Die Tour des Ritters ist ein mathematisches Problem, das einen Ritter auf einem Schachbrett einbezieht. Der Ritter wird auf dem leeren Ausschuss gelegt und, sich ordnungsmäßig vom Schach bewegend, muss jedes Quadrat genau einmal besuchen. Eine Tour eines Ritters wird eine geschlossene Tour genannt, wenn der Ritter auf einem Quadrat endet, das Quadrat angreifend, von dem sie begonnen hat (so dass sie den Vorstands-wieder sofort mit demselben Pfad bereisen kann). Sonst ist die Tour offen. Die genaue Zahl von offenen Touren ist noch unbekannt. Das Schaffen eines Programms, um die Tour des Ritters zu lösen, ist ein Informatik-Studenten gegebenes häufiges Problem. Schwankungen des Tour-Problems des Ritters sind mit Schachbrettern verschiedener Größen verbunden als die üblichen 8 × 8, sowie unregelmäßige (nichtrechteckige) Ausschüsse.

Theorie

Das Tour-Problem des Ritters ist ein Beispiel von mehr Pfad-Problem von General Hamiltonian in der Graph-Theorie. Das Problem, eine Tour eines geschlossenen Ritters zu finden, ist ähnlich ein Beispiel des Zyklus-Problems von Hamiltonian. Bemerken Sie jedoch, dass verschieden vom Pfad-Problem von General Hamiltonian das Tour-Problem des Ritters in der geradlinigen Zeit behoben werden kann.

Geschichte

Die frühsten bekannten Verweisungen auf das Tour-Problem des Ritters gehen auf das 9. Jahrhundert n.Chr. zurück. Das Muster einer Tour eines Ritters auf einer Halbpension ist in der Vers-Form (als eine literarische Einschränkung) im hoch stilisierten sanskritischen Gedicht Kavyalankara präsentiert worden, der vom Indianerdichter des 9. Jahrhunderts Rudrata geschrieben ist, der die Kunst der Dichtung, besonders mit der Beziehung zum Theater (Natyashastra) bespricht. Wie häufig die Praxis in der reich verzierten sanskritischen Dichtung war, hellen die Silbenmuster dieses Gedichtes ein völlig verschiedenes Motiv, in diesem Fall eine Tour eines offenen Ritters auf einem Halbschachbrett auf.

Einer der ersten Mathematiker, um die Tour des Ritters zu untersuchen, war Leonhard Euler. Das erste Verfahren, für die Tour des Ritters zu vollenden, war die Regierung von Warnsdorff, zuerst beschrieben 1823 von H. C. von Warnsdorff.

Im 20. Jahrhundert hat die Gruppe von Oulipo von Schriftstellern es unter vielen anderen verwendet. Das bemerkenswerteste Beispiel ist die Tour des Ritters, die die Ordnung der Kapitel im Roman von Georges Perec schafft. Das sechste Spiel der 2010-Weltschachmeisterschaft zwischen Viswanathan Anand und Veselin Topalov hat Anand gesehen 13 Konsekutivritter-Bewegungen (obgleich mit beiden Rittern) machen - Online-commentors hat gescherzt, dass Anand versuchte, das Tour-Problem des Ritters während des Spiels zu beheben.

Geschlossene Touren

Auf einem Ausschuss gibt es genau 26,534,728,821,064 geleitete geschlossene Touren (d. h. zwei Touren entlang demselben Pfad, die in entgegengesetzten Richtungen reisen, werden getrennt aufgezählt, wie Folgen und Nachdenken sind). Die Zahl von ungeleiteten geschlossenen Touren ist Hälfte dieser Zahl, da jede Tour rückwärts verfolgt werden kann. Es gibt 9,862 ungeleitete geschlossene Touren auf einem Ausschuss. Keine geschlossenen Touren bestehen für kleinere Quadratausschüsse außer dem trivialen Fall (das ist eine Folgeerscheinung des folgenden Lehrsatzes).

Der Lehrsatz von Schwenk

Für jeden Ausschuss mit der M weniger als oder gleich n ist eine Tour eines geschlossenen Ritters immer möglich, wenn ein oder mehr von diesen drei Bedingungen nicht entsprochen werden:

1. M und n sind beide seltsam; M und n sind nicht beide 1
2. m = 1, 2, oder 4; M und n sind nicht beide 1
3. m = 3 und n = 4, 6, oder 8.

Bedingung 1

Man kann zeigen, dass Bedingung 1 geschlossene Touren durch ein einfaches Argument verbietet, das auf der Gleichheit und dem Färben gestützt ist. Für das Standardschwarzweißfärben des Schachbrettes muss sich der Ritter entweder von einem schwarzen Quadrat bis ein weißes Quadrat oder von einem weißen Quadrat bis ein schwarzes Quadrat bewegen. So in einer geschlossenen Tour muss der Ritter dieselbe Zahl von weißen Quadraten wie schwarze Quadrate besuchen, und die Zahl von Quadraten besucht muss deshalb insgesamt gleich sein. Aber wenn M und n beide seltsam sind, ist die Gesamtzahl von Quadraten seltsam. (Zum Beispiel in einem Damebrett gibt es 13 einer Farbe und 12 vom anderen.) Deshalb bestehen geschlossene Touren nicht. Offene Touren können noch (mit Ausnahme vom trivialen Fall) bestehen.

Bedingung 2

Bedingung 2 Staaten, dass, wenn die kürzere Seite von der Länge 1, 2, oder 4 ist, keine geschlossene Tour möglich ist.

Wenn M = 1 oder 2, keine geschlossene Tour möglich ist, weil der Ritter nicht im Stande sein würde, jedes Quadrat (wieder, mit Ausnahme vom trivialen Fall) zu erreichen. Es kann gezeigt werden, dass ein Ausschuss keine geschlossene Tour auch haben kann, indem er ein sich färbendes Argument verwendet.

Der Anfang durch das Annehmen, dass ein Ausschuss eine Tour eines geschlossenen Ritters hat. Lassen Sie, der Satz aller Quadrate zu sein, die schwarz sein würden und alle Quadrate, die weiß sein würden, wenn sie gemäß dem Wechselschwarzweißdamebrett-Schema gefärbt würden. Denken Sie die Zahl am Recht. Definieren Sie, um der Satz von grünen Quadraten und als der Satz von roten Quadraten zu sein. Es gibt eine gleiche Anzahl von roten Quadraten als grüne Quadrate. Bemerken Sie, dass von einem Quadrat im Ritter als nächstes zu einem Quadrat darin springen muss. Und da der Ritter jedes Quadrat einmal besuchen muss, wenn der Ritter auf einem Quadrat darin ist, muss sich zu einem Quadrat im folgenden bewegen (sonst der Ritter wird zu zwei Quadraten in später reisen müssen).

Wenn wir der Tour des hypothetischen Ritters folgen, werden wir einen Widerspruch finden.

1. Das erste Quadrat, zu dem der Ritter geht, wird ein Quadrat sein und. Wenn es nicht ist, schalten wir die Definitionen, und so dass es wahr ist.
2. Das zweite Quadrat muss ein Element der Sätze sein und.
3. Das dritte Quadrat muss ein Element sein und.
4. Das vierte Quadrat muss ein Element der Sätze sein und.
5. Und so weiter.

Hieraus folgt dass gesetzt dieselben Elemente, wie gesetzt, hat, und gehen Sie unter, hat dieselben Elemente, wie gesetzt., Aber das ist offensichtlich nicht wahr, weil das rote und grüne Muster, das oben gezeigt ist, nicht dasselbe als ein Damebrett-Muster ist; der Satz von roten Quadraten ist nicht dasselbe als der Satz von schwarzen Quadraten (oder weiß, was das betrifft).

So war unser über der Annahme falsch und es die Touren keines geschlossenen Ritters für jeden Ausschuss für jeden n gibt.

Bedingung 3

Bedingung 3 kann mit der Sozialarbeit bewiesen werden. Der Versuch, eine Tour eines geschlossenen Ritters auf 3 durch 4, 3 durch 6, oder 3 durch 8 zu bauen, wird zu bestimmtem Misserfolg führen. 3 durch n Ausschüsse mit n sogar und größer als 8 kann gezeigt werden, Touren durch die Induktion (ein sich wiederholendes Muster) geschlossen zu haben.

Alle anderen Fälle

Einfach der Beweis der obengenannten drei Bedingungen beweist den Lehrsatz nicht. Es ist noch erforderlich zu beweisen, dass alle rechteckigen Ausschüsse, die in einer der obengenannten drei Kategorien nicht fallen, die Touren des Ritters geschlossen haben.

Computeralgorithmen

Algorithmen außer der einfachen rohen Gewalt suchen, um zu finden, dass die Tour-Lösungen des Ritters unten besprochen werden. Für einen Stammkunden 8x8 Schachbrett gibt es ungefähr 4×10 mögliche Bewegungsfolgen, und es würde eine unergründliche Zeitdauer nehmen, um durch solch eine Vielzahl von Bewegungen zu wiederholen.

Teilen Sie und überwinden Sie Lösungen

Indem

man den Ausschuss in kleinere Stücke teilt, Touren auf jedem Stück bauend, und die Stücke zusammen flickend, kann man Touren auf den meisten rechteckigen Ausschüssen in der polynomischen Zeit bauen.

Nervennetzwerklösungen

Das Tour-Problem des Ritters leiht auch sich zum lösen durch eine Nervennetzdurchführung. Das Netz wird solch aufgestellt, dass die Bewegung jedes gesetzlichen Ritters durch ein Neuron vertreten wird, und jedes Neuron zufällig initialisiert wird, um entweder "aktiv" oder (Produktion 1 oder 0) mit 1 Andeutung "untätig" zu sein, dass das Neuron ein Teil der Endlösung ist. Jedes Neuron hat auch eine Zustandsfunktion (beschrieben unten), der zu 0 initialisiert wird.

Wenn dem Netz erlaubt wird zu laufen, kann jedes Neuron seinen Staat und Produktion ändern, die auf den Staaten und Produktionen seiner Nachbarn (die Bewegungen des angrenzenden Ritters) gemäß den folgenden Übergang-Regeln gestützt ist:

::

U_ {t+1} (N_ {ich, j}) = U_t (N_ {ich, j}) + 2 - \sum_ {N \in G (N_ {ich, j})} V_t (N)

</Mathematik>::

V_ {t+1} (N_ {ich, j}) = \left\{\

\begin {Reihe} {ll }\

1 & \mbox {wenn }\\, \, U_ {t+1} (N_ {ich, j})> 3 \\

0 & \mbox {wenn }\\, \, U_ {t+1} (N_ {ich, j})

wo getrennte Zwischenräume der Zeit vertritt, der Staat des Neuron-Verbindungsquadrats zum Quadrat ist, die Produktion des Neurons von dazu ist, und der Satz von Nachbarn des Neurons ist.

Obwohl auseinander gehende Fälle möglich sind, sollte das Netz schließlich zusammenlaufen, der vorkommt, wenn kein Neuron seinen Staat von der Zeit dazu ändert. Wenn das Netz zusammenläuft, wird eine Lösung gefunden. Die durch das Netz gefundene Lösung wird entweder eine Tour eines Ritters oder eine Reihe der Touren des zwei oder mehr unabhängigen Ritters innerhalb desselben Ausschusses sein.

Die Regierung von Warnsdorff

Die Regierung von Warnsdorff ist eine heuristische Methode, für eine Tour eines Ritters zu finden. Kurz bewegt man den Ritter gemäß der folgenden Regel: Gehen Sie immer zum Quadrat weiter, von dem der Ritter wenigste vorwärts schreitende Bewegungen haben wird. Wenn wir die Zahl von vorwärts schreitenden Bewegungen für jedes Kandidat-Quadrat natürlich berechnen, zählen wir Bewegungen nicht auf, die jedes bereits besuchte Quadrat wieder besuchen. Es ist natürlich, möglich, zwei oder mehr Wahlen zu haben, für die die Zahl von vorwärts schreitenden Bewegungen gleich ist; es gibt verschiedene Methoden, um solche Bande, einschließlich eines ausgedachten durch Pohl und eines anderen durch das Eichhörnchen und den Ausschuss zu brechen.

Diese Regel kann auch mehr allgemein auf jeden Graphen angewandt werden. In mit dem Graphen theoretischen Begriffen wird jede Bewegung zum angrenzenden Scheitelpunkt mit kleinstem Grad gemacht. Obwohl das Pfad-Problem von Hamiltonian NP-hard im Allgemeinen auf vielen Graphen ist, die in der Praxis vorkommen, ist das heuristisch im Stande, eine Lösung in der geradlinigen Zeit erfolgreich ausfindig zu machen. Die Tour des Ritters ist ein spezieller Fall.

Das heuristische wurde zuerst in "Des Rösselsprungs einfachste und allgemeinste Lösung" von H. C. von Warnsdorff 1823 beschrieben.

Siehe auch

• Abu-Bakr Muhammad ben Yahya als-Suli
• George Koltanowski
• Der Pfad des längsten gerade gelegten Ritters

Referenzen

Außenverbindungen

• Die Regierung von Warnsdorff und seine Leistungsfähigkeit von der Regel-Webseite von Warnsdorff
• Die Tour des Ritters bemerkt
• warnsdorff.com - Seite, die der Regierung von Warnsdorff gewidmet ist

Durchführungen

• Die Tour des Ritters durch Jay Warendorff, Wolfram-Demonstrationsprojekt
• Eine Durchführung in

C#

• Die Touren des Ritters mit einem Nervennetzprogramm, das Touren mit einem Nervennetz plus die Galerie von Images schafft.
• Eine interaktive Version in JavaScript
• Die Tour des Ritters in der Form von jQuery Steck-
• Ritter-Überfall für den OS Androiden