In der Euklidischen Geometrie ist ein Parallelogramm ein konvexes Vierseit mit zwei Paaren von parallelen Seiten. Die entgegengesetzten oder liegenden Seiten eines Parallelogramms sind der gleichen Länge, und die entgegengesetzten Winkel eines Parallelogramms sind des gleichen Maßes. Die Kongruenz von Gegenseiten und entgegengesetzten Winkeln ist eine direkte Folge des Euklidischen Parallelen Postulates, und keine Bedingung kann bewiesen werden, ohne an das Euklidische Parallele Postulat oder eine seiner gleichwertigen Formulierungen zu appellieren. Die dreidimensionale Kopie eines Parallelogramms ist ein parallelepiped.

Die Etymologie (in griechischem παραλληλ-όγραμμον, eine Gestalt "von parallelen Linien") widerspiegelt die Definition.

Charakterisierungen

Ein konvexes Vierseit ist ein Parallelogramm, wenn, und nur wenn irgendwelche der folgenden Behauptungen wahr sind:

• Jede Diagonale teilt das Vierseit in zwei kongruente Dreiecke mit derselben Orientierung.
• Die Gegenseiten sind in der Länge gleich.
• Die Diagonalen halbieren einander.
• Die entgegengesetzten Winkel sind im Maß gleich.
• Die Summe der Quadrate der Seiten kommt der Summe der Quadrate der Diagonalen gleich. (Das ist das Parallelogramm-Gesetz.)
• Es besitzt Rotationssymmetrie.
• Ein Paar von Gegenseiten ist parallel und in der Länge gleich.
• Angrenzende Winkel sind ergänzend.

Eigenschaften

• Gegenseiten eines Parallelogramms sind (definitionsgemäß) parallel und nie schneiden sich auch.
• Das Gebiet eines Parallelogramms ist zweimal das Gebiet eines durch eine seiner Diagonalen geschaffenen Dreiecks.
• Das Gebiet eines Parallelogramms ist auch dem Umfang des Vektor-Kreuzproduktes von zwei angrenzenden Seiten gleich.
• Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert das Gebiet

.

• Irgendwelcher nichtdegeneriert affine Transformation bringt ein Parallelogramm in ein anderes Parallelogramm.
• Ein Parallelogramm hat Rotationssymmetrie des Auftrags 2 (durch 180 °). Wenn es auch zwei Linien der reflectional Symmetrie dann hat, muss es ein Rhombus oder ein länglicher sein.
• Der Umfang eines Parallelogramms ist 2 (+ b), wo a und b die Längen von angrenzenden Seiten sind.
• Die Summe der Entfernungen von jedem Innenpunkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist der Position des Punkts unabhängig. (Das ist eine Erweiterung des Lehrsatzes von Viviani). Das gegenteilige hält auch: Wenn die Summe der Entfernungen von einem Punkt im Interieur eines Vierseits zu den Seiten der Position des Punkts unabhängig ist, dann ist das Vierseit ein Parallelogramm.

Typen des Parallelogramms

• Rhomboid - Ein Vierseit, dessen Gegenseiten parallel sind und angrenzende Seiten, ist ungleich, und dessen Winkel nicht richtige Winkel sind
• Rechteck - Ein Parallelogramm mit vier Winkeln der gleichen Größe
• Rhombus - Ein Parallelogramm mit vier Seiten der gleichen Länge.
• Quadrat - Ein Parallelogramm mit vier Seiten der gleichen Länge und vier Winkeln der gleichen Größe (richtige Winkel).

Bereichsformeln

• Gebiet K des Parallelogramms nach rechts (das blaue Gebiet) ist das Gesamtgebiet des Rechtecks weniger das Gebiet der zwei Orangendreiecke.

Das:The-Gebiet des Rechtecks ist

::

:and das Gebiet eines einzelnen Orangendreiecks ist

::

:Therefore, das Gebiet des Parallelogramms ist

::

\begin {richten }\aus

K &= A_\text {rect} - 2 \times A_\text {tri} \\

&= \left ((B+A) \times H \right) - \left (ein \times H \right) \\

&= B \times H \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

• Eine andere Bereichsformel, für zwei Seiten B und C und Winkel θ, ist

::

• Das Gebiet eines Parallelogramms mit Seiten B und C (B  C) und Winkel an der Kreuzung der Diagonalen wird durch gegeben

::

Das Gebiet auf dem Koordinatensystem

Lassen Sie Vektoren und lassen Sie zeigen die Matrix mit Elementen von a und b an. Dann ist das Gebiet des Parallelogramms, das durch a und b erzeugt ist, dem gleich.

Lassen Sie Vektoren und lassen Sie Dann das Gebiet des durch a erzeugten Parallelogramms, und b ist dem gleich.

Lassen Sie Punkte. Dann ist das Gebiet des Parallelogramms mit Scheitelpunkten an a, b und c zum absoluten Wert der Determinante einer gebauten Matrix mit a, b und c als Reihen mit der letzten ausgepolsterten Säule mit wie folgt gleichwertig:

:

a_1 & a_2 & 1 \\

b_1 & b_2 & 1 \\

c_1 & c_2 & 1

\end {bmatrix} \right |. </Mathematik>

Beweis, dass Diagonalen einander halbieren

Um zu beweisen, dass die Diagonalen eines Parallelogramms einander halbieren, werden wir kongruente Dreiecke verwenden:

: (wechseln Sie ab Innenwinkel sind im Maß gleich)

: (wechseln Sie ab Innenwinkel sind im Maß gleich).

(da das Winkel sind, dass ein transversal mit parallelen Linien AB und Gleichstrom macht).

Außerdem ist Seite AB ist in der Länge dem Seitengleichstrom seit Gegenseiten eines Parallelogramms gleich, in der Länge gleich.

Deshalb sind Dreiecke ABE und CDE (ASA Postulat, zwei entsprechende Winkel und die eingeschlossene Seite) kongruent.

Deshalb,

::

Seit den Diagonalen teilen AC und BD einander in Segmente der gleichen Länge, die Diagonalen halbieren einander.

Getrennt seit den Diagonalen halbieren AC und BD einander am Punkt E, spitzen an, dass E der Mittelpunkt jeder Diagonale ist.

Siehe auch

• Grundsätzliches Parallelogramm
• Parallelogramm-Gesetz
• Rhombus

Links

• Parallelogramm und Rhombus - Belebter Kurs (Aufbau, Kreisumfang, Gebiet)
• Interaktives Parallelogramm - Seiten, Winkel und Hang
• Gebiet des Parallelogramms an der Knoten-Kürzung
• Gleichseitige Dreiecke Auf Seiten eines Parallelogramms an der Knoten-Kürzung
• Definition und Eigenschaften eines Parallelogramms mit belebtem applet
• Interaktiver applet Vertretung der Parallelogramm-Bereichsberechnung interaktiver applet