Die Knochen von Napier sind eine Rechenmaschine, die von John Napier für die Berechnung von Produkten und Quotienten von Zahlen geschaffen ist, der auf der arabischen Mathematik und Gitter-Multiplikation basiert hat, die von Matrakci Nasuh im Schreiben von Umdet-ul Hisab und Fibonacci in Liber Abaci verwendet ist. Auch genannt Rabdology (von Griechisch [], "Stange" und [], "Studie"). Napier hat seine Version von Stangen in einer Arbeit veröffentlicht, die in Edinburgh, Schottland am Ende 1617 genannt Rabdologiæ gedruckt ist. Mit den in den Stangen eingebetteten Multiplikationstabellen kann Multiplikation auf Hinzufügungsoperationen und Abteilung zu Subtraktionen reduziert werden. Der fortgeschrittenere Gebrauch der Stangen kann sogar Quadratwurzeln herausziehen. Bemerken Sie, dass die Knochen von Napier nicht dasselbe als Logarithmen sind, mit denen der Name von Napier auch vereinigt wird.

Die Rechenmaschine besteht aus einem Ausschuss mit einem Rand; der Benutzer legt die Stangen von Napier in den Rand, um Multiplikation oder Abteilung zu führen. Der linke Rand des Ausschusses wird in 9 Quadrate geteilt, die Nummern 1 bis 9 haltend. Die Stangen von Napier bestehen aus Streifen von Holz, metallenem oder schwerem Karton. Die Knochen von Napier sind dreidimensional, in der bösen Abteilung mit vier verschiedenen auf jedem eingravierten Stangen quadratisch. Eine Reihe solcher Knochen könnte in einem günstigen tragenden Fall eingeschlossen werden.

Eine Oberfläche einer Stange umfasst 9 Quadrate, und jedes Quadrat, abgesehen von den ersten einem, umfasst zwei halb geteilt durch eine diagonale Linie. Das erste Quadrat jeder Stange hält eine einzelne Ziffer, und die anderen Quadrate halten diese Zahl doppelt, dreifach, vierfach, fünffach und so weiter, bis das letzte Quadrat neunmal die Zahl im Spitzenquadrat enthält. Die Ziffern jedes Produktes werden dasjenige jeder Seite der Diagonale geschrieben; Zahlen besetzen weniger als 10 das niedrigere Dreieck mit einer Null in der Spitzenhälfte.

Ein Satz besteht aus 10 Stangen entsprechend Ziffern 0 bis 9. Die Stange 0, obwohl es unnötig aussehen kann, ist offensichtlich noch für Vermehrer oder multiplicands erforderlich 0 in ihnen zu haben.

Multiplikation

In Anbetracht des beschriebenen Satzes von Stangen, nehmen Sie an, dass wir das Produkt 46785399 und 7 berechnen möchten. Der Platz innerhalb des Ausschusses die Stangen entsprechend 46785399, wie gezeigt, im Diagramm, und hat das Ergebnis im horizontalen Streifen in der Reihe 7, wie gekennzeichnet, auf der Seite des Ausschusses gelesen. Um das Produkt zu erhalten, bemerken Sie einfach, für jeden Platz vom Recht bis linken, die gefundenen Zahlen, indem Sie die Ziffern innerhalb der diagonalen Abteilungen des Streifens hinzufügen (Prolongation verwendend, wo die Summe 10 oder größer ist).

Vom Recht bis linken erhalten wir den Einheitsplatz (3), die Zehnen (6+3=9), die Hunderte (6+1=7), usw. Zeichen, dass im Hundert tausend Platz, wo 5+9=14 wir '4' bemerken und '1' zur folgenden Hinzufügung (ähnlich mit 4+8=12 im zehn Millionen Platz) tragen.

In Fällen, wo eine Ziffer des multiplicand 0 ist, verlassen wir einen Raum zwischen den Stangen entsprechend, wo eine 0 Stange sein würde. Lassen Sie uns annehmen, dass wir die vorherige Zahl mit 96431 multiplizieren wollen; analog zum vorherigen Fall funktionierend, werden wir teilweise Produkte der Zahl berechnen, indem wir 46785399 durch 9, 6, 4, 3 und 1 multiplizieren werden. Dann legen wir diese Produkte in die passenden Positionen, und fügen sie hinzu, die einfache Bleistift-Und-Papiermethode verwendend.

Diese Methode kann auch verwendet werden, um Dezimalzahlen zu multiplizieren. Für einen dezimalen Wert, der mit einer ganzen Zahl (ganze Zahl) multipliziert ist, schätzen stellen sicher, dass die Dezimalzahl entlang der Spitze des Bratrostes geschrieben wird. Von dieser Position lässt der dezimale Punkt einfach unten die vertikale Linie und 'Fälle' in die Antwort fallen.

Wenn

sie zwei Dezimalzahlen zusammen multiplizieren, reisen die dezimalen Punkte horizontal und vertikal, bis sie 'sich' an einer diagonalen Linie 'treffen', reist der Punkt dann aus dem Bratrost in derselben Methode und 'fällt' wieder in die Antwort.

Die Form der Multiplikation wurde auch in 1202-Liber Abaci und 800 n.Chr. islamischer Mathematik verwendet und unter dem Namen der Gitter-Multiplikation bekannt. "Kamm des Pfaus" durch G.G, Joseph, weist darauf hin, dass Napier die Details dieser Methode von der Treviso "Arithmetik", geschrieben erfahren hat 1499....

Abteilung

Abteilung kann auf eine ähnliche Mode durchgeführt werden. Wollen wir sich 46785399 durch 96431, die zwei Zahlen teilen, die wir im früheren Beispiel verwendet haben. Stellen Sie die Bars für den Teiler (96431) auf dem Ausschuss, wie gezeigt, in der Grafik unten. Mit der Rechenmaschine, finden Sie alle Produkte des Teilers von 1 bis 9, indem Sie die gezeigten Zahlen lesen. Bemerken Sie, dass die Dividende acht Ziffern hat, wohingegen die teilweisen Produkte (bis auf das erste) alle sechs haben. So müssen Sie die zwei Endziffern 46785399, nämlich '99' provisorisch ignorieren, die Nummer 467853 verlassend. Dann suchen Sie nach dem größten teilweisen Produkt, das weniger ist als die gestutzte Dividende. In diesem Fall ist es 385724. Sie müssen unten zwei Dinge, wie gesehen, im Diagramm kennzeichnen: Seitdem 385724 ist in '4' Reihe der Rechenmaschine, Zeichen unten '4' als ganz links Ziffer des Quotienten; schreiben Sie auch das teilweise Produkt, linksbündig unter der ursprünglichen Dividende, und ziehen Sie die zwei Begriffe ab. Sie bekommen den Unterschied als 8212999. Wiederholen Sie dieselben Schritte wie oben: Stutzen Sie die Zahl zu sechs Ziffern, hat das teilweise Produkt sofort weniger gewählt als die gestutzte Zahl, schreiben Sie die Reihennummer als die folgende Ziffer des Quotienten, und ziehen Sie das teilweise Produkt vom in der ersten Wiederholung gefundenen Unterschied ab. Im Anschluss an das Diagramm sollte das klären. Wiederholen Sie diesen Zyklus, bis das Ergebnis der Subtraktion weniger ist als der Teiler. Der

verlassene Zahl ist der Rest.

So in diesem Beispiel bekommen wir einen Quotienten 485 mit einem Rest 16364. Wir können gerade hier und anhalten

verwenden Sie die Bruchform der Antwort.

Wenn Sie bevorzugen, können wir auch so viele dezimale Punkte finden, wie wir brauchen, indem wir den Zyklus als in fortsetzen

lange Standardabteilung. Kennzeichnen Sie einen dezimalen Punkt nach der letzten Ziffer des Quotienten und hängen Sie eine Null an

zum Rest so haben wir jetzt 163640. Setzen Sie den Zyklus fort, aber jedes Mal eine Null am anhängend

Ergebnis nach der Subtraktion.

Wollen Arbeit durch einige Ziffern wir. Die erste Ziffer nach dem dezimalen Punkt ist

1, weil das größte teilweise Produkt weniger als 163640 sind

96431, von der Reihe 1. 96431 von 163640 Abstriche machend, werden wir mit 67209 verlassen.

Eine Null anhängend, haben wir 672090, um für den folgenden Zyklus in Betracht zu ziehen (mit dem teilweisen Ergebnis

485.1)

Die zweite Ziffer nach dem dezimalen Punkt ist 6, als das größte teilweise Produkt weniger

als 672090 ist 578586 von der Reihe 6. Das teilweise Ergebnis ist jetzt 485.16, und so weiter.

Das Extrahieren von Quadratwurzeln

Das Extrahieren der Quadratwurzel verwendet einen zusätzlichen Knochen, der wenig schaut

verschieden von anderen, weil es drei Säulen darauf hat. Der erste

Säule hat die ersten neun Quadrate 1, 4, 9... 64, 81, der zweite

Säule hat die geraden Zahlen 2 bis 18, und die letzte Säule hat gerade

die Nummern 1 bis 9.

Wollen wir die Quadratwurzel 46785399 mit den Knochen finden.

Gruppieren Sie erstens seine Ziffern, die in Paaren vom Recht anfangen, so schaut es

wie das:

: 46 78 53 99

: Zeichen: Eine Zahl wie 85399 würde als 8 53 99 gruppiert

Fangen Sie mit der leftmost Gruppe 46 an. Picken Sie das größte Quadrat auf dem auf

Quadratwurzel-Knochen weniger als 46, der 36 von der sechsten Reihe ist.

Weil wir die sechste Reihe aufgepickt haben, ist die erste Ziffer der Lösung 6.

Lesen Sie jetzt die zweite Säule von der sechsten Reihe auf dem Quadratwurzel-Knochen,

12, und Satz 12 auf dem Ausschuss.

Dann ziehen Sie den Wert im ersten ab

Säule der sechsten Reihe, 36, von 46.

Hängen Sie daran die folgende Gruppe von an

Ziffern in der Nummer 78, um den Rest 1078 zu bekommen.

Am Ende dieses Schritts, des Ausschusses und der Zwischenberechnungen

sollte wie das aussehen:

|

_____________

46 78 53 99 = 6

- 36

-

10 78

| }\

"Lesen Sie" jetzt die Zahlen in jeder Reihe, die zweiten und dritten Säulen ignorierend

vom Quadratwurzel-Knochen und der Aufzeichnung diese. (Lesen Sie zum Beispiel den sechsten

Reihe als: / / /  756)

Finden Sie die größte Zahl weniger als der aktuelle Rest, 1078.

Sie sollten finden, dass 1024 von der achten Reihe der größte Wert ist

weniger als 1078.

| _____________

46 78 53 99 = 68

- 36 - 10 78

- 10 24

-----

54

| }\

Hängen Sie wie zuvor 8 an, um die folgende Ziffer der Quadratwurzel und des zu bekommen

ziehen Sie den Wert der achten Reihe 1024 vom aktuellen Rest ab

1078, um 54 zu kommen. Lesen Sie die zweite Säule der achten Reihe auf dem Quadrat

Wurzelknochen, 16, und Satz die Zahl auf dem Ausschuss wie folgt.

Die aktuelle Zahl auf dem Ausschuss ist 12. Fügen Sie dazu die erste Ziffer von hinzu

16, und hängen die zweite Ziffer 16 zum Ergebnis an. So sollten Sie setzen

der Ausschuss zu

: 12 + 1 = hängen 13  6  136 an

: Zeichen: Wenn die zweite Säule des Quadratwurzel-Knochens nur eine Ziffer hat, hängen Sie es gerade an der aktuellen Zahl an Bord an.

Der Ausschuss und die Zwischenberechnungen sehen jetzt wie das aus.

| _____________ 46 78 53 99 = 68 - 36 - 10 78 - 10 24 -----

54 53

| }\

Finden Sie wieder die Reihe mit dem größten Wert weniger als der Strom

teilweiser Rest 5453. Dieses Mal ist es die dritte Reihe mit 4089.

| _____________

46 78 53 99 = 683

- 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53

- 40 89

-----

13 64

| }\

Die folgende Ziffer der Quadratwurzel ist 3. Wiederholen Sie dieselben Schritte wie

vorher und machen 4089 vom aktuellen Rest 5453 Abstriche, um 1364 zu bekommen

als der folgende Rest. Wenn Sie den Ausschuss umordnen, bemerken Sie dass der

die zweite Säule des Quadratwurzel-Knochens ist 6, eine einzelne Ziffer. So gerade

hängen Sie 6 an der aktuellen Zahl auf dem Ausschuss 136 an

: 136  hängen 6  1366 an

1366 auf dem Ausschuss zu setzen.

| _____________ 46 78 53 99 = 683 - 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53 - 40 89 -----

13 64 99

| }\

Wiederholen Sie diese Operationen noch einmal. Jetzt der größte Wert auf dem Ausschuss

kleiner als der aktuelle Rest 136499 ist 123021 vom neunten

Reihe.

In der Praxis brauchen Sie nicht häufig den Wert jeder Reihe zu zu finden

bekommen Sie die Antwort. Sie können im Stande sein zu schätzen, welche Reihe die Antwort durch hat

das Schauen an der Zahl auf den ersten paar Knochen auf dem Ausschuss und

das Vergleichen davon mit den ersten paar Ziffern des Rests. Aber in diesen

Diagramme, wir zeigen die Werte aller Reihen, um es leichter zu zu machen

verstehen.

Hängen Sie wie gewöhnlich 9 am Ergebnis an und machen Sie 123021 vom Abstriche

aktueller Rest.

| _____________

46 78 53 99 = 6839

- 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53 - 40 89 ----- 13 64 99

- 12 30 21

--------

1 34 78

| }\

Sie haben jetzt alle Ziffern unserer Zahl "verbraucht", und Sie haben noch

ein Rest. Das bedeutet, dass Sie den Teil der ganzen Zahl des Quadrats haben

wurzeln Sie ein, aber es gibt ein noch verlassenes Bruchbit.

Bemerken Sie das, wenn wir wirklich den Teil der ganzen Zahl der Quadratwurzel, bekommen haben

das aktuelle Ergebnis kariert (6839 ² = 46771921) muss der sein

größtes vollkommenes Quadrat, das kleiner ist als 46785899. Warum? Die Quadratwurzel von

46785399 ist dabei, etwas wie 6839.xxxx zu sein... Das bedeutet

6839 ² sind kleiner als 46785399, aber 6840 ² sind

größer als 46785399 — dasselbe Ding sagend dass 6839²

ist das größte vollkommene Quadrat, das kleiner ist als 46785399.

Diese Idee wird später verwendet, um zu verstehen, wie die Technik arbeitet, aber

dafür wollen jetzt wir fortsetzen, mehr Ziffern der Quadratwurzel zu erzeugen.

Ähnlich der Entdeckung des Bruchteils der Antwort in

lange Abteilung, hängen Sie zwei Nullen am Rest an, um zu bekommen

der neue Rest 1347800. Die zweite Säule der neunten Reihe des

Quadratwurzel-Knochen ist 18, und die aktuelle Zahl auf dem Ausschuss ist 1366. So

schätzen Sie

: 1366 + 1  1367  hängt 8  13678 an

13678 auf dem Ausschuss unterzugehen.

Der Ausschuss und die Zwischenberechnung sehen jetzt wie das aus.

| _____________

46 78 53 99 = 6839.

- 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53 - 40 89 ----- 13 64 99 - 12 30 21 --------

1 34 78 00

| }\

Die neunte Reihe mit 1231101 ist der größte Wert, der kleiner ist als der

Rest, so die erste Ziffer des Bruchteils des Quadrats

Wurzel ist 9.

| _____________

46 78 53 99 = 6839.9

- 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53 - 40 89 ----- 13 64 99 - 12 30 21 -------- 1 34 78 00

- 1 23 11 01

----------

11 66 99

| }\

Ziehen Sie den Wert der neunten Reihe vom Rest ab und hängen Sie einen an

verbinden Sie mehr Nullen, um den neuen Rest 11669900 zu bekommen. Die zweite Säule

auf der neunten Reihe ist 18 mit 13678 auf dem Ausschuss, so schätzen Sie

: 13678 + 1  hängen 13679  8  136798 an

und Satz 136798 auf dem Ausschuss.

| _____________ 46 78 53 99 = 6839.9 - 36 - 10 78 - 10 24 ----- 54 53 - 40 89 ----- 13 64 99 - 12 30 21 -------- 1 34 78 00 - 1 23 11 01 ----------

11 66 99 00

| }\

Sie können diese Schritte fortsetzen, so viele Ziffern zu finden, wie Sie brauchen und

Sie halten an, wenn Sie die Präzision haben, wollen Sie, oder wenn Sie dass der finden

Gedächtnishilfe wird Null, was bedeutet, dass Sie die genaue Quadratwurzel haben.

Die gewünschte Zahl von Ziffern gefunden, können Sie leicht bestimmen, ob Sie zusammentreiben müssen; d. h., erhöhen Sie die letzte Ziffer. Sie brauchen nicht zu finden, dass eine andere Ziffer sieht, ob es dem gleich oder größer ist als fünf. Hängen Sie einfach 25 an der Wurzel an und vergleichen Sie das mit dem Rest; wenn es weniger ist als oder gleich dem Rest, dann wird die folgende Ziffer mindestens fünf sein, und Zusammenfassung ist erforderlich. Im Beispiel oben sehen wir, dass 6839925 weniger als 11669900 ist, so müssen wir die Wurzel zu 6840.0 zusammentreiben.

Es gibt nur einen mehr Trick, der verlassen ist zu beschreiben. Wenn Sie den finden

wollen

die Quadratwurzel einer Zahl, die nicht eine ganze Zahl ist, sagen 54782.917.

Alles ist dasselbe, außer Ihnen brechen durch die Gruppierung der Ziffern auf

nach links und Recht auf den dezimalen Punkt in Gruppen zwei.

D. h. Gruppe 54782.917 als

: 5 47 82. 91 7

und fahren Sie fort, die Quadratwurzel aus diesen Gruppen von Ziffern herauszuziehen.

Diagonale Modifizierung

Während des 19. Jahrhunderts haben die Knochen von Napier eine Transformation erlebt, um sie leichter zu machen, zu lesen. Die Stangen haben begonnen, mit einem Winkel von ungefähr 65 ° gemacht zu werden, so dass die Dreiecke, die hinzugefügt werden mussten, vertikal ausgerichtet wurden. In diesem Fall in jedem Quadrat der Stange ist die Einheit nach rechts und die zehn (oder die Null) nach links.

Die Stangen wurden solch gemacht, dass die vertikalen und horizontalen Linien mehr sichtbar waren als die Linie, wo sich die Stangen berührt haben, die zwei Bestandteile jeder Ziffer des Ergebnisses viel leichter machend, zu lesen. So im Bild ist es dass sofort klar:

:987654321 × 5 = 4938271605

Lineale von Genaille-Lucas

1891 hat Henri Genaille eine Variante der Knochen von Napier erfunden, die bekannt als Lineale von Genaille-Lucas geworden sind. Indem er das Tragen grafisch vertritt, kann der Benutzer von den Ergebnissen von einfachen Multiplikationsproblemen direkt ohne geistige Zwischenberechnungen lesen.

Das folgende Beispiel berechnet 52749 × 4 = 210996.

Karte-Rechenmaschine

Zusätzlich zur vorher beschriebenen "Knochen"-Rechenmaschine hat Napier auch eine Karte-Rechenmaschine gebaut. Beide Geräte werden in einem Stück wieder vereinigt, das vom spanischen Nationalen Archäologischen Museum in Madrid gehalten ist.

Der Apparat ist ein Kasten von Holz mit Einlegearbeiten des Knochens. In der Spitzenabteilung enthält es die "Knochen"-Rechenmaschine, und im Boden ist die Abteilung die Karte-Rechenmaschine. Diese Karte-Rechenmaschine besteht aus 300 versorgten Karten in 30 Schubladen. Hundert dieser Karten werden mit Zahlen (gekennzeichnet als die "Zahl-Karten") bedeckt. Die restlichen zweihundert Karten enthalten kleine Dreieckslöcher, die, wenn gelegt, oben auf den Zahl-Karten, dem Benutzer erlauben, nur bestimmte Anzahlen zu sehen. Durch die fähige Positionierung dieser Karten können Multiplikationen bis zur Grenze einer Nummer 100 Ziffern in der Länge, durch eine andere Nummer 200 Ziffern in der Länge gemacht werden.

Außerdem enthalten die Türen des Kastens die ersten Mächte der Ziffern, die Koeffizienten der Begriffe der ersten Mächte des Binoms und der numerischen Daten der regelmäßigen Polyeder.

Es ist nicht bekannt, wer der Autor dieses Stückes war, noch wenn es vom spanischen Ursprung ist oder aus einem Ausländer gekommen ist, obwohl es wahrscheinlich ist, dass es ursprünglich der spanischen Akademie der Mathematik gehört hat (der von Philip II geschaffen wurde) oder ein Geschenk vom Prinzen Wales war. Das einzige Ding, das sicher ist, besteht darin, dass es im Palast, dessen erhalten wurde, wo es zur Nationalen Bibliothek und später zum Nationalen Archäologischen Museum passiert wurde, wo es noch erhalten wird.

1876 hat die spanische Regierung den Apparat an die Ausstellung von wissenschaftlichen in Kensington gefeierten Instrumenten gesandt, wo es viel Aufmerksamkeit bis zum Punkt erhalten hat, an dem mehrere Gesellschaften die spanische Darstellung über den Ursprung und Gebrauch des Apparats befragt haben. Das hat D. Felipe Picatoste angeregt, eine Monografie zu schreiben, die allen Nationen gesandt wurde, in denen er Überraschung über die Tatsache ausgedrückt hat, dass die Rechenmaschine nur im "England, Ursprungsland seines Erfinders" wohl bekannt war (obwohl natürlich er in Schottland entstanden ist).

Siehe auch

• Lineale von Genaille-Lucas
• Rechenschieber

Links

• Javanische Durchführung von Knochen von Napier in verschiedenen Zahl-Systemen an der Knoten-Kürzung
• Napier und andere Knochen und viele Rechenmaschinen