In der analytischen Mathematik sind die Identität von Euler (auch bekannt als die Gleichung von Euler), genannt für den schweizerisch-deutschen Mathematiker Leonhard Euler, die Gleichheit

:wo

: ist die Zahl von Euler, die Basis von natürlichen Logarithmen,

: ist die imaginäre Einheit, die = 1, und befriedigt

: ist Pi, das Verhältnis des Kreisumfangs eines Kreises zu seinem Diameter.

Mathematische Schönheit

Wie man

betrachtet, ist die Identität von Euler von vielen für seine mathematische Schönheit bemerkenswert. Diese drei grundlegenden arithmetischen Operationen kommen genau einmal jeder vor: Hinzufügung, Multiplikation und exponentiation. Die Identität verbindet auch fünf grundsätzliche mathematische Konstanten:

• Die Nummer 0, die zusätzliche Identität.
• Die Nummer 1, die multiplicative Identität.
• Die Zahl, die in der Trigonometrie, der Geometrie des Euklidischen Raums und analytischen Mathematik (= 3.14159265...) allgegenwärtig

ist

• Die Zahl, die Basis von natürlichen Logarithmen, die weit in der mathematischen und wissenschaftlichen Analyse (= 2.718281828...) vorkommt. Beide und e sind transzendente Zahlen.
• Die Zahl, die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen, ein Feld von Zahlen, das die Wurzeln aller Polynome enthält (die nicht Konstanten sind), und dessen Studie zu tieferen Einblicken in viele Gebiete der Algebra und Rechnung wie Integration in der Rechnung führt.

Außerdem, in der Algebra und den anderen Gebieten der Mathematik, werden Gleichungen mit der Null auf einer Seite des Gleichheitszeichens allgemein geschrieben.

Eine Wahl von durch Die Zeitschrift Mathematical Intelligencer geführten Lesern hat die Identität von Euler als der "schönste Lehrsatz in der Mathematik" genannt. Eine andere Wahl von Lesern, die durch die Zeitschrift Physics World 2004 geführt wurde, hat die Identität von Euler gewählt, die mit den Gleichungen von Maxwell (des Elektromagnetismus) als die "größte Gleichung jemals" gebunden ist.

Ein komplettes 400-seitiges Mathematik-Buch, die Fabelhafte Formel von Dr Euler (veröffentlicht 2006), geschrieben von Dr Paul Nahin (ein Professor, der an der Universität New Hampshire emeritiert ist), wird der Identität von Euler gewidmet. Diese Monografie stellt fest, dass die Identität von Euler "die Goldwährung für die mathematische Schönheit setzt."

Constance Reid hat behauptet, dass die Identität von Euler "die berühmteste Formel in der ganzen Mathematik war."

Wie man

berichtete, hatte der Mathematiker Carl Friedrich Gauss dass kommentiert, wenn diese Formel für einen Studenten darauf nicht sofort offenbar war, davon erzählt zu werden, dass Student ein erstklassiger Mathematiker nie sein würde.

Nach dem Beweis der Identität von Euler während eines Vortrags hat Benjamin Peirce, ein bekannter amerikanischer Philosoph/Mathematiker des 19. Jahrhunderts und ein Professor an der Universität von Harvard, festgestellt, dass "Es absolut paradox ist; wir können es nicht verstehen, und wir wissen nicht, was es bedeutet, aber wir haben es bewiesen, und deshalb wir wissen, dass es die Wahrheit sein muss."

Universitätsmathematik-Professor von Stanford Dr Keith Devlin hat gesagt, "Wie ein Shakespearisches Sonett, das die wirkliche Essenz der Liebe gewinnt, oder eine Malerei, die die Schönheit der menschlichen Form herausbringt, die weit mehr als die gerade Haut tief ist, reicht die Gleichung von Euler unten in die wirklichen Tiefen der Existenz."

Erklärung

Die Identität ist ein spezieller Fall der Formel von Euler von der komplizierten Analyse, die das festsetzt

:

für jede reelle Zahl. (Bemerken Sie, dass die Argumente für den trigonometrischen Funktionssinus und Kosinus genommen werden, um in radians, und nicht in Graden zu sein.) Insbesondere mit, oder eine Hälfte drehen den Kreis um:

:

Seitdem

:

und

:

hieraus folgt dass

:

der die Identität gibt

:

Generalisationen

Die Identität von Euler ist auch ein spezieller Fall der allgemeineren Identität, auf die sich die n-ten Wurzeln der Einheit, für n> 1, 0 belaufen:

:

Die Identität von Euler ist wo = 2 der Fall.

In einem anderen Feld der Mathematik, indem man quaternion exponentiation verwendet, kann man zeigen, dass eine ähnliche Identität auch für quaternions gilt. Lassen Sie {mich, j, k}, die Basiselemente, dann, zu sein

:

Im Allgemeinen, in Anbetracht des echten ein solcher dass, dann,

:

Für octonions, mit dem echten ein solcher dass und die octonion Basiselemente {ich, ich..., ich}, dann,

:

Zuweisung

Während Euler über seine Formel geschrieben hat, die sich mit dem Kosinus und den Sinus-Begriffen im Feld von komplexen Zahlen bezieht, gibt es keine bekannte Aufzeichnung des wirklichen Angebens oder des Abstammens von Euler der vereinfachten Identitätsgleichung selbst. Außerdem war die Formel von Euler wahrscheinlich vor dem Leben von Euler bekannt.

Siehe auch

• Die Formel von De Moivre
• Exponentialfunktion
• Der unveränderliche von Gelfond

Referenzen

• Falte, Robert P., "Die größten Gleichungen jemals", PhysicsWeb, Oktober 2004 (Registrierung erforderlich).
• Falte, Robert P. "Gleichungen als Ikonen," PhysicsWeb, März 2007 (Registrierung erforderlich).
• Derbyshire, J. Hauptobsession: Bernhard Riemann und das Größte Ungelöste Problem in der Mathematik (New York: Pinguin, 2004).
• Kasner, E., und Newman, J., Mathematik und die Einbildungskraft (Simon & Schuster, 1940).
• Maor, Eli, e: Die Geschichte einer Zahl (Universität von Princeton Presse, 1998). Internationale Standardbuchnummer 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J., die Fabelhafte Formel von Dr Euler: Heilmittel Viele Mathematische Erkrankungen (Universität von Princeton Presse, 2006). Internationale Standardbuchnummer 978-0-691-11822-2
• Reid, Constance, Von der Null bis Unendlichkeit (Mathematische Vereinigung Amerikas, verschiedener Ausgaben).
• Sandifer, Hrsg., "die Größten Erfolge von Euler", MAA Online, Februar 2007.

Links

• Ganze Abstammung der Identität von Euler
• Das intuitive Verstehen der Formel von Euler