In der Arithmetik ist Subtraktion eine der vier grundlegenden binären Operationen; es ist das Gegenteil der Hinzufügung, bedeutend, dass, wenn wir mit einer Zahl anfangen und eine Zahl hinzufügen und dann dieselbe Zahl abziehen, wir beigetragen haben, kehren wir zur Zahl zurück, mit der wir angefangen haben. Subtraktion wird durch minus das Zeichen in der klammerlosen Darstellung im Gegensatz zum Gebrauch des Pluszeichens für die Hinzufügung angezeigt.

Da Subtraktion nicht ein Ersatzmaschinenbediener ist, werden die zwei operands genannt. Die traditionellen Namen für die Teile der Formel

:c − b = ein

sind minuend (c) − Subtrahend (b) = Unterschied (a).

Subtraktion wird verwendet, um vier zusammenhängende Prozesse zu modellieren:

1. Von einer gegebenen Sammlung, nehmen Sie weg (ziehen) eine gegebene Zahl von Gegenständen (ab). Zum Beispiel, 5 Äpfel minus 2 Äpfel verlässt 3 Äpfel.
2. Von einem gegebenen Maß, nehmen Sie eine in denselben Einheiten gemessene Menge weg. Wenn ich 200 Pfunde wiege, und 10 Pfunde verliere, dann wiege ich 200 − 10 = 190 Pfunde.
3. Vergleichen Sie sich zwei wie Mengen, um den Unterschied zwischen ihnen zu finden. Zum Beispiel ist der Unterschied zwischen 800 $ und 600 $ 800 $ − 600 $ = 200 $. Auch bekannt als vergleichende Subtraktion.
4. Die Entfernung zwischen zwei Positionen in einer festen Entfernung vom Startpunkt zu finden. Zum Beispiel, wenn, auf einer gegebenen Autobahn, Sie einen Meilenzahl-Anschreiber sehen, der 150 Meilen sagt und sieh später einen Meilenzahl-Anschreiber, der 160 Meilen sagt, sind Sie 160 &minus gereist; 150 = 10 Meilen.

In der Mathematik ist es häufig nützlich, sogar Subtraktion als eine Art Hinzufügung, die Hinzufügung des zusätzlichen Gegenteils anzusehen oder zu definieren. Wir können 7 &minus ansehen; 3 = 4 als die Summe von zwei Begriffen: 7 und-3. Diese Perspektive erlaubt uns, auf die Subtraktion alle vertrauten Regeln und Nomenklatur der Hinzufügung anzuwenden. Subtraktion ist nicht assoziativ oder Ersatz-tatsächlich, es ist antiauswechselbar, und Hinzufügung "hat assoziativ verlassen, aber" unterzeichneter Zahlen ist beide.

Grundlegende Subtraktion: ganze Zahlen

Stellen Sie sich vor, dass ein Liniensegment der Länge b mit dem linken Ende a etikettiert hat und das richtige Ende c etikettiert hat.

Von a anfangend, macht es b Schritte zum Recht, c zu erreichen. Diese Bewegung wird nach rechts mathematisch durch die Hinzufügung modelliert:

:a + b = c.

Von c macht es b Schritte nach links, um zu a zurückzukommen. Diese Bewegung wird nach links durch die Subtraktion modelliert:

:c  b = a.

Stellen Sie sich jetzt ein Liniensegment vor, das mit den Nummern 1, 2, und 3 etikettiert ist.

Von der Position 3 macht es keine Schritte nach links, um an 3, so 3 &minus zu bleiben; 0 = 3. Es macht 2 Schritte nach links, um zu kommen, um 1, so 3 &minus einzustellen; 2 = 1. Dieses Bild ist unzulänglich, um zu beschreiben, was nach dem Gehen von 3 Schritten links von der Position 3 geschehen würde.

Um solch eine Operation zu vertreten, muss die Linie erweitert werden.

Um willkürliche natürliche Zahlen abzuziehen, beginnt man mit einer Linie, die jede natürliche Zahl (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...) enthält.

Von 3 macht es 3 Schritte nach links, um zu 0, so 3 &minus zu kommen; 3 = 0.

Aber 3 − 4 ist noch ungültig, da es wieder die Linie verlässt.

Die natürlichen Zahlen sind nicht ein nützlicher Zusammenhang für die Subtraktion.

Die Lösung ist, den Zahlenstrahl der ganzen Zahl (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...) zu denken. Von 3 macht es 4 Schritte nach links, um zu −1: zu kommen

:3 − 4 =

Subtraktion als Hinzufügung

Es gibt einige Fälle, wo die Subtraktion als eine getrennte Operation problematisch wird. Zum Beispiel, 3 − (−2) (d. h. machen −2 von 3 Abstriche), ist entweder von einer Ansicht der natürlichen Zahl oder von einer Zahlenstrahl-Ansicht nicht sofort offensichtlich, weil es nicht sofort klar ist, was es bedeutet−2 Schritte nach links zu bewegen oder −2 Äpfel wegzunehmen. Eine Lösung ist, Subtraktion als Hinzufügung von unterzeichneten Zahlen anzusehen. Zusätzlich minus Zeichen zeigen einfach zusätzliche Inversion an. Dann haben wir 3 − (−2) = 3 + 2 = 5. Das hilft auch, den Ring von ganzen Zahlen "einfach" durch das Vermeiden der Einführung von "neuen" Maschinenbedienern wie Subtraktion zu halten. Normalerweise hat ein Ring nur zwei darauf definierte Operationen; im Fall von den ganzen Zahlen sind das Hinzufügung und Multiplikation. Ein Ring hat bereits das Konzept zusätzlicher Gegenteile, aber es hat keinen Begriff einer getrennten Subtraktionsoperation, so erlaubt der Gebrauch der unterzeichneten Hinzufügung als Subtraktion uns, die Ringaxiome auf die Subtraktion anzuwenden, ohne irgendetwas beweisen zu müssen.

Algorithmen für die Subtraktion

Es gibt verschiedene Algorithmen für die Subtraktion, und sie unterscheiden sich in ihrer Eignung für verschiedene Anwendungen. Mehrere Methoden werden angepasst, um Berechnung zu reichen; zum Beispiel, wenn man Änderung vornimmt, wird keine wirkliche Subtraktion durchgeführt, aber eher die Änderungsschöpfer-Zählungen vorwärts.

Für die Maschinenberechnung wird die Methode von Ergänzungen bevorzugt, wodurch die Subtraktion durch eine Hinzufügung in einer Modularithmetik ersetzt wird.

Das Unterrichten der Subtraktion in Schulen

Methoden haben gepflegt zu lehren, dass sich die Subtraktion zur Grundschule von Land zu Land, und innerhalb eines Landes ändert, sind verschiedene Methoden in Mode zu verschiedenen Zeiten. Worin, in den Vereinigten Staaten, genannt traditionelle Mathematik ist, wird ein spezifischer Prozess Studenten am Ende des 1. Jahres oder während des 2. Jahres für den Gebrauch mit ganzen Mehrziffer-Zahlen unterrichtet, und wird entweder im vierten oder in fünften Rang erweitert, um Dezimaldarstellungen von Bruchzahlen einzuschließen.

Einige amerikanische Schulen unterrichten zurzeit eine Methode des Subtraktionsverwenden-Borgens und ein System von Markierungen genannt Krücken. Obwohl eine Methode zu borgen bekannt und in vorherigen Lehrbüchern veröffentlicht gewesen war, anscheinend sind die Krücken die Erfindung von William A. Brownell, der sie in einer Studie im November 1937 verwendet hat. Dieses System hat schnell Anklang gefunden, die anderen Methoden der Subtraktion im Gebrauch in Amerika damals versetzend.

Einige europäische Schulen verwenden eine Methode der Subtraktion genannt die österreichische Methode, auch bekannt als die Hinzufügungsmethode. Es gibt kein Borgen in dieser Methode. Es gibt auch Krücken (Markierungen, um Gedächtnis zu helfen), die sich durch das Land ändern.

Beide diese Methoden zerbrechen die Subtraktion als ein Prozess Ziffer-Subtraktionen durch den Platz-Wert. Mit kleinster positiver Ziffer, einer Subtraktion des Subtrahenden anfangend:

: s s... s

von minuend

: M M M,

wo jeder s und M eine Ziffer, Erlös durch das Niederschreiben der M &minus sind; s, M − s, und so weiter, nicht weniger als überschreitet s M nicht. Sonst wird M um 10 vergrößert, und eine andere Ziffer wird modifiziert, um für diese Zunahme zu korrigieren. Die amerikanische Methode korrigiert, indem sie versucht wird, die minuend Ziffer M durch eine zu vermindern (oder das Leihen nach links fortsetzend, bis es eine Nichtnullziffer gibt, von der man borgt). Die europäische Methode korrigiert durch die Erhöhung der Subtrahend-Ziffer s durch eine.

Beispiel: 704 − 512. Der minuend ist 704, der Subtrahend ist 512. Die minuend Ziffern sind M = 7, M = 0

und M = 4. Die Subtrahend-Ziffern sind s = 5, s = 1 und s = 2. Der Anfang an jemandes Platz, 4 ist nicht weniger als 2, so wird der Unterschied 2 in einem Platz des Ergebnisses niedergeschrieben. Im Platz des ten, 0 ist weniger als 1, so wird 0 zu 10, und der Unterschied mit 1 vergrößert, der 9 ist, wird im Platz des ten niedergeschrieben. Die amerikanische Methode korrigiert für die Zunahme zehn durch das Reduzieren der Ziffer in den Hunderten des minuend Platz durch einen. D. h. die 7 wird durchgestrichen und durch 6 ersetzt. Die Subtraktion geht dann in den Hunderten Platz weiter, wo 6 nicht weniger als 5 ist, so wird der Unterschied im Platz des Hunderts des Ergebnisses niedergeschrieben. Wir werden jetzt getan, das Ergebnis ist 192.

Die österreichische Methode reduziert die 7 auf 6 nicht. Eher vergrößert es die Subtrahend-Hundert-Ziffer durch eine. Ein kleines Zeichen wird nahe oder unter dieser Ziffer (abhängig von Schule) gemacht. Dann geht die Subtraktion durch das Fragen weiter, welche Zahl, wenn vergrößert, durch 1, und 5 dazu hinzugefügt wird, macht 7. Die Antwort ist 1, und wird im Platz des Hunderts des Ergebnisses niedergeschrieben.

Es gibt eine zusätzliche Subtilität darin die Studenten verwenden immer einen geistigen Subtraktionstisch in der amerikanischen Methode. Die österreichische Methode ermuntert häufig den Studenten dazu, den Hinzufügungstisch rückwärts geistig zu verwenden. Im Beispiel oben, anstatt 1 bis 5 beizutragen, 6 kommend, und das von 7 abziehend, wird der Student gebeten nach zu denken, welche Zahl, wenn vergrößert, durch 1, und 5 dazu hinzugefügt wird, macht 7.

Siehe auch

• Elementare Arithmetik
• Verminderung
• Negative und nichtnegative Zahlen
• Methode von Ergänzungen

Zeichen und Verweisungen

• Browell, W. A. (1939). Das Lernen als Reorganisation: Eine experimentelle Studie in der Arithmetik des dritten Ranges, Herzog-Universität Presse.
• Subtraktion in den Vereinigten Staaten: Eine Historische Perspektive, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, Der Mathematik-Pädagoge, Vol. 8, Nr. 1 (ursprüngliche Veröffentlichung) und Vol. 10, Nr. 1 (Nachdruck).

Links

Druckfähige Arbeitsblätter: Eine Ziffer-Subtraktion, zwei Ziffer-Subtraktion und vier Ziffer-Subtraktion

• Subtraktionsspiel an der Knoten-Kürzung
• Die Subtraktion auf einer japanischen Rechenmaschine hat von der Rechenmaschine ausgewählt: Mysterium der Perle