In der Mathematik ist eine Algebra über ein Feld ein mit einem bilinearen Vektorprodukt ausgestatteter Vektorraum. Das heißt, ist es

eine algebraische Struktur, die aus einem Vektorraum zusammen mit einer Operation, gewöhnlich genannter Multiplikation besteht, die irgendwelche zwei Vektoren verbindet, um einen dritten Vektoren zu bilden; um sich als eine Algebra zu qualifizieren, muss diese Multiplikation bestimmte Vereinbarkeitsaxiome mit der gegebenen Vektorraum-Struktur wie distributivity befriedigen. Mit anderen Worten ist eine Algebra über ein Feld ein Satz zusammen mit Operationen der Multiplikation, Hinzufügung und Skalarmultiplikation durch Elemente des Feldes.

Man kann diesen Begriff verallgemeinern, indem man das Feld von Skalaren durch einen Ersatzring ersetzt, und so eine Algebra über einen Ring definiert.

Bemerken Sie, dass, während einige Autoren den Begriff "Algebra" gebrauchen können, um einen unital "assoziative Algebra" zu beschreiben, das für diesen Artikel nicht der Fall sein wird.

Definition und Motivation

Das erste Beispiel: Die komplexen Zahlen

Jede komplexe Zahl kann + bi geschrieben werden, wo a und b reelle Zahlen sind und ich die imaginäre Einheit bin. Mit anderen Worten wird eine komplexe Zahl durch den Vektoren (a, b) über das Feld von reellen Zahlen vertreten. So bilden die komplexen Zahlen einen zweidimensionalen echten Vektorraum, wo Hinzufügung durch (a, b) + (c, d) = gegeben wird (+ c, b + d) und Skalarmultiplikation durch c (a, b) = gegeben wird (ca, CB), wo alle a, b, c und d reelle Zahlen sind. Wir verwenden das Symbol · zwei Vektoren zusammen zu multiplizieren, die wir komplizierte Multiplikation verwenden, um zu definieren: (a, b) · (c, d) = (ac  bd, Anzeige + bc).

Die folgenden Behauptungen sind grundlegende Eigenschaften der komplexen Zahlen. Lassen Sie x, y, z komplexe Zahlen sein, und a, b reelle Zahlen zu sein.

:* (x + y) · z = (x · z) + (y · z). Mit anderen Worten, eine komplexe Zahl mit der Summe von zwei anderen komplexen Zahlen multiplizierend, ist dasselbe als das Multiplizieren mit jeder Zahl in der Summe und dann Hinzufügen.

:* (Axt) · (durch) = (ab) (x · y). Das zeigt, dass komplizierte Multiplikation mit der Skalarmultiplikation durch die reellen Zahlen vereinbar ist.

Dieses Beispiel baut die folgende Definition durch die Einnahme Feldes K ein, um die reellen Zahlen und der Vektorraum zu sein, um die komplexen Zahlen zu sein.

Definition

Lassen Sie K ein Feld sein, und A ein Vektorraum über K sein zu lassen, der mit einer zusätzlichen binären Operation von &times ausgestattet ist; zu A, angezeigt hier dadurch · (d. h. wenn x und y irgendwelche zwei Elemente von A, x sind · y ist das Produkt von x und y). Dann ist A eine Algebra über K, wenn die folgende Identität für irgendwelche drei Elemente x, y, und z von A und alle Elemente ("Skalare") a und b von K hält:

• Verlassener distributivity: (x + y) · z = x · z + y · z
• Recht distributivity: x · (y + z) = x · y + x · z
• Vereinbarkeit mit Skalaren: (Axt) · (durch) = (ab) (x · y).

Diese drei Axiome sind eine andere Weise zu sagen, dass die binäre Operation bilinear ist. Eine Algebra über K wird manchmal auch eine K-Algebra genannt, und K wird das Grundfeld von A genannt. Die binäre Operation wird häufig Multiplikation in A genannt. Die in diesem Artikel angenommene Tagung besteht darin, dass die Multiplikation von Elementen einer Algebra nicht notwendigerweise assoziativ ist, obwohl einige Autoren den Begriff Algebra gebrauchen, um sich auf eine assoziative Algebra zu beziehen.

Bemerken Sie, dass, wenn eine binäre Operation auf einem Vektorraum, als im obengenannten Beispiel der komplexen Zahlen auswechselbar ist, es verteilend genau verlassen wird, wenn es verteilend richtig ist. Aber im Allgemeinen, für Nichtersatzoperationen (wie das folgende Beispiel des quaternions), sind sie nicht gleichwertig, und verlangen deshalb getrennte Axiome.

Ein Motivieren-Beispiel: quaternions

Die reellen Zahlen können als ein dimensionaler Vektorraum mit einer vereinbaren Multiplikation, und folglich eine dimensionale Algebra über sich angesehen werden. Wir haben darüber gesehen die komplexen Zahlen bilden einen zwei dimensionalen Vektorraum über das Feld von reellen Zahlen, und bilden folglich eine zwei Dimensionsalgebra über den reals. In beiden diesen Beispielen hat jeder Nichtnullvektor ein Gegenteil. Es ist natürlich zu fragen, ob man eine Multiplikation auf einem dreidimensionalen echten solchem Vektorraum ähnlich definieren kann, dass jedes Nichtnullelement ein Gegenteil hat. Die Antwort ist nicht (sieh normed Abteilungsalgebra).

Obwohl es keine Abteilungsalgebra in 3 Dimensionen 1843 gibt, wurden die quaternions definiert und das jetzt berühmte 4 dimensionale Beispiel einer Algebra über die reellen Zahlen zur Verfügung gestellt, wo man Vektoren nicht nur multiplizieren, sondern auch sich teilen kann. Jeder quaternion kann als (a, b, c, d) = + bi + cj + dk geschrieben werden. Verschieden von den komplexen Zahlen sind die quaternions ein Beispiel einer Nichtersatzalgebra: zum Beispiel, (0,1,0,0) · (0,0,1,0) = (0,0,0,1), aber (0,0,1,0) · (0,1,0,0) = (0,0,0,-1).

Den quaternions wurde bald von mehreren anderen Systemen der hyperkomplexen Zahl gefolgt, die die frühen Beispiele von Algebra über ein Feld waren.

Grundlegende Konzepte

Algebra-Homomorphismus

Gegebene K-Algebra A und B, ein K-Algebra-Homomorphismus ist eine K-linear Karte f: Ein  B solch dass f (xy) = f (x) f (y) für den ganzen x, y in A. Der Raum des ganzen K-Algebra-Homomorphismus wird oft als geschrieben

:

Ein K-Algebra-Isomorphismus ist eine bijektive K-Algebra morphism. Zu allen praktischen Zwecken unterscheiden sich isomorphe Algebra nur durch die Notation.

Subalgebra und Ideale

Eine Subalgebra einer Algebra über Feld K, ist ein geradliniger Subraum, der das Eigentum hat, dass das Produkt irgendwelcher zwei seiner Elemente wieder im Subraum ist. Mit anderen Worten ist eine Subalgebra einer Algebra eine Teilmenge von Elementen, die unter der Hinzufügung, Multiplikation und Skalarmultiplikation geschlossen wird. In Symbolen sagen wir, dass eine Teilmenge L einer K-Algebra A eine Subalgebra ist, wenn für jeden x, y in L und c in K, wir das x haben · y, x + y, und cx sind alle in L.

Im obengenannten Beispiel der komplexen Zahlen, die als eine zweidimensionale Algebra über die reellen Zahlen angesehen sind, ist die eindimensionale echte Linie eine Subalgebra.

Ein linkes Ideal einer K-Algebra ist ein geradliniger Subraum, der das Eigentum hat, dass jedes Element des Subraums multipliziert links mit jedem Element der Algebra ein Element des Subraums erzeugt. In Symbolen sagen wir, dass eine Teilmenge L einer K-Algebra A ein linkes Ideal ist, wenn für jeden x und y in L, z in A und c in K, wir die folgenden drei Behauptungen haben.

• 1) x + ist y in L (L wird unter der Hinzufügung geschlossen),
• 2) cx ist in L (L wird unter der Skalarmultiplikation geschlossen),
• 3) z · x ist in L (L wird unter der linken Multiplikation durch willkürliche Elemente geschlossen).

Wenn (3) durch x ersetzt wurden · z ist in L, dann würde das ein richtiges Ideal definieren. Ein zweiseitiges Ideal ist eine Teilmenge, die sowohl ein linker als auch ein richtiges Ideal ist. Der Begriff Ideal wird gewöhnlich selbstständig genommen, um ein zweiseitiges Ideal zu bedeuten. Natürlich, wenn die Algebra dann auswechselbar ist, sind alle diese Begriffe des Ideales gleichwertig. Bemerken Sie, dass Bedingungen (1) und (2) zusammen zu L gleichwertig sind ein geradliniger Subraum von A zu sein. Es folgt aus Bedingung (3), dass jedes linke oder richtige Ideal eine Subalgebra ist.

Es ist wichtig zu bemerken, dass diese Definition von der Definition eines Ideales eines Rings verschieden ist, darin hier verlangen wir die Bedingung (2). Natürlich, wenn die Algebra unital ist, dann bezieht Bedingung (3) Bedingung (2) ein.

Erweiterung von Skalaren

Wenn wir eine Felderweiterung F/K haben, der ein größeres Feld F sagen soll, das K enthält, dann gibt es eine natürliche Weise, eine Algebra über F von jeder Algebra über K zu bauen. Es ist derselbe Aufbau, den man verwendet, um einen Vektorraum über ein größeres Feld, nämlich das Tensor-Produkt zu machen. So, wenn A eine Algebra über K ist, dann eine Algebra über F ist.

Arten von Algebra und Beispielen

Algebra über Felder kommen in vielen verschiedenen Typen. Diese Typen werden angegeben, indem sie auf einigen weiteren Axiomen, wie commutativity oder associativity der Multiplikationsoperation beharrt wird, die in der breiten Definition einer Algebra nicht erforderlich sind. Die Theorien entsprechend den verschiedenen Typen von Algebra sind häufig sehr verschieden.

Algebra von Unital

Eine Algebra ist unital oder einheitlich, wenn es eine Einheit oder Identitätselement I mit Ix = x = xI für den ganzen x in der Algebra hat.

Nullalgebra

Eine Algebra wird Nullalgebra wenn uv = 0 für den ganzen u, v in der Algebra genannt. Mit der Algebra mit einem Element nicht verwirrt zu sein. Es ist von Natur aus non-unital (außer im Fall von nur einem Element), assoziativ und auswechselbar.

Man kann eine unital Nullalgebra definieren, indem man die direkte Summe von Modulen eines Feldes (oder mehr allgemein ein Ring) k und ein k Vektorraum (oder Modul) V nimmt, und das Produkt von zwei Elementen V definiert, um Null zu sein. D. h. wenn λ, μ  k und u, v  V dann (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv +μu). Wenn e... e eine Basis V ist, ist die unital Nullalgebra der Quotient des polynomischen Rings k [E..., E] durch das Ideal, das durch den EE für jedes Paar (ich, j) erzeugt ist.

Ein Beispiel der unital Nullalgebra ist die Algebra von Doppelzahlen, die die unital Algebra der Null R ist, die von einem dimensionalem echtem Vektorraum gebaut wird.

Diese unital Nullalgebra können allgemein nützlicher sein, weil sie erlauben, jedes allgemeine Eigentum der Algebra zu Eigenschaften von Vektorräumen oder Modulen zu übersetzen. Zum Beispiel wurde die Theorie von Basen von Gröbner von Bruno Buchberger für Ideale in einem polynomischen Ring R=k [x..., x] über ein Feld eingeführt. Der Aufbau der unital Nullalgebra über ein freies R Modul erlaubt, direkt diese Theorie als eine Basistheorie von Gröbner für U-Boot-Module eines freien Moduls zu erweitern. Diese Erweiterung erlaubt, für eine Basis von Gröbner eines Untermoduls zu schätzen, ohne jede Modifizierung, jeden Algorithmus und jede Software zu verwenden, für Basen von Gröbner von Idealen zu schätzen.

Assoziative Algebra

• die Algebra des ganzen n-by-n matrices über das Feld (oder Ersatzring) K. Hier ist die Multiplikation gewöhnliche Matrixmultiplikation.
• Gruppenalgebra, wo eine Gruppe als eine Basis des Vektorraums und der Algebra-Multiplikation dient, erweitern Gruppenmultiplikation.
• die Ersatzalgebra K [x] aller Polynome über K.
• Algebra von Funktionen, wie die R-Algebra aller reellwertigen dauernden Funktionen, die auf dem Zwischenraum [0,1] oder die C-Algebra aller Holomorphic-Funktionen definiert sind, auf einem festen offenen Satz im komplizierten Flugzeug definiert. Diese sind auch auswechselbar.

Auf

• Vorkommen-Algebra werden auf bestimmten teilweise bestellten Sätzen gebaut.
• Algebra von geradlinigen Maschinenbedienern, zum Beispiel auf einem Raum von Hilbert. Hier wird die Algebra-Multiplikation durch die Zusammensetzung von Maschinenbedienern gegeben. Diese Algebra tragen auch eine Topologie; viele von ihnen werden auf einem zu Grunde liegenden Banachraum definiert, der sie in Algebra von Banach verwandelt. Wenn eine Involution ebenso gegeben wird, herrschen wir B*-algebras und C*-algebras vor. Diese werden in der Funktionsanalyse studiert.

Nichtassoziative Algebra

Eine nichtassoziative Algebra (oder verteilende Algebra) über Feld K sind ein K-Vektorraum Ein ausgestatteter mit einer K-Bilinear-Karte. Der Gebrauch von "nichtassoziativen" hier wird gemeint, um das zu befördern, associativity wird nicht angenommen, aber es bedeutet nicht, dass es verboten wird. D. h. es bedeutet "nicht notwendigerweise assoziativ" so "nichtauswechselbar" bedeutet "nicht notwendigerweise auswechselbar".

Im Hauptartikel ausführlich berichtete Beispiele schließen ein:

• Octonions
• Lügen Sie Algebra
• Algebra von Jordan
• Alternative Algebra
• Flexible Algebra
• Mit der Macht assoziative Algebra

Algebra und Ringe

Die Definition einer assoziativen K-Algebra mit der Einheit wird auch oft auf eine alternative Weise gegeben. In diesem Fall ist eine Algebra über Feld K ein Ring zusammen mit einem Ringhomomorphismus

:

wo Z (A) das Zentrum von A ist. Da η ein Ring morphism ist, dann muss man haben, entweder dass A der triviale Ring ist, oder dass η injective ist. Diese Definition ist dazu oben, mit der Skalarmultiplikation gleichwertig

:

gegeben durch

:

In Anbetracht zwei solcher assoziativen unital K-Algebra A und B, eine unital K-Algebra morphism f: Ein  B ist ein Ring morphism, der mit der Skalarmultiplikation pendelt, die durch η definiert ist, den als schreiben kann

:

für alle und. Mit anderen Worten pendelt das folgende Diagramm:

:

&& K && \\

& \eta_A \swarrow & \, & \eta_B \searrow & \\

&& \begin {Matrix} f \\\longrightarrow \end {Matrix} && B

\end {Matrix} </Mathematik>

Struktur-Koeffizienten

Für Algebra über ein Feld, die bilineare Multiplikation von &times; zu A wird durch die Multiplikation von Basiselementen von A völlig bestimmt.

Umgekehrt, sobald eine Basis für A gewählt worden ist, können die Produkte von Basiselementen willkürlich gesetzt, und dann auf eine einzigartige Weise einem bilinearen Maschinenbediener auf A erweitert werden, d. h., so befriedigt die resultierende Multiplikation die Algebra-Gesetze.

So, in Anbetracht Feldes K, kann jede Algebra bis zum Isomorphismus durch das Geben seiner Dimension angegeben werden (sagen Sie n), und das Spezifizieren n Struktur-Koeffizienten c, die Skalare sind.

Diese Struktur-Koeffizienten bestimmen die Multiplikation in über die folgende Regel:

:

wo e..., e eine Basis von A bilden.

Die einzige Voraussetzung an die Struktur-Koeffizienten ist, dass, wenn die Dimension n unendlich ist, dann muss diese Summe immer zusammenlaufen (in beliebigem Sinn ist für die Situation passend).

Bemerken Sie jedoch, dass mehrere verschiedene Sätze von Struktur-Koeffizienten isomorphe Algebra verursachen können.

Wenn die Algebra mit einem metrischen ausgestattet sein kann, dann werden die Struktur-Koeffizienten mit oberen und niedrigeren Indizes geschrieben, um ihre Transformationseigenschaften unter Koordinatentransformationen zu unterscheiden. Spezifisch sind niedrigere Indizes kovariante Indizes, und verwandeln sich über Hemmnisse, während obere Indizes Kontravariante sind, sich unter pushforwards verwandelnd. So, in der mathematischen Physik, werden die Struktur-Koeffizienten häufig c geschrieben, und ihre Definieren-Regel wird mit der Notation von Einstein als geschrieben

: ee = ce.

Wenn Sie das auf in der Index-Notation geschriebene Vektoren anwenden, dann wird das

: (xy) = cxy.

Wenn K nur ein Ersatzring und nicht ein Feld ist, dann arbeitet derselbe Prozess, wenn A ein freies Modul über K ist. Wenn es nicht ist, dann wird die Multiplikation noch durch seine Handlung auf einem Satz völlig bestimmt, der A abmisst; jedoch können die Struktur-Konstanten nicht willkürlich in diesem Fall, und das Wissen angegeben werden, dass nur die Struktur-Konstanten die Algebra bis zum Isomorphismus nicht angeben.

Klassifikation von niedrig-dimensionalen Algebra

Zweidimensionale, dreidimensionale und vierdimensionale unital assoziative Algebra über das Feld von komplexen Zahlen wurden bis zum Isomorphismus von Eduard Study völlig klassifiziert.

Dort bestehen Sie zwei zweidimensionale Algebra. Jede Algebra besteht aus geradlinigen Kombinationen (mit komplizierten Koeffizienten) zwei Basiselemente, 1 (das Identitätselement) und a. Gemäß der Definition eines Identitätselements,

:

Es muss, anzugeben

: für die erste Algebra,

: für die zweite Algebra.

Dort bestehen Sie fünf dreidimensionale Algebra. Jede Algebra besteht aus geradlinigen Kombinationen von drei Basiselementen, 1 (das Identitätselement), a und b. Die Definition eines Identitätselements in Betracht ziehend, ist es genügend, anzugeben

: für die erste Algebra,

: für die zweite Algebra,

: für die dritte Algebra,

: für die vierte Algebra,

: für die fünfte Algebra.

Die vierte Algebra ist nichtauswechselbar, andere sind auswechselbar.

Siehe auch

• Algebra von Clifford
• Differenzialalgebra
• Geometrische Algebra
• Max-plus Algebra

Referenzen

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Band 1. 2004. Springer, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0