Im Zweig der Mathematik, die als echte Analyse, der Riemann bekannt ist, der integriert, von Bernhard Riemann geschaffen ist, war die erste strenge Definition des Integrals einer Funktion auf einem Zwischenraum. Der integrierte Riemann ist zu vielen theoretischen Zwecken unpassend. Für sehr viele Funktionen und praktische Anwendungen kann der integrierte Riemann auch sogleich bewertet werden, indem er den Hauptsatz der Rechnung oder (ungefähr) durch die numerische Integration verwendet.

Einige der technischen Mängel in der Integration von Riemann können vom Riemann-Stieltjes integriert behoben werden, und die meisten von diesen verschwinden mit integriertem Lebesgue.

Übersicht

Lassen Sie, eine nichtnegative reellwertige Funktion des Zwischenraums zu sein und zu lassen

:

Die Grundidee des integrierten Riemanns ist, sehr einfache Annäherungen für das Gebiet Durch die Einnahme besser und bessere Annäherungen zu verwenden, wir können sagen, dass "in der Grenze" wir genau das Gebiet unter der Kurve bekommen.

Bemerken Sie, dass, wo ƒ sowohl positiv als auch negativ sein kann, das Integral zum unterzeichneten Gebiet unter dem Graphen von ƒ entspricht; d. h. das Gebiet über der X-Achse minus das Gebiet unter der X-Achse.

Definition

Teilungen eines Zwischenraums

Eine Teilung eines Zwischenraums ist eine begrenzte Folge von Zahlen der Form

:

Jeder [x, x] wird einen Subzwischenraum der Teilung genannt. Das Ineinandergreifen oder die Norm einer Teilung werden definiert, um die Länge des längsten Subzwischenraums zu sein, der, ist

:

wo 0  i  n − 1. Eine markierte Teilung eines Zwischenraums [a, b] ist eine Teilung zusammen mit einer begrenzten Folge von Zahlen t..., t Thema den Bedingungen das für jeden ich, x  t  x. Mit anderen Worten ist es eine Teilung zusammen mit einem ausgezeichneten Punkt jedes Subzwischenraums. Das Ineinandergreifen einer markierten Teilung ist dasselbe als diese einer gewöhnlichen Teilung.

Nehmen Sie an, dass zwei Teilungen und beide Teilungen des Zwischenraums [a, b] sind. Wir sagen, dass das eine Verbesserung dessen ist, wenn für jede ganze Zahl i mit 0  i  n dort eine ganze Zahl r (i) solch bestehen, dass x = y und solch dass t = s für einen j mit r (i)  j, der auf dem Zwischenraum definiert wird. Die Summe von Riemann in Bezug auf die markierte Teilung zusammen damit ist:

:

Jeder Begriff in der Summe ist das Produkt des Werts der Funktion an einem gegebenen Punkt und die Länge eines Zwischenraums. Folglich vertritt jeder Begriff das Gebiet eines Rechtecks mit der Höhe und Breite. Die Summe von Riemann ist das unterzeichnete Gebiet unter allen Rechtecken.

Integrierter Riemann

Lose sprechend, ist der integrierte Riemann die Grenze der Summen von Riemann einer Funktion, weil die Teilungen feiner werden. Wenn die Grenze dann besteht, wie man sagt, ist die Funktion integrable (oder mehr spezifisch Riemann-Integrable). Die Summe von Riemann kann so nah gemacht werden wie gewünscht dem integrierten Riemann durch das Bilden der Teilung fein genug.

Eine wichtige Tatsache ist, dass das Ineinandergreifen der Teilungen kleiner und kleiner werden muss, so dass in der Grenze es Null ist. Wenn das nicht so wäre, dann würden wir keine gute Annäherung an die Funktion auf bestimmten Subzwischenräumen bekommen. Tatsächlich ist das genug, um ein Integral zu definieren. Um spezifisch zu sein, sagen wir, dass der von ƒ integrierte Riemann s gleichkommt, wenn die folgende Bedingung hält:

:For alle ε> 0, dort besteht δ> 0 solches dass für jede markierte Teilung, und dessen Ineinandergreifen weniger ist als δ wir haben

:

Jedoch gibt es ein unglückliches Problem mit dieser Definition: Es ist sehr schwierig, damit zu arbeiten. So werden wir eine abwechselnde Definition des Riemanns integriert machen, der leichter ist, zu arbeiten mit, dann zu beweisen, dass es dasselbe als die Definition ist, haben wir gerade gemacht. Unsere neue Definition sagt, dass der von ƒ integrierte Riemann s gleichkommt, wenn die folgende Bedingung hält:

:For alle ε> 0, dort besteht eine markierte Teilung und solch, dass für jede Verbesserung und und wir haben

::

Beide von diesen bedeuten, dass schließlich die Summe von Riemann von ƒ in Bezug auf jede Teilung in der Nähe von s gefangen wird. Da das wahr ist, egal wie nahe wir fordern, dass die Summen gefangen werden, sagen wir, dass der Riemann resümiert, laufen zu s zusammen. Diese Definitionen sind wirklich ein spezieller Fall eines mehr Gesamtkonzeptes, eines Netzes.

Wie wir früher festgestellt haben, sind diese zwei Definitionen gleichwertig. Mit anderen Worten arbeitet s in der ersten Definition, wenn, und nur wenn s in der zweiten Definition arbeitet. Um zu zeigen, dass die erste Definition das zweite einbezieht, fangen Sie mit einem ε an, und wählen Sie einen δ, der die Bedingung befriedigt. Wählen Sie jede markierte Teilung, deren Ineinandergreifen weniger ist als δ. Seine Summe von Riemann ist innerhalb von ε von s, und jede Verbesserung dieser Teilung wird auch Ineinandergreifen weniger haben als δ, so wird die Summe von Riemann der Verbesserung auch innerhalb von ε von s sein. Um zu zeigen, dass die zweite Definition das erste einbezieht, ist es am leichtesten, integrierten Darboux zu verwenden. Zuerst zeigt man, dass die zweite Definition zur Definition von integriertem Darboux gleichwertig ist; weil das den Artikel über die Integration von Darboux sieht. Jetzt werden wir zeigen, dass eine Funktion von Darboux integrable die erste Definition befriedigt. Befestigen Sie ε, und wählen Sie eine solche Teilung, dass die niedrigeren und oberen Summen von Darboux in Bezug auf diese Teilung innerhalb von ε/2 des Werts s vom integrierten Darboux sind. Lassen Sie r gleich das Supremum | (x) ƒ | auf [a, b]. Wenn r = 0, dann ist ƒ die Nullfunktion, die klar sowohl Darboux als auch Riemann integrable mit der integrierten Null ist. Deshalb werden wir das r> 0 annehmen. Wenn m> 1, dann wählen wir δ, um weniger zu sein, als beide ε/2r (M − 1) und. Wenn M = 1, dann wählen wir δ, um weniger als ein zu sein. Wählen Sie eine markierte Teilung und. Wir müssen zeigen, dass die Summe von Riemann innerhalb von ε von s ist.

Um das zu sehen, wählen Sie einen Zwischenraum [x, x]. Wenn dieser Zwischenraum innerhalb einiger [y, y] enthalten wird, dann ist der Wert von ƒ (t) zwischen der M, dem infimum von ƒ auf [y, y], und der M, dem Supremum von ƒ auf [y, y]. Wenn alle Zwischenräume dieses Eigentum hätten, dann würde das den Beweis schließen, weil jeder Begriff in der Summe von Riemann ein entsprechender Begriff in den Summen von Darboux begrenzt würde, und wir die Summen von Darboux gewählt haben, um nahe s zu sein. Das ist der Fall, wenn M = 1, so wird der Beweis in diesem Fall beendet. Deshalb können wir das m> 1 annehmen. In diesem Fall ist es möglich, dass einer [x, x] in keinem [y, y] enthalten wird. Statt dessen kann es sich über zwei der Zwischenräume strecken, die dadurch bestimmt sind. (Es kann drei Zwischenräume nicht entsprechen, weil, wie man annimmt, δ kleiner ist als die Länge irgendwelchen Zwischenraums.) In Symbolen kann es das zufällig

:

(Wir können annehmen, dass die ganze Ungleichheit streng ist, weil sonst wir im vorherigen Fall durch unsere Annahme auf der Länge von δ sind.) Das kann am grössten Teil der M &minus geschehen; 1mal. Um diesen Fall zu behandeln, werden wir den Unterschied zwischen der Summe von Riemann und der Summe von Darboux schätzen, indem wir die Teilung an y unterteilen werden. Der Begriff ƒ (t) (x − x) im Riemann summieren Spalte in zwei Begriffe:

:

Nehmen Sie dass t  [x, x] an. Dann M  ƒ (t)  M, so wird dieser Begriff durch den entsprechenden Begriff in der Summe von Darboux für y begrenzt. Zum bestimmten der andere Begriff, bemerken Sie das y − x ist kleiner als δ, und δ wird gewählt, um kleiner zu sein, als ε/2r (M − 1), wo r das Supremum | (x) ƒ | ist. Hieraus folgt dass der zweite Begriff kleiner ist als ε/2 (M − 1). Da das am grössten Teil der M &minus geschieht; 1mal ist die Summe aller Begriffe, die durch die Summe von Darboux nicht begrenzt werden, am grössten Teil von ε/2. Deshalb ist die Entfernung zwischen der Summe von Riemann und s am grössten Teil von ε.

Beispiele

Lassen Sie, die Funktion zu sein, die den Wert 1 an jedem Punkt nimmt. Jede Summe von Riemann darauf wird den Wert 1 haben, deshalb ist der Riemann, der darauf integriert ist, 1.

Lassen Sie, die Anzeigefunktion der rationalen Zahlen darin zu sein; d. h. nimmt den Wert 1 auf rationalen Zahlen und 0 auf irrationalen Zahlen. Diese Funktion hat keinen integrierten Riemann. Um das zu beweisen, werden wir zeigen, wie man markierte Teilungen baut, deren Riemann resümiert, kommen willkürlich sowohl in der Nähe von der Null als auch in der Nähe von ein.

Um anzufangen, lassen Sie und eine markierte Teilung sein (jeder ist zwischen und). Wählen. Das Haben bereits gewesen gewählt, und können wir nicht den Wert an jenen Punkten ändern. Aber wenn wir die Teilung in winzige Stücke um jeden schneiden, können wir die Wirkung minimieren. Dann, indem wir die neuen Anhängsel sorgfältig wählen, können wir sich den Wert der Summe von Riemann erweisen lassen, innerhalb entweder der Null oder einer - unsere Wahl zu sein!

Unser erster Schritt ist, die Teilung zu schneiden. Es gibt, und wir wollen ihre Gesamtwirkung, weniger zu sein, als. Wenn wir jeden von ihnen zu einem Zwischenraum der Länge weniger beschränken als, dann wird der Beitrag von jedem zur Summe von Riemann mindestens und höchstens sein. Das macht die Gesamtsumme mindestens Null und höchstens. So lassen Sie, eine positive Zahl weniger zu sein, als. Wenn es geschieht, dass zwei, innerhalb einander zu sein, kleiner wählen Sie. Wenn es geschieht, dass einige innerhalb einiger sind, und dem nicht gleich sind, wählen Sie kleiner. Da es nur begrenzt viele gibt, und wir können immer genug klein wählen.

Jetzt fügen wir zwei Kürzungen zur Teilung für jeden hinzu. Eine der Kürzungen wird an sein, und der andere wird daran sein. Wenn eines dieser Blätter der Zwischenraum, dann lassen wir es aus. wird das Anhängsel entsprechend dem Subzwischenraum sein. Wenn direkt oben auf einem ist, dann lassen wir sind das Anhängsel für beide und. Wir müssen noch Anhängsel für die anderen Subzwischenräume wählen. Wir werden sie auf zwei verschiedene Weisen wählen. Der erste Weg ist, immer einen vernünftigen Punkt zu wählen, so dass die Summe von Riemann so groß wie möglich ist. Das wird den Wert der Summe von Riemann mindestens machen. Der zweite Weg ist, immer einen vernunftwidrigen Punkt zu wählen, so dass die Summe von Riemann so klein wie möglich ist. Das wird den Wert der Summe von Riemann höchstens machen.

Seitdem wir von einer willkürlichen Teilung angefangen haben und so nahe geendet haben, wie wir entweder Null oder ein gewollt haben, ist es falsch, um zu sagen, dass wir schließlich in der Nähe von einer Zahl gefangen werden, so ist diese Funktion nicht Riemann integrable. Jedoch ist es Lebesgue integrable. Im Sinn von Lebesgue ist sein Integral Null, da die Funktion Null fast überall ist. Aber das ist eine Tatsache, die außer der Reichweite des integrierten Riemanns ist.

Es gibt noch schlechtere Beispiele. ist gleichwertig (d. h. fast überall gleich) einem Riemann integrable Funktion, aber es gibt non-Riemann integrable begrenzte Funktionen, die jedem Riemann integrable Funktion nicht gleichwertig sind. Lassen Sie zum Beispiel C der Satz von Smith-Volterra-Cantor sein, und mich seine Anzeigefunktion sein zu lassen. Weil C nicht der messbare Jordan ist, bin ich nicht Riemann integrable. Außerdem keine Funktion g gleichwertig zu bin mir Riemann integrable: G, wie ich, muss Null auf einem dichten Satz, so als im vorherigen Beispiel sein, jede Summe von Riemann von g hat eine Verbesserung, die innerhalb von ε 0 für jede positive Zahl ε ist. Aber wenn der von g integrierte Riemann besteht, dann muss er Lebesgue gleichkommen, der von mir integriert ist, der 1/2 bin. Deshalb ist g nicht Riemann integrable.

Ähnliche Konzepte

Es ist populär, um den Riemann integriert als integrierter Darboux zu definieren. Das ist, weil integrierter Darboux technisch einfacher ist, und weil eine Funktion Riemann-Integrable ist, wenn, und nur wenn es Darboux-integrable ist.

Einige Rechnungsbücher verwenden allgemeine markierte Teilungen nicht, aber beschränken sich zu spezifischen Typen von markierten Teilungen. Wenn der Typ der Teilung zu viel beschränkt wird, können einige Non-Integrable-Funktionen scheinen, integrable zu sein.

Eine populäre Beschränkung ist der Gebrauch von "linken" und "rechten" Summen von Riemann. In einer linken Summe von Riemann, für alle, und in einer rechten Summe von Riemann, für alle. Allein erlegt diese Beschränkung kein Problem auf: Wir können jede Teilung in einem Weg raffinieren, der sie eine linke oder rechte Summe durch das Unterteilen davon an jedem macht. Auf der mehr formellen Sprache, dem Satz aller linken Summen von Riemann und dem Satz aller rechten Summen von Riemann ist cofinal im Satz aller markierten Teilungen.

Eine andere populäre Beschränkung ist der Gebrauch von regelmäßigen Unterteilungen eines Zwischenraums. Zum Beispiel besteht die th regelmäßige Unterteilung dessen aus den Zwischenräumen. Wieder allein erlegt diese Beschränkung kein Problem, aber das Denken auf, das erforderlich ist zu sehen, dass diese Tatsache schwieriger ist als im Fall von linken und rechten Summen von Riemann.

Jedoch ist das Kombinieren dieser Beschränkungen, so dass man nur linke oder rechte Summen von Riemann auf regelmäßig geteilten Zwischenräumen verwendet, gefährlich. Wenn, wie man bekannt, eine Funktion im Voraus Riemann integrable ist, dann wird diese Technik den richtigen Wert des Integrals geben. Aber unter diesen Bedingungen wird die Anzeigefunktion scheinen, integrable auf mit dem einem gleichen integrierten zu sein: Jeder Endpunkt jedes Subzwischenraums wird eine rationale Zahl sein, so wird die Funktion immer an rationalen Zahlen bewertet, und folglich es scheinen wird, immer kommen demjenigen gleich. Das Problem mit dieser Definition wird offenbar, wenn wir versuchen, das Integral in zwei Stücke zu spalten. Die folgende Gleichung sollte halten:

:

\int_0^ {\\sqrt {2}-1 }\\! I_\mathbf {Q} (x) \, \mathrm {d} x +

\int_ {\\sqrt {2}-1} ^1 \! I_\mathbf {Q} (x) \, \mathrm {d} x =

\int_0^1 \! I_\mathbf {Q} (x) \, \mathrm {d} x.

</Mathematik>

Wenn wir regelmäßige Unterteilungen und linke oder rechte Summen von Riemann verwenden, dann sind die zwei Begriffe links der Null gleich, da jeder Endpunkt außer 0 und 1 vernunftwidrig sein wird, aber weil wir gesehen haben, dass der Begriff rechts 1 gleich sein wird.

Wie definiert, oben vermeidet der integrierte Riemann dieses Problem, indem er sich weigert zu integrieren. Das Lebesgue Integral wird auf solche Art und Weise definiert, dass alle diese Integrale 0 sind.

Eigenschaften

Linearität

Der integrierte Riemann ist eine geradlinige Transformation; d. h. wenn und Riemann-Integrable darauf sind und und Konstanten, dann sind

:

Weil der einer Funktion integrierte Riemann eine Zahl ist, macht das den Riemann integriert ein geradliniger funktioneller auf dem Vektorraum von Funktionen von Riemann-Integrable.

Integrability

Eine Funktion auf einem Kompaktzwischenraum ist Riemann integrable, wenn, und nur wenn es begrenzt und fast überall dauernd wird (hat der Satz seiner Punkte der Diskontinuität Maß-Null, im Sinne des Maßes von Lebesgue). Das ist als oder das Kriterium von Lebesgue für Riemann integrability oder den Lehrsatz von Riemann-Lebesgue bekannt. Bemerken Sie, dass das mit dem Begriff von Lebesgue nicht verwirrt sein sollte, der einer vorhandenen Funktion integriert ist; das Ergebnis ist wegen Lebesgue, und verwendet den Begriff der Maß-Null, aber bezieht sich darauf nicht oder verwendet Maß von Lebesgue mehr allgemein, oder integrierter Lebesgue.

Die integrability Bedingung kann auf verschiedene Weisen bewiesen werden, von denen eine unten kurz gefasst wird.

:

Insbesondere ein zählbarer Satz hat Maß-Null, und so eine begrenzte Funktion (auf einem Kompaktzwischenraum) mit nur begrenzt viele oder zählbar ungeheuer viele Diskontinuitäten sind Riemann integrable.

Eine Anzeigefunktion eines begrenzten Satzes ist Riemann-Integrable, wenn, und nur wenn der Satz der messbare Jordan ist.

Wenn eine reellwertige Funktion Eintönigkeit auf dem Zwischenraum ist, ist es Riemann-Integrable, da sein Satz von Diskontinuitäten denumerable ist, und deshalb Lebesgue Null messen.

Wenn eine reellwertige Funktion darauf Riemann-Integrable ist, ist es Lebesgue-integrable. D. h. Riemann-Integrability ist ein stärkerer (Bedeutung, die schwieriger ist zu befriedigen) Bedingung als Lebesgue-integrability.

Wenn eine gleichförmig konvergente Folge auf mit der Grenze ist, dann bezieht Riemann integrability aller Riemann integrability von, und ein

:

Jedoch hält der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz von Lebesgue (auf einer Eintönigkeit pointwise Grenze) nicht.

Generalisationen

Es ist leicht, den Riemann zu erweitern, der zu Funktionen mit Werten im Euklidischen Vektorraum R für jeden n integriert ist. Das Integral wird durch die Linearität definiert; mit anderen Worten, wenn dann

:

Insbesondere da die komplexen Zahlen ein echter Vektorraum sind, erlaubt das die Integration geschätzter Funktionen des Komplexes.

Der integrierte Riemann wird nur auf begrenzten Zwischenräumen definiert, und es streckt sich gut bis zu unbegrenzte Zwischenräume nicht aus. Die einfachstmögliche Erweiterung soll solch ein Integral als eine Grenze mit anderen Worten als ein unpassendes Integral definieren. Wir konnten untergehen:

:

Leider arbeitet das gut nicht. Übersetzung invariance, die Tatsache, dass sich der der Funktion integrierte Riemann nicht ändern sollte, wenn wir die Funktion verlassen oder Recht bewegen, wird verloren. Lassen Sie zum Beispiel für alle