In der Geometrie ist ein parallelepiped eine dreidimensionale durch sechs Parallelogramme gebildete Zahl. (Der Begriff Rhomboid wird auch manchmal mit dieser Bedeutung gebraucht.) Analog bezieht es sich auf ein Parallelogramm, wie sich ein Würfel auf ein Quadrat bezieht. In der Euklidischen Geometrie umfasst seine Definition alle vier Konzepte (d. h., parallelepiped, Parallelogramm, Würfel und Quadrat). In diesem Zusammenhang der affine Geometrie, in der Winkel nicht unterschieden werden, lässt seine Definition nur Parallelogramme und parallelepipeds zu. Drei gleichwertige Definitionen von parallelepiped sind

• ein Polyeder mit sechs Gesichtern (hexahedron), von denen jeder ein Parallelogramm, ist
• ein hexahedron mit drei Paaren von parallelen Gesichtern und
• dessen Prisma die Basis ein Parallelogramm ist.

Die rechteckigen cuboid (sechs rechteckige Gesichter), Würfel (sechs Quadratgesichter), und der rhombohedron (sechs Rhombus-Gesichter) sind alle spezifischen Fälle von parallelepiped.

"Parallelepiped" ist jetzt gewöhnlich, oder; traditionell war es in Übereinstimmung mit seiner Etymologie in griechischem παραλληλ-επίπεδον, ein Körper, "parallele Flugzeuge habend".

Parallelepipeds sind eine Unterklasse des prismatoids.

Eigenschaften

Einige der drei Paare von parallelen Gesichtern kann als die Grundflugzeuge des Prismas angesehen werden. Ein parallelepiped hat drei Sätze von vier parallelen Rändern; die Ränder innerhalb jedes Satzes sind der gleichen Länge.

Parallelepipeds ergeben sich aus geradlinigen Transformationen eines Würfels (für die nichtdegenerierten Fälle: die bijektiven geradlinigen Transformationen).

Da jedes Gesicht Punkt-Symmetrie hat, ist ein parallelepiped ein zonohedron. Auch der ganze parallelepiped hat Punkt-Symmetrie C (sieh auch triklin). Jedes Gesicht, ist gesehen von außen, das Spiegelimage des entgegengesetzten Gesichtes. Die Gesichter sind in allgemeinem chiral, aber der parallelepiped ist nicht.

Eine Raumfüllung tessellation ist mit kongruenten Kopien jedes parallelepiped möglich.

Volumen

Das Volumen eines parallelepiped ist das Produkt des Gebiets seiner Basis A und seiner Höhe h. Die Basis ist einige der sechs Gesichter des parallelepiped. Die Höhe ist die rechtwinklige Entfernung zwischen der Basis und dem entgegengesetzten Gesicht.

Eine alternative Methode definiert die Vektoren = (a, a, a), b = (b, b, b) und c = (c, c, c), um drei Ränder zu vertreten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Das Volumen des parallelepiped kommt dann dem absoluten Wert des dreifachen Skalarproduktes a gleich · (b × c):

:

Das ist wahr, weil, wenn wir b und c wählen, um die Ränder der Basis zu vertreten, das Gebiet der Basis definitionsgemäß des Kreuzproduktes ist (sieh geometrische Bedeutung des Kreuzproduktes),

:A = |b |c sündigen θ = |b × c,

wo θ der Winkel zwischen b und c ist, und die Höhe ist

:h = |a weil α,

wo α der innere Winkel zwischen a und h ist.

Von der Zahl können wir ableiten, dass der Umfang von α auf 0 °  α beschränkt wird

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

c_1 & c_2 & c_3

\end {bmatrix} \right |. </Mathematik>

Das wird gefunden, dass Verwenden-Regierung von Cramer auf drei zwei dimensionale aus dem Original gefundene matrices reduziert hat.

Wenn a, b, und c die parallelepiped Rand-Längen und der α, β sind, und γ die inneren Winkel zwischen den Rändern sind, ist das Volumen

:

V = ein b c \sqrt {1+2\cos (\alpha) \cos (\beta) \cos (\gamma)-\cos^2 (\alpha)-\cos^2 (\beta)-\cos^2 (\gamma)}.

</Mathematik>

Entsprechendes Tetraeder

Das Volumen jedes Tetraeders, das drei konvergierende Ränder eines parallelepiped teilt, hat ein Volumen, das einem sechstem vom Volumen davon parallelepiped gleich ist (sieh Beweis).

Spezielle Fälle

Für parallelepipeds mit einem Symmetrie-Flugzeug gibt es zwei Fälle:

• es hat vier rechteckige Gesichter
• es hat zwei rhombische Gesichter, während der anderen Gesichter zwei angrenzende gleich sind und die anderen zwei auch (die zwei Paare jedes Spiegelimage eines anderen sind).

Siehe auch monoklin.

Ein cuboid, auch genannt einen rechteckigen parallelepiped, ist ein parallelepiped, dessen alle Gesichter rechteckig sind; ein Würfel ist ein cuboid mit Quadratgesichtern.

Ein rhombohedron ist ein parallelepiped mit allen rhombischen Gesichtern; ein trigonal trapezohedron ist ein rhombohedron mit kongruenten rhombischen Gesichtern.

Parallelotope

Coxeter hat die Generalisation eines parallelepiped in höheren Dimensionen einen parallelotope genannt.

Spezifisch im n-dimensional Raum wird es n-dimensional parallelotope, oder einfach n-parallelotope genannt. So ist ein Parallelogramm ein 2-parallelotope, und ein parallelepiped ist ein 3-parallelotope.

Die Diagonalen eines n-parallelotope schneiden sich einmal und werden durch diesen Punkt halbiert. Die Inversion in diesem Punkt verlässt das n-parallelotope unveränderte. Siehe auch befestigte Punkte von Isometrie-Gruppen im Euklidischen Raum.

Die Ränder, die von einem Scheitelpunkt eines k-parallelotope ausstrahlen, bilden einen K-Rahmen des Vektorraums, und der parallelotope kann von diesen Vektoren, durch die Einnahme geradliniger Kombinationen der Vektoren, mit Gewichten zwischen 0 und 1 wieder erlangt werden.

Der n-volume eines n-parallelotope hat darin eingebettet, wo mittels der Gramm-Determinante geschätzt werden kann. Wechselweise ist das Volumen die Norm des Außenproduktes der Vektoren:

:

Lexikographie

Das Wort erscheint als parallelipipedon in der Übersetzung von Herrn Henry Billingsley der Elemente von Euklid, veralteter 1570. In der 1644-Ausgabe seines Cursus mathematicus hat Pierre Hérigone die Rechtschreibung parallelepipedum verwendet. Der OED zitiert den heutigen parallelepiped, als zuerst im Veitstanz von Walter Charleton gigantum (1663) erscheinend.

Das Wörterbuch von Charles Hutton (1795) Shows parallelopiped und parallelopipedon, den Einfluss der sich verbindenden Form parallelo-zeigend, als ob das zweite Element pipedon aber nicht epipedon war. Noah Webster (1806) schließt die Rechtschreibung parallelopiped ein. Die 1989-Ausgabe des englischen Wörterbuches von Oxford beschreibt parallelopiped (und parallelipiped) ausführlich als falsche Formen, aber diese werden ohne Anmerkung in der 2004-Ausgabe verzeichnet, und nur Artikulationen mit der Betonung auf dem fünften Silbe-Pi werden gegeben.

Eine Änderung weg von der traditionellen Artikulation hat die verschiedene Teilung verborgen, die durch die griechischen Wurzeln, mit epi-("auf") und pedon ("Boden") angedeutet ist, der sich verbindet, um epiped, ein flaches "Flugzeug" zu geben. So sind die Gesichter eines parallelepiped mit entgegengesetzten Gesichtern planar, die parallel sind.

Referenzen

• Coxeter, H. S. M Regular Polytopes, 3. Hrsg. New York: Dover, p. 122, 1973. (Er definiert parallelotope als eine Generalisation eines Parallelogramms und parallelepiped in N-Dimensionen.)

Links

• Papiermodell parallelepiped (Netz)