In der Mathematik paart sich Komplex sind ein Paar von komplexen Zahlen, denselben echten Teil, aber mit imaginären Teilen des gleichen Umfangs als auch entgegengesetzte Zeichen sowohl zu haben. Zum Beispiel, 3 + 4i und 3 − 4i sind kompliziert paart sich.

Die verbundene von der komplexen Zahl

wo und reelle Zahlen sind, ist

Zum Beispiel,

:

Eine alternative Notation für den verbundenen Komplex ist. Jedoch vermeidet die Notation, dass die Verwirrung mit der Notation für das verbundene einer Matrix umstellt, von der als eine Generalisation der komplizierten Konjugation gedacht werden kann. Die Sternnotation wird in der Physik bevorzugt, während die Bar-Notation in der reinen Mathematik üblicher ist. Wenn eine komplexe Zahl als 2×2 Matrix vertreten wird, sind die Notationen identisch.

Komplexe Zahlen werden als Punkte im komplizierten Flugzeug, einer Schwankung des Kartesianischen Koordinatensystems betrachtet, wo beide Äxte Linien der reellen Zahl sind, die sich am Ursprung, jedoch, treffen - Achse ist ein Produkt von reellen Zahlen, die mit +/-multipliziert sind. Auf der Illustration - wird Achse die echte Achse genannt, hat Re etikettiert, während - Achse die imaginäre Achse genannt wird, hat Im etikettiert. Das durch die Äxte von Re und Im definierte Flugzeug vertritt den Raum aller möglichen komplexen Zahlen. In dieser Ansicht entspricht komplizierte Konjugation Nachdenken einer komplexen Zahl an der X-Achse, die zu einer Grad-Folge des komplizierten Flugzeugs über die Achse von Re gleichwertig ist.

In der polaren Form ist der verbundene davon. Das kann mit der Formel von Euler gezeigt werden.

Paare des Komplexes paaren sich sind bedeutend, weil die imaginäre Einheit von seinem Zusatz und multiplicative Gegenteil qualitativ undeutlich ist, weil sie beide die Definition für die imaginäre Einheit befriedigen:. So in den meisten "natürlichen" Einstellungen, wenn eine komplexe Zahl eine Lösung eines Problems, so sein verbundenes, solchen zur Verfügung stellt, das für komplizierte Lösungen der quadratischen Formel mit echten Koeffizienten der Fall ist.

Eigenschaften

Diese Eigenschaften bewerben sich um alle komplexen Zahlen z und w, wenn nicht festgesetzt, sonst, und können durch das Schreiben z und w in der Form + ib leicht bewiesen werden.

: (bemerken Sie die umgekehrten Argumente, wenn z und w nicht pendeln)

: wenn, und nur wenn z echter ist

: für jede ganze Zahl n

: Involution (d. h. ist der verbundene von den verbundenen von einer komplexen Zahl z wieder diese Zahl)

: