richtigen Winkel enthält. Der Begriff wird gelegentlich gebraucht, um sich auf ein Nichtquadratrechteck zu beziehen. Ein Rechteck mit Scheitelpunkten ABCD würde als angezeigt.

Das Wortrechteck kommt aus dem lateinischen rectangulus, der eine Kombination von rectus (Recht) und angulus (Winkel) ist.

Ein so genanntes durchquertes Rechteck ist ein durchquertes (sich selbstschneidendes) Vierseit, das aus zwei Gegenseiten eines Rechtecks zusammen mit den zwei Diagonalen besteht. Es ist ein spezieller Fall eines Antiparallelogramms, und seine Winkel sind nicht richtige Winkel. Andere Geometrie, solcher als kugelförmig, elliptisch, und hyperbolisch, hat so genannte Rechtecke mit Gegenseiten, die in der Länge und den gleichen Winkeln gleich sind, die nicht richtige Winkel sind.

Rechtecke werden an vielen mit Ziegeln deckenden Problemen beteiligt wie, das Flugzeug durch Rechtecke mit Ziegeln zu decken oder ein Rechteck durch Vielecke mit Ziegeln zu decken.

Charakterisierungen

Ein konvexes Vierseit ist ein Rechteck, wenn, und nur wenn es irgendwelcher des folgenden ist:

• ein Parallelogramm mit mindestens einem Recht biegt um
• ein equiangular Parallelogramm
• ein Parallelogramm mit Diagonalen der gleichen Länge
• ein Parallelogramm-ABCD, wo Dreiecke ABD und DCA kongruenter sind
• ein Vierseit, das vier richtige Winkel hat
• ein equiangular Vierseit

Klassifikation

Traditionelle Hierarchie

Ein Rechteck ist ein spezieller Fall eines Parallelogramms, in dem jedes Paar von angrenzenden Seiten rechtwinklig ist.

Ein Parallelogramm ist ein spezieller Fall eines Trapezes (bekannt als ein Trapezoid in Nordamerika), in dem beide Paare von Gegenseiten parallel und in der Länge gleich sind.

Ein Trapez ist ein konvexes Vierseit, das mindestens ein Paar von parallelen Gegenseiten hat.

Ein konvexes Vierseit ist

• Sterngeformt: Das ganze Interieur ist von einem einzelnen Punkt sichtbar, ohne jeden Rand zu durchqueren.
• Einfach: Die Grenze bekreuzigt sich nicht.

Alternative Hierarchie

De Villiers definiert ein Rechteck mehr allgemein als jedes Vierseit mit Äxten der Symmetrie durch jedes Paar von Gegenseiten. Diese Definition schließt sowohl rechtwinklige Rechtecke als auch durchquerte Rechtecke ein. Jeder hat eine Achse der Symmetrie-Parallele zu und gleich weit entfernt von einem Paar von Gegenseiten und einem anderen, der die rechtwinklige Halbierungslinie jener Seiten ist, aber, im Fall vom durchquerten Rechteck, ist die erste Achse nicht eine Achse der Symmetrie für jede Seite, die es halbiert.

Vierseite mit zwei Äxten der Symmetrie, jedes durch ein Paar von Gegenseiten, gehören der größeren Klasse von Vierseiten mit mindestens einer Achse der Symmetrie durch ein Paar von Gegenseiten. Diese Vierseite umfassen gleichschenklige Trapeze und haben gleichschenklige Trapeze (durchquerte Vierseite mit derselben Scheitelpunkt-Einordnung wie gleichschenklige Trapeze) durchquert.

Eigenschaften

Symmetrie

Ein Rechteck ist zyklisch: Alle Ecken liegen auf einem einzelnen Kreis.

Es ist equiangular: Alle seine Eckwinkel sind (jeder von 90 Graden) gleich.

Es ist isogonal oder mit dem Scheitelpunkt transitiv: Alle Ecken liegen innerhalb derselben Symmetrie-Bahn.

Es hat zwei Linien der reflectional Symmetrie und Rotationssymmetrie des Auftrags 2 (durch 180 °).

Dualität des Rechteck-Rhombus

Das Doppelvieleck eines Rechtecks ist ein Rhombus, wie gezeigt, im Tisch unten.

Verschieden

Die zwei Diagonalen sind in der Länge gleich und halbieren einander. Jedes Vierseit mit beiden diesen Eigenschaften ist ein Rechteck.

Ein Rechteck ist geradlinig: Seine Seiten treffen sich rechtwinklig.

Ein Nichtquadratrechteck hat 5 Grade der Freiheit, 2 für die Position, 1 für die Rotationsorientierung, 1 für die gesamte Größe, und 1 für die Gestalt umfassend.

Wie man

sagt, sind zwei Rechtecke, von denen keines im anderen passen wird, unvergleichbar.

Mit Scheitelpunkten angezeigter A, B, C, und D, für jeden Punkt P im Interieur eines Rechtecks:

:

Formeln

Wenn ein Rechteck Länge und Breite w hat

• es hat Gebiet,
• es hat Umfang,
• jede Diagonale hat Länge,
• und wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Lehrsätze

Der isoperimetric Lehrsatz für Rechtecke stellt fest, dass unter allen Rechtecken eines gegebenen Umfangs das Quadrat das größte Gebiet hat.

Die Mittelpunkte der Seiten jedes Vierseits mit rechtwinkligen Diagonalen bilden ein Rechteck.

Ein Parallelogramm mit gleichen Diagonalen ist ein Rechteck.

Der japanische Lehrsatz für zyklische Vierseite stellt fest, dass die incentres der vier Dreiecke, die durch die Scheitelpunkte eines zyklischen Vierseits bestimmt sind, genommen drei in einer Zeit ein Rechteck bilden.

Durchquerte Rechtecke

Ein durchquertes (sich selbstschneidendes) Vierseit besteht aus zwei Gegenseiten eines Vierseits "nicht selbst, sich" zusammen mit den zwei Diagonalen schneidend. Ähnlich ist ein durchquertes Rechteck ein durchquertes Vierseit, das aus zwei Gegenseiten eines Rechtecks zusammen mit den zwei Diagonalen besteht. Es hat dieselbe Scheitelpunkt-Einordnung wie das Rechteck. Es erscheint als zwei identische Dreiecke mit einem allgemeinen Scheitelpunkt, aber die geometrische Kreuzung wird als kein Scheitelpunkt betrachtet.

Ein durchquertes Vierseit wird manchmal mit einer Fliege oder Schmetterling verglichen. Ein dreidimensionaler rechteckiger Leitungsrahmen, der gedreht wird, kann die Gestalt einer Fliege nehmen. Ein durchquertes Rechteck wird manchmal "winkelige acht" genannt.

Das Interieur eines durchquerten Rechtecks kann eine Vieleck-Dichte ±1 in jedem Dreieck, Abhängigem nach der krummen Orientierung als im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn haben.

Ein durchquertes Rechteck ist nicht equiangular. Die Summe seiner Innenwinkel (zwei akute und zwei Reflex), als mit jedem durchquerten Vierseit, ist 720 °.

Ein Rechteck und ein durchquertes Rechteck sind Vierseite mit den folgenden Eigenschaften gemeinsam:

• Gegenseiten sind in der Länge gleich.
• Die zwei Diagonalen sind in der Länge gleich.

Es hat zwei Linien der reflectional Symmetrie und Rotationssymmetrie des Auftrags 2 (durch 180 °).

Andere Rechtecke

In der Raumgeometrie der Körper ist eine Zahl nichtplanar, wenn sie in einem (flachen) Flugzeug nicht enthalten wird. Ein verdrehen Rechteck ist ein nichtplanares Vierseit mit Gegenseiten, die in der Länge und den vier gleichen akuten Winkeln gleich sind. Ein Sattel-Rechteck ist ein verdrehen Rechteck mit Scheitelpunkten, die eine gleiche Entfernung oben und unter einem Flugzeug abwechseln lassen, das sein Zentrum durchführt, das für sein minimales Oberflächeninterieur genannt ist, das mit dem Sattel-Punkt an seinem Zentrum gesehen ist. Der konvexe Rumpf davon verdreht Rechteck ist ein spezielles Tetraeder genannt einen rhombischen disphenoid. (Der Begriff "verdreht Rechteck" wird auch in der 2. Grafik verwendet, um sich auf eine Verzerrung eines Rechtecks mit einem "verdrehen" Werkzeug zu beziehen. Das Ergebnis kann ein Parallelogramm oder ein Trapezoid/Trapez sein.)

In der sphärischen Geometrie ist ein kugelförmiges Rechteck eine Zahl, deren vier Ränder große Kreiskreisbogen sind, die sich in gleichen Winkeln treffen, die größer sind als 90 °. Entgegengesetzte Kreisbogen sind in der Länge gleich. Die Oberfläche eines Bereichs in der Euklidischen Raumgeometrie der Körper ist eine nicht-euklidische Oberfläche im Sinne der elliptischen Geometrie. Sphärische Geometrie ist die einfachste Form der elliptischen Geometrie.

In der elliptischen Geometrie ist ein elliptisches Rechteck eine Zahl im elliptischen Flugzeug, dessen vier Ränder elliptische Kreisbogen sind, die sich in gleichen Winkeln treffen, die größer sind als 90 °. Entgegengesetzte Kreisbogen sind in der Länge gleich.

In der Hyperbelgeometrie ist ein Hyperbelrechteck eine Zahl im Hyperbelflugzeug, dessen vier Ränder Hyperbelkreisbogen sind, die in gleichen Winkeln weniger als 90 ° entsprechen. Entgegengesetzte Kreisbogen sind in der Länge gleich.

Tessellations

Das Rechteck wird in vielen periodischen tessellation Mustern, im Backsteinbau, zum Beispiel, diesen tilings verwendet:

Karierte, vollkommene und andere mit Ziegeln gedeckte Rechtecke

Wie man

gesagt wird, ist ein Rechteck, das durch Quadrate, Rechtecke oder Dreiecke mit Ziegeln gedeckt ist, ein "karierter", "rectangled", oder (oder "triangled") Rechteck beziehungsweise "trianguliert". Das mit Ziegeln gedeckte Rechteck ist

vollkommen, wenn die Ziegel ähnlich und in der Zahl und keinen zwei Ziegeln begrenzt sind, sind dieselbe Größe. Wenn zwei solche Ziegel dieselbe Größe sind, mit Ziegeln zu decken, ist unvollständig. In einem vollkommenen (oder Imperfekt) triangled Rechteck müssen die Dreiecke rechtwinklige Dreiecke sein.

Ein Rechteck hat kommensurable Seiten, wenn, und nur wenn es tileable durch eine begrenzte Zahl von ungleichen Quadraten ist. Dasselbe ist wahr, wenn die Ziegel gleichschenklig ungleich sind.

Die tilings von Rechtecken durch andere Ziegel, die den grössten Teil der Aufmerksamkeit angezogen haben, sind diejenigen durch kongruenten nichtrechteckigen polyominoes, alle Folgen und Nachdenken erlaubend. Es gibt auch tilings durch kongruenten polyaboloes.

Siehe auch

• Britischer Fahne-Lehrsatz
• Cuboid
• Goldenes Rechteck
• Hyperrechteck

Links

• Definition und Eigenschaften eines Rechtecks mit dem interaktiven Zeichentrickfilm.
• Gebiet eines Rechtecks mit dem interaktiven Zeichentrickfilm.